En matemáticas , un teorema de punto fijo es un resultado que dice que una función F tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el cual F ( x ) = x ), bajo algunas condiciones en F que pueden enunciarse en términos generales. [1]
El teorema del punto fijo de Banach (1922) proporciona un criterio general que garantiza que, si se satisface, el procedimiento de iteración de una función produce un punto fijo. [2]
Por el contrario, el teorema de punto fijo de Brouwer (1911) es un resultado no constructivo : dice que cualquier función continua desde la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano n -dimensional hasta sí misma debe tener un punto fijo, [3] pero no describe cómo encontrar el punto fijo (véase también el lema de Sperner ).
Por ejemplo, la función coseno es continua en [−1, 1] y la mapea en [−1, 1], y por lo tanto debe tener un punto fijo. Esto es claro cuando se examina un gráfico esbozado de la función coseno; el punto fijo ocurre donde la curva coseno y = cos( x ) interseca la línea y = x . Numéricamente, el punto fijo (conocido como el número de Dottie ) es aproximadamente x = 0.73908513321516 (por lo tanto x = cos( x ) para este valor de x ).
El teorema de punto fijo de Lefschetz [4] (y el teorema de punto fijo de Nielsen ) [5] de la topología algebraica es notable porque proporciona, en cierto sentido, una forma de contar puntos fijos.
Existen varias generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach y otras que se aplican en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . Véase teoremas del punto fijo en espacios de dimensión infinita .
El teorema del collage en la compresión fractal demuestra que, para muchas imágenes, existe una descripción relativamente pequeña de una función que, cuando se aplica iterativamente a cualquier imagen inicial, converge rápidamente en la imagen deseada. [6]
El teorema de Knaster-Tarski establece que cualquier función que preserve el orden en una red completa tiene un punto fijo y, de hecho, un punto fijo más pequeño . [7] Véase también el teorema de Bourbaki-Witt .
El teorema tiene aplicaciones en la interpretación abstracta , una forma de análisis de programas estáticos .
Un tema común en el cálculo lambda es encontrar puntos fijos de expresiones lambda dadas. Toda expresión lambda tiene un punto fijo, y un combinador de punto fijo es una "función" que toma como entrada una expresión lambda y produce como salida un punto fijo de esa expresión. [8] Un combinador de punto fijo importante es el combinador Y que se utiliza para dar definiciones recursivas .
En la semántica denotacional de los lenguajes de programación, se utiliza un caso especial del teorema de Knaster-Tarski para establecer la semántica de las definiciones recursivas. Si bien el teorema del punto fijo se aplica a la "misma" función (desde un punto de vista lógico), el desarrollo de la teoría es bastante diferente.
La misma definición de función recursiva se puede dar, en teoría de la computabilidad , aplicando el teorema de recursión de Kleene . [9] Estos resultados no son teoremas equivalentes; el teorema de Knaster-Tarski es un resultado mucho más fuerte que el que se utiliza en la semántica denotacional. [10] Sin embargo, a la luz de la tesis de Church-Turing, su significado intuitivo es el mismo: una función recursiva se puede describir como el punto menos fijo de un determinado funcional, mapeando funciones a funciones.
La técnica anterior de iterar una función para encontrar un punto fijo también se puede utilizar en la teoría de conjuntos ; el lema del punto fijo para funciones normales establece que cualquier función continua estrictamente creciente de ordinales a ordinales tiene uno (y de hecho muchos) puntos fijos.
Cada operador de cierre en un conjunto parcial tiene muchos puntos fijos; estos son los "elementos cerrados" con respecto al operador de cierre, y son la razón principal por la que se definió el operador de cierre en primer lugar.
Toda involución sobre un conjunto finito con un número impar de elementos tiene un punto fijo; más generalmente, para toda involución sobre un conjunto finito de elementos, el número de elementos y el número de puntos fijos tienen la misma paridad . Don Zagier utilizó estas observaciones para dar una prueba de una sola oración del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , al describir dos involuciones sobre el mismo conjunto de triples de números enteros, una de las cuales puede demostrarse fácilmente que tiene solo un punto fijo y la otra tiene un punto fijo para cada representación de un primo dado (congruente con 1 mod 4) como una suma de dos cuadrados. Dado que la primera involución tiene un número impar de puntos fijos, también los tiene la segunda y, por lo tanto, siempre existe una representación de la forma deseada. [11]