Teorema de no clonación

Teorema en la ciencia de la información cuántica

En física , el teorema de no clonación establece que es imposible crear una copia independiente e idéntica de un estado cuántico desconocido arbitrario , una afirmación que tiene profundas implicaciones en el campo de la computación cuántica, entre otros. El teorema es una evolución del teorema de no-go de 1970 escrito por James Park, ^[1] en el que demuestra que no puede existir un esquema de medición no perturbador que sea simple y perfecto (el mismo resultado sería derivado independientemente en 1982 por William Wootters y Wojciech H. Zurek ^[2] así como Dennis Dieks ^[3] el mismo año). Los teoremas mencionados anteriormente no impiden que el estado de un sistema se enrede con el estado de otro, ya que la clonación se refiere específicamente a la creación de un estado separable con factores idénticos. Por ejemplo, se podría utilizar la compuerta NOT controlada y la compuerta Walsh-Hadamard para entrelazar dos cúbits sin violar el teorema de no clonación, ya que ningún estado bien definido puede definirse en términos de un subsistema de un estado entrelazado. El teorema de no clonación (tal como se entiende generalmente) se refiere únicamente a los estados puros , mientras que la afirmación generalizada sobre los estados mixtos se conoce como el teorema de no transmisión .

El teorema de no clonación tiene un dual invertido en el tiempo , el teorema de no eliminación . Juntos, estos sustentan la interpretación de la mecánica cuántica en términos de teoría de categorías y, en particular, como una categoría compacta de daga . ^{[4] [5]} Esta formulación, conocida como mecánica cuántica categórica , permite, a su vez, hacer una conexión desde la mecánica cuántica a la lógica lineal como la lógica de la teoría de la información cuántica (en el mismo sentido en que la lógica intuicionista surge de las categorías cerradas cartesianas ).

Historia

Según Asher Peres ^[6] y David Kaiser ^[7] , la publicación de la prueba de 1982 del teorema de no clonación de Wootters y Zurek ^[2] y de Dieks ^[3] fue motivada por una propuesta de Nick Herbert ^[8] para un dispositivo de comunicación superlumínico utilizando entrelazamiento cuántico, y Giancarlo Ghirardi ^[9] había demostrado el teorema 18 meses antes de la prueba publicada por Wootters y Zurek en su informe de revisión a dicha propuesta (como lo demuestra una carta del editor ^[9] ). Sin embargo, Juan Ortigoso ^[10] señaló en 2018 que una prueba completa junto con una interpretación en términos de la falta de mediciones simples no perturbadoras en la mecánica cuántica ya fue entregada por Park en 1970. ^[1]

Teorema y demostración

Supongamos que tenemos dos sistemas cuánticos A y B con un espacio de Hilbert común . Supongamos que queremos tener un procedimiento para copiar el estado del sistema cuántico A , sobre el estado del sistema cuántico B, para cualquier estado original (véase la notación bra-ket ). Es decir, comenzando con el estado , queremos terminar con el estado . Para hacer una "copia" del estado A , lo combinamos con el sistema B en algún estado inicial desconocido, o en blanco, independiente de , del que no tenemos conocimiento previo. ${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$

El estado del sistema compuesto inicial se describe entonces mediante el siguiente producto tensorial : (en lo sucesivo omitiremos el símbolo y lo mantendremos implícito). $${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$$ ${\displaystyle \otimes }$

Sólo hay dos operaciones cuánticas permisibles con las que podemos manipular el sistema compuesto:

• Podemos realizar una observación que colapse irreversiblemente el sistema en algún estado propio de un observable , corrompiendo la información contenida en el cúbit o los cúbits . Obviamente, esto no es lo que queremos.
• Como alternativa, podríamos controlar el hamiltoniano del sistema combinado y, por lo tanto, el operador de evolución temporal U ( t ), por ejemplo, para un hamiltoniano independiente del tiempo, . La evolución hasta un tiempo fijo produce un operador unitario U en , el espacio de Hilbert del sistema combinado. Sin embargo, ningún operador unitario U puede clonar todos los estados. ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle H\otimes H}$

El teorema de no clonación responde negativamente a la siguiente pregunta: ¿Es posible construir un operador unitario U , que actúe sobre , bajo el cual el estado en el que se encuentra el sistema B siempre evolucione al estado en el que se encuentra el sistema A, independientemente del estado en el que se encuentre el sistema A? ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H}$

Teorema  —  No existe ningún operador unitario U en tal que para todos los estados normalizados y en para algún número real que dependa de y . ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle U(|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B})=e^{i\alpha (\phi ,e)}|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle e}$

El factor de fase extra expresa el hecho de que un estado mecánico cuántico define un vector normalizado en el espacio de Hilbert sólo hasta un factor de fase, es decir, como un elemento del espacio de Hilbert proyectivizado .

Para demostrar el teorema, seleccionamos un par arbitrario de estados y en el espacio de Hilbert . Como se supone que U es unitario, tendríamos Como se supone que el estado cuántico está normalizado, obtenemos ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$$ ${\displaystyle |e\rangle }$ $${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$$

Esto implica que o bien o bien . Por lo tanto, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, o bien o bien es ortogonal a . Sin embargo, esto no puede suceder en el caso de dos estados arbitrarios . Por lo tanto, un único U universal no puede clonar un estado cuántico general . Esto demuestra el teorema de no clonación. ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$ ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$ ${\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Tomemos como ejemplo un qubit. Puede representarse mediante dos números complejos , llamados amplitudes de probabilidad ( normalizadas a 1 ), es decir, tres números reales (dos ángulos polares y un radio). Copiar tres números en una computadora clásica utilizando cualquier operación de copiar y pegar es trivial (hasta una precisión finita), pero el problema se manifiesta si el qubit se transforma unitariamente (por ejemplo, mediante la puerta cuántica de Hadamard ) para que se polarice (cuya transformación unitaria es una isometría sobreyectiva ). En tal caso, el qubit puede representarse mediante solo dos números reales (un ángulo polar y un radio igual a 1), mientras que el valor del tercero puede ser arbitrario en tal representación. Sin embargo, una realización de un qubit (un fotón codificado por polarización, por ejemplo) es capaz de almacenar todo el soporte de información del qubit dentro de su "estructura". Por lo tanto, ninguna evolución unitaria universal U puede clonar un estado cuántico arbitrario de acuerdo con el teorema de no clonación. Tendría que depender del estado del qubit transformado (inicial) y, por lo tanto, no habría sido universal .

Generalización

En el enunciado del teorema, se hicieron dos suposiciones: el estado a copiar es un estado puro y el copiador propuesto actúa a través de una evolución temporal unitaria. Estas suposiciones no causan pérdida de generalidad. Si el estado a copiar es un estado mixto , se puede "purificar ", es decir, tratar como un estado puro de un sistema más grande. Alternativamente, se puede dar una prueba diferente que funcione directamente con estados mixtos; en este caso, el teorema a menudo se conoce como el teorema de no difusión. ^{[11] [12]} De manera similar, se puede implementar una operación cuántica arbitraria mediante la introducción de una ancilla y la realización de una evolución unitaria adecuada. ^{[ aclaración necesaria ]} Por lo tanto, el teorema de no clonación se cumple en total generalidad.

Para las extensiones de las computadoras cuánticas, el teorema de no clonación sigue siendo válido si se utilizan computadoras cuánticas de postselección o bidireccionales. ^[13] Sin embargo, se afirma que agregar una curva temporal cerrada permite clonar el estado cuántico. ^[14]

Consecuencias

• El teorema de no clonación impide el uso de ciertas técnicas clásicas de corrección de errores en estados cuánticos. Por ejemplo, no se pueden crear copias de seguridad de un estado en medio de un cálculo cuántico y utilizarlas para corregir errores posteriores. La corrección de errores es vital para la computación cuántica práctica y durante algún tiempo no estuvo claro si era posible o no. En 1995, Shor y Steane demostraron que sí lo es, al idear de forma independiente los primeros códigos de corrección de errores cuánticos que eluden el teorema de no clonación.
• De manera similar, la clonación violaría el teorema de no teletransportación , que dice que es imposible convertir un estado cuántico en una secuencia de bits clásicos (incluso una secuencia infinita de bits), copiar esos bits en una nueva ubicación y recrear una copia del estado cuántico original en la nueva ubicación. Esto no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento , que sí permite destruir un estado cuántico en una ubicación y recrear una copia exacta en otra.
• El teorema de no clonación está implícito en el teorema de no comunicación , que establece que el entrelazamiento cuántico no puede utilizarse para transmitir información clásica (ya sea de forma superlumínica o más lenta). Es decir, la clonación, junto con el entrelazamiento, permitiría que se produjera dicha comunicación. Para ver esto, considere el experimento mental EPR y suponga que los estados cuánticos pudieran clonarse. Suponga que partes de un estado de Bell máximamente entrelazado se distribuyen entre Alice y Bob. Alice podría enviar bits a Bob de la siguiente manera: si Alice desea transmitir un "0", mide el espín de su electrón en la dirección z , colapsando el estado de Bob a o . Para transmitir "1", Alice no hace nada con su qubit. Bob crea muchas copias del estado de su electrón y mide el espín de cada copia en la dirección z . Bob sabrá que Alice ha transmitido un "0" si todas sus mediciones producen el mismo resultado; de lo contrario, sus mediciones tendrán resultados o con igual probabilidad. Esto permitiría a Alice y Bob comunicar bits clásicos entre sí (posiblemente a través de separaciones espaciales , violando la causalidad ). ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• Los estados cuánticos no se pueden discriminar perfectamente. ^[15]
• El teorema de no clonación impide interpretar el principio holográfico de los agujeros negros en el sentido de que existen dos copias de información, una en el horizonte de sucesos y la otra en el interior del agujero negro. Esto conduce a interpretaciones más radicales, como la complementariedad de los agujeros negros .
• El teorema de no clonación se aplica a todas las categorías compactas de daga : no existe un morfismo de clonación universal para ninguna categoría no trivial de este tipo. ^[16] Aunque el teorema es inherente a la definición de esta categoría, no es trivial ver que esto es así; la idea es importante, ya que esta categoría incluye cosas que no son espacios de Hilbert de dimensión finita, incluida la categoría de conjuntos y relaciones y la categoría de cobordismos .

Clonación imperfecta

Aunque es imposible hacer copias perfectas de un estado cuántico desconocido, es posible producir copias imperfectas. Esto se puede hacer acoplando un sistema auxiliar más grande al sistema que se va a clonar y aplicando una transformación unitaria al sistema combinado. Si la transformación unitaria se elige correctamente, varios componentes del sistema combinado evolucionarán hasta convertirse en copias aproximadas del sistema original. En 1996, V. Buzek y M. Hillery demostraron que una máquina de clonación universal puede hacer un clon de un estado desconocido con una fidelidad sorprendentemente alta de 5/6. ^[17]

La clonación cuántica imperfecta se puede utilizar como un ataque de espionaje a los protocolos de criptografía cuántica , entre otros usos en la ciencia de la información cuántica.

Véase también

• Grupo de Física Fundamental
• Monogamia del enredo
• Teorema de no transmisión
• Teorema de no comunicación
• Teorema de no eliminación
• Teorema de no ocultamiento
• Entrelazamiento cuántico
• Clonación cuántica
• Información cuántica
• Teletransportación cuántica
• Relaciones de incertidumbre más fuertes
• Principio de incertidumbre

Referencias

1. Park, James (1970). "El concepto de transición en mecánica cuántica". Fundamentos de la física . 1 (1): 23–33. Bibcode :1970FoPh....1...23P. CiteSeerX  10.1.1.623.5267 . doi :10.1007/BF00708652. S2CID  55890485.
2. Wootters, William; Zurek, Wojciech (1982). "Un único cuanto no puede ser clonado". Nature . 299 (5886): 802–803. Código Bibliográfico :1982Natur.299..802W. doi :10.1038/299802a0. S2CID  4339227.
3. Dieks, Dennis (1982). "Comunicación mediante dispositivos EPR". Physics Letters A . 92 (6): 271–272. Bibcode :1982PhLA...92..271D. CiteSeerX 10.1.1.654.7183 . doi :10.1016/0375-9601(82)90084-6. hdl :1874/16932. 
4. Baez, John; Stay, Mike (2010). "Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta" (PDF) . Nuevas estructuras para la física . Berlín: Springer. pp. 95–172. ISBN. 978-3-642-12821-9.
5. Coecke, Bob (2009). "Picturalismo cuántico". Física contemporánea . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . doi :10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.
6. Peres, Asher (2003). "Cómo obtuvo su nombre el teorema de no clonación". Revista de Física . 51 (45): 458–461. arXiv : quant-ph/0205076 . Código Bibliográfico :2003ForPh..51..458P. doi :10.1002/prop.200310062. S2CID  16588882.
7. Kaiser, David (2011). Cómo los hippies salvaron la física: ciencia, contracultura y el renacimiento cuántico . WW Norton . ISBN 978-0-393-07636-3.
8. Herbert, Nick (1982). "FLASH: un comunicador superlumínico basado en un nuevo tipo de medición cuántica". Fundamentos de la física . 12 (12): 1171–1179. Bibcode :1982FoPh...12.1171H. doi :10.1007/BF00729622. S2CID  123118337.
9. Ghirardi, GianCarlo (2013), "Entrelazamiento, no localidad, señalización superlumínica y clonación", en Bracken, Paul (ed.), Advances in Quantum Mechanics , IntechOpen (publicado el 3 de abril de 2013), arXiv : 1305.2305 , doi : 10.5772/56429, ISBN 978-953-51-1089-7, Número de identificación del sujeto  118778014
10. Ortigoso, Juan (2018). "Doce años antes del teorema cuántico de no clonación". American Journal of Physics . 86 (3): 201–205. arXiv : 1707.06910 . Código Bibliográfico :2018AmJPh..86..201O. doi :10.1119/1.5021356. S2CID  119192142.
11. Barnum, Howard; Caves, Carlton M.; Fuchs, Christopher A.; Jozsa, Richard; Schumacher, Benjamin (8 de abril de 1996). "Los estados mixtos que no conmutan no pueden transmitirse". Physical Review Letters . 76 (15): 2818–2821. arXiv : quant-ph/9511010 . Código Bibliográfico :1996PhRvL..76.2818B. doi :10.1103/PhysRevLett.76.2818. PMID  10060796. S2CID  11724387.
12. Kalev, Amir; Hen, Itay (29 de mayo de 2008). "Teorema de no transmisión y su contraparte clásica". Physical Review Letters . 100 (21): 210502. arXiv : 0704.1754 . Código Bibliográfico :2008PhRvL.100u0502K. doi :10.1103/PhysRevLett.100.210502. PMID  18518590. S2CID  40349990.
13. Noor, Mah; Duda, Jarek (2024). "Teorema de no clonación para 2WQC y poselección". arXiv : 2407.15623 [quant-ph].
14. Ahn, Doyeol; Myers, Casey; Ralph, Timothy; Mann, Robert (2013). "Clonación de estados cuánticos en presencia de una curva temporal cerrada". Physical Review A . 88 (2). arXiv : 1207.6062 . doi :10.1103/PhysRevA.88.022332.
15. Bae, Joonwoo; Kwek, Leong-Chuan (27 de febrero de 2015). "Discriminación de estados cuánticos y sus aplicaciones". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 48 (8): 083001. arXiv : 1707.02571 . Bibcode :2015JPhA...48h3001B. doi :10.1088/1751-8113/48/8/083001. ISSN  1751-8113. S2CID  119199057.
16. S. Abramsky, "No-Cloning en mecánica cuántica categórica", (2008) Técnicas semánticas para computación cuántica , I. Mackie y S. Gay (eds), Cambridge University Press. arXiv :0910.2401
17. Bužek, V.; Hillery, M. (1996). "Copia cuántica: más allá del teorema de no clonación". Phys. Rev. A . 54 (3): 1844–1852. arXiv : quant-ph/9607018 . Código Bibliográfico :1996PhRvA..54.1844B. doi :10.1103/PhysRevA.54.1844. PMID  9913670. S2CID  1446565.

Otras fuentes

• V. Buzek y M. Hillery, Clonación cuántica , Physics World 14 (11) (2001), págs. 25–29.