Tensor de Weyl

Medida de la curvatura de una variedad pseudo-riemanniana

En geometría diferencial , el tensor de curvatura de Weyl , llamado así por Hermann Weyl , ^[1] es una medida de la curvatura del espacio-tiempo o, más generalmente, una variedad pseudo-riemanniana . Al igual que el tensor de curvatura de Riemann , el tensor de Weyl expresa la fuerza de marea que siente un cuerpo al moverse a lo largo de una geodésica . El tensor de Weyl se diferencia del tensor de curvatura de Riemann en que no transmite información sobre cómo cambia el volumen del cuerpo, sino solo cómo la forma del cuerpo se distorsiona por la fuerza de marea. La curvatura de Ricci , o componente traza del tensor de Riemann, contiene precisamente la información sobre cómo cambian los volúmenes en presencia de fuerzas de marea, por lo que el tensor de Weyl es el componente sin traza del tensor de Riemann. Este tensor tiene las mismas simetrías que el tensor de Riemann, pero satisface la condición adicional de que no tiene trazas: la contracción métrica en cualquier par de índices da como resultado cero. Se obtiene del tensor de Riemann restando un tensor que es una expresión lineal en el tensor de Ricci.

En la relatividad general , la curvatura de Weyl es la única parte de la curvatura que existe en el espacio libre (una solución de la ecuación de Einstein del vacío ) y gobierna la propagación de ondas gravitacionales a través de regiones del espacio desprovistas de materia. ^[2] De manera más general, la curvatura de Weyl es el único componente de la curvatura para variedades planas de Ricci y siempre gobierna las características de las ecuaciones de campo de una variedad de Einstein . ^[2]

En las dimensiones 2 y 3, el tensor de curvatura de Weyl se anula de forma idéntica. En dimensiones ≥ 4, la curvatura de Weyl es generalmente distinta de cero. Si el tensor de Weyl se anula en la dimensión ≥ 4, entonces la métrica es localmente conformemente plana : existe un sistema de coordenadas local en el que el tensor métrico es proporcional a un tensor constante. Este hecho fue un componente clave de la teoría de la gravitación de Nordström , que fue precursora de la relatividad general .

Definición

El tensor de Weyl se puede obtener a partir del tensor de curvatura completa restando varias trazas. Esto se hace más fácilmente escribiendo el tensor de Riemann como un tensor de valencia (0,4) (contrayéndolo con la métrica). El tensor de Weyl de valencia (0,4) es entonces (Petersen 2006, p. 92)

${\displaystyle C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$

donde n es la dimensión de la variedad, g es la métrica, R es el tensor de Riemann, Ric es el tensor de Ricci , s es la curvatura escalar y denota el producto Kulkarni-Nomizu de dos tensores simétricos (0,2): ${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_{4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\{}-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2},v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}}$

En notación de componentes tensoriales, esto se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}}\left(R_{im}g_{k\ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned}}}$

El tensor de Weyl valente ordinario (1,3) se obtiene entonces contrayendo lo anterior con el inverso de la métrica.

La descomposición ( 1 ) expresa el tensor de Riemann como una suma directa ortogonal , en el sentido de que

${\displaystyle |R|^{2}=|C|^{2}+\left|{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}.}$

Esta descomposición, conocida como descomposición de Ricci , expresa el tensor de curvatura de Riemann en sus componentes irreducibles bajo la acción del grupo ortogonal . ^[3] En la dimensión 4, el tensor de Weyl se descompone además en factores invariantes para la acción del grupo ortogonal especial , las partes auto-duales y anti-auto-duales C ⁺ y C− ^.

El tensor de Weyl también se puede expresar utilizando el tensor de Schouten , que es un múltiplo ajustado por traza del tensor de Ricci,

${\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{2(n-1)}}g\right).}$

Entonces

${\displaystyle C=R-P{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g.}$

En los índices, ^[4]

${\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}$

donde es el tensor de Riemann, es el tensor de Ricci, es el escalar de Ricci (la curvatura escalar) y los corchetes alrededor de los índices se refieren a la parte antisimétrica . Equivalentemente, ${\displaystyle R_{abcd}}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}}$

donde S denota el tensor de Schouten .

Propiedades

Reescalado conforme

El tensor de Weyl tiene la propiedad especial de que es invariante ante cambios conformes a la métrica . Es decir, si para alguna función escalar positiva entonces el tensor de Weyl valente (1,3) satisface . Por esta razón el tensor de Weyl también se llama tensor conforme . De ello se deduce que una condición necesaria para que una variedad de Riemann sea conformemente plana es que el tensor de Weyl se anule. En dimensiones ≥ 4 esta condición también es suficiente . En dimensión 3 la desaparición del tensor de Cotton es una condición necesaria y suficiente para que la variedad de Riemann sea conformemente plana. Cualquier variedad de Riemann bidimensional (suave) es conformemente plana, una consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas . ${\displaystyle g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}}$

De hecho, la existencia de una escala plana conforme equivale a resolver la ecuación diferencial parcial sobredeterminada.

${\displaystyle Ddf-df\otimes df+\left(|df|^{2}+{\frac {\Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .}$

En la dimensión ≥ 4, la desaparición del tensor de Weyl es la única condición de integrabilidad para esta ecuación; en la dimensión 3, es el tensor de Cotton .

Simetrías

El tensor de Weyl tiene las mismas simetrías que el tensor de Riemann. Esto incluye:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\langle C(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w+C(v,w)u+C(w,u)v&=0.\end{aligned}}}$

Además, por supuesto, el tensor de Weyl no tiene trazas:

${\displaystyle \operatorname {tr} C(u,\cdot )v=0}$

para todos u , v . En los índices estas cuatro condiciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\\{C^{a}}_{bac}&=0.\end{aligned}}}$

Identidad de Bianchi

Tomando rastros de la segunda identidad de Bianchi habitual del tensor de Riemann finalmente se muestra que

${\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}}$

donde S es el tensor de Schouten . El tensor de valencia (0,3) en el lado derecho es el tensor de Cotton , además del factor inicial.

Véase también

• Curvatura de las variedades de Riemann
• Los símbolos de Christoffel proporcionan una expresión de coordenadas para el tensor de Weyl.
• Tensor de Lanczos
• Teorema de pelado
• Clasificación de Petrov
• Tensor de Plebanski
• Hipótesis de curvatura de Weyl
• Escalar de Weyl

Notas

1. Weyl, Hermann (1 de septiembre de 1918). "Reina de geometría infinita". Mathematische Zeitschrift (en alemán). 2 (3): 384–411. Código Bib : 1918MatZ....2..384W. doi :10.1007/BF01199420. ISSN  1432-1823. S2CID  186232500.
2. Danehkar, A. (2009). "Sobre el significado de la curvatura de Weyl en un modelo cosmológico relativista". Mod. Phys. Lett. A . 24 (38): 3113–3127. arXiv : 0707.2987 . Bibcode :2009MPLA...24.3113D. doi :10.1142/S0217732309032046. S2CID  15949217.
3. Cantante y Thorpe 1969.
4. Grøn y Hervik 2007, pág. 490

Referencias

• Hawking, Stephen W. ; Ellis, George FR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Petersen, Peter (2006), Geometría de Riemann , Graduate Texts in Mathematics, vol. 171 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0387292462, Sr.  2243772.
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.
• Singer, IM ; Thorpe, JA (1969), "La curvatura de los espacios de Einstein de cuatro dimensiones", Global Analysis (Documentos en honor a K. Kodaira) , Univ. Tokyo Press, págs. 355–365
• "Tensor de Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Teoría general de la relatividad de Einstein , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2