Suma directa de módulos

Operación en álgebra abstracta

En álgebra abstracta , la suma directa es una construcción que combina varios módulos en un módulo nuevo y más grande. La suma directa de módulos es el módulo más pequeño que contiene los módulos dados como submódulos sin restricciones "innecesarias", lo que lo convierte en un ejemplo de coproducto . Contrasta con el producto directo , que es la noción dual .

Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales (módulos sobre un campo ) y grupos abelianos (módulos sobre el anillo Z de números enteros ). La construcción también puede ampliarse para cubrir espacios de Banach y espacios de Hilbert .

Consulte el artículo descomposición de un módulo para conocer una forma de escribir un módulo como una suma directa de submódulos.

Construcción de espacios vectoriales y grupos abelianos.

Damos la construcción primero en estos dos casos, bajo el supuesto de que tenemos sólo dos objetos. Luego generalizamos a una familia arbitraria de módulos arbitrarios. Los elementos clave de la construcción general se identifican más claramente al considerar estos dos casos en profundidad.

Construcción para dos espacios vectoriales.

Supongamos que V y W son espacios vectoriales sobre el campo K. Al producto cartesiano V × W se le puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre K (Halmos 1974, §18) definiendo las operaciones por componentes:

• ( v ₁ , w ₁ ) + ( v ₂ , w ₂ ) = ( v ₁ + v ₂ , w ₁ + w ₂ )
• α ( v , w ) = ( α v , α w )

para v , v ₁ , v ₂ ∈ V , w , w ₁ , w ₂ ∈ W y α ∈ K .

El espacio vectorial resultante se llama suma directa de V y W y generalmente se denota con un símbolo más dentro de un círculo:

$${\displaystyle V\oplus W}$$

Es costumbre escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( v , w ), sino como una suma v + w .

El subespacio V × {0} de V ⊕ W es isomorfo a V y a menudo se identifica con V ; de manera similar para {0} × W y W . (Consulte la suma directa interna a continuación). Con esta identificación, cada elemento de V ⊕ W se puede escribir de una sola manera como la suma de un elemento de V y un elemento de W. La dimensión de V ⊕ W es igual a la suma de las dimensiones de V y W. Un uso elemental es la reconstrucción de un espacio vectorial finito a partir de cualquier subespacio W y su complemento ortogonal:

$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$$

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de espacios vectoriales.

Construcción para dos grupos abelianos.

Para los grupos abelianos G y H que se escriben de forma aditiva, el producto directo de G y H también se denomina suma directa (Mac Lane y Birkhoff 1999, §V.6). Así, el producto cartesiano G × H está equipado con la estructura de un grupo abeliano definiendo las operaciones por componentes:

( gramo ₁ , h ₁ ) + ( gramo ₂ , h ₂ ) = ( gramo ₁ + gramo ₂ , h ₁ + h ₂ )

para g ₁ , g ₂ en G y h ₁ , h ₂ en H .

Los múltiplos integrales se definen de manera similar por componentes mediante

norte ( gramo , h ) = ( ng , nh )

para g en G , h en H y n un número entero . Esto es paralelo a la extensión del producto escalar de espacios vectoriales a la suma directa anterior.

El grupo abeliano resultante se llama suma directa de G y H y generalmente se denota con un símbolo más dentro de un círculo:

$${\displaystyle G\oplus H}$$

Es costumbre escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados ( g , h ), sino como una suma g + h .

El subgrupo G × {0} de G ⊕ H es isomorfo a G y a menudo se identifica con G ; de manera similar para {0} × H y H . (Ver suma directa interna a continuación . ) Con esta identificación, es cierto que cada elemento de G ⊕ H se puede escribir de una y sólo una manera como la suma de un elemento de G y un elemento de H. El rango de G ⊕ H es igual a la suma de los rangos de G y H.

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de grupos abelianos.

Construcción para una familia arbitraria de módulos.

Cabe notar una clara similitud entre las definiciones de la suma directa de dos espacios vectoriales y de dos grupos abelianos. De hecho, cada uno es un caso especial de la construcción de la suma directa de dos módulos . Además, modificando la definición se puede acomodar la suma directa de una familia infinita de módulos. La definición precisa es la siguiente (Bourbaki 1989, §II.1.6).

Sea R un anillo y { M _i  :  i  ∈  I } una familia de R -módulos izquierdos indexados por el conjunto I. La suma directa de { M _i } se define entonces como el conjunto de todas las secuencias donde y para un número infinito de índices i . (El producto directo es análogo, pero no es necesario que los índices desaparezcan infinitamente). ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

También se puede definir como funciones α de I a la unión disjunta de los módulos M _i tales que α( i ) ∈  M _i para todo i ∈ I y α( i ) = 0 para un número infinito de índices i . Estas funciones pueden considerarse de manera equivalente como secciones finitamente soportadas del haz de fibras sobre el conjunto de índices I , con la fibra por encima . ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Este conjunto hereda la estructura del módulo mediante la suma de componentes y la multiplicación escalar. Explícitamente, dos de estas secuencias (o funciones) α y β se pueden sumar escribiendo para todo i (tenga en cuenta que esto es nuevamente cero para todos los índices excepto para un número finito), y dicha función se puede multiplicar con un elemento r de R definiendo para todos yo . De esta manera, la suma directa se convierte en un módulo R izquierdo y se denota ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$ ${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$

$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$$

Se acostumbra escribir la secuencia como una suma . A veces se utiliza una suma prima para indicar que muchos de los términos son cero. ${\displaystyle (\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \sum \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sum '\alpha _{i}}$

Propiedades

• La suma directa es un submódulo del producto directo de los módulos _Mi ( Bourbaki 1989, §II.1.7). El producto directo es el conjunto de todas las funciones α desde I hasta la unión disjunta de los módulos Mi con α ( i )∈ Mi , pero no necesariamente desaparece para _{todos excepto} para un número finito de i . Si el conjunto de índices I es finito, entonces la suma directa y el producto directo son iguales.
• Cada uno de los módulos Mi puede identificarse con el submódulo de la suma directa formado por aquellas funciones que desaparecen en todos los índices diferentes _de i . Con estas identificaciones, cada elemento x de la suma directa se puede escribir de una y sólo una forma como suma de un número finito de elementos de los _módulos Mi.
• Si los M _i son en realidad espacios vectoriales, entonces la dimensión de la suma directa es igual a la suma de las dimensiones de los M _i . Lo mismo ocurre con el rango de los grupos abelianos y la duración de los módulos .
• Todo espacio vectorial sobre el campo K es isomorfo a una suma directa de suficientes copias de K , por lo que en cierto sentido sólo deben considerarse estas sumas directas. Esto no es cierto para módulos sobre anillos arbitrarios.
• El producto tensorial se distribuye entre sumas directas en el siguiente sentido: si N es algún módulo R derecho , entonces la suma directa de los productos tensoriales de N con M _i (que son grupos abelianos) es naturalmente isomorfa al producto tensorial de N con la suma directa de la M _i .
• Las sumas directas son conmutativas y asociativas (hasta el isomorfismo), lo que significa que no importa en qué orden se forme la suma directa.
• El grupo abeliano de R - homomorfismos lineales de la suma directa a algún R -módulo L izquierdo es naturalmente isomorfo al producto directo de los grupos abelianos de R -homomorfismos lineales de M _i a L :
  $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$$
  De hecho, hay claramente un homomorfismo τ desde el lado izquierdo al lado derecho, donde τ ( θ )( i ) es el homomorfismo R -lineal que envía x ∈ M _i a θ ( x ) (usando la inclusión natural de M _i en la suma directa). La inversa del homomorfismo τ está definida por
  $${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$$
  para cualquier α en la suma directa de los módulos M _i . El punto clave es que la definición de τ ⁻¹ tiene sentido porque α ( i ) es cero para todos menos para un número finito de i , por lo que la suma es finita.
  En particular, el espacio vectorial dual de una suma directa de espacios vectoriales es isomorfo al producto directo de los duales de esos espacios.
• La suma directa finita de módulos es un biproducto : si
  $${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$$
  son los mapeos de proyección canónicos y
  $${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$
  son los mapeos de inclusión, entonces
  $${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$$
  es igual al morfismo de identidad de A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _n , y
  $${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$$
  es el morfismo de identidad de A _k en el caso l = k , y es el mapa cero en caso contrario.

Suma directa interna

Supongamos que M es un módulo R y M _i es un submódulo de M para cada i en I. Si cada x en M puede escribirse exactamente de una manera como una suma de un número finito de elementos de _M i _, entonces decimos que M es la suma directa interna de los submódulos Mi (Halmos 1974, §18). En este caso, M es naturalmente isomorfo a la suma directa (externa) de M _i como se definió anteriormente (Adamson 1972, p.61).

Un submódulo N de M es una suma directa de M si existe algún otro submódulo N′ de M tal que M sea la suma directa interna de N y N′ . En este caso, N y N′ se denominan submódulos complementarios .

propiedad universal

En el lenguaje de la teoría de categorías , la suma directa es un coproducto y, por tanto, un colimit en la categoría de R -módulos izquierdos, lo que significa que se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Para cada i en I , considere la incrustación natural

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

que envía los elementos de _Mi a aquellas funciones que son cero para todos los argumentos menos i . Ahora sea M un módulo R arbitrario y f _i  : M _i → M sean aplicaciones R -lineales arbitrarias para cada i , entonces existe precisamente una aplicación R -lineal

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

tal que f o j _i = f _i para todo i .

Grupo Grothendieck

La suma directa le da a una colección de objetos la estructura de un monoide conmutativo , en el sentido de que se define la suma de objetos, pero no la resta. De hecho, se puede definir la resta y cada monoide conmutativo se puede extender a un grupo abeliano . Esta extensión se conoce como grupo Grothendieck . La extensión se realiza definiendo clases de equivalencia de pares de objetos, lo que permite tratar ciertos pares como inversos. La construcción, detallada en el artículo sobre el grupo de Grothendieck, es "universal", ya que tiene la propiedad universal de ser única y homomórfica a cualquier otra incorporación de un monoide conmutativo en un grupo abeliano.

Suma directa de módulos con estructura adicional

Si los módulos que estamos considerando tienen alguna estructura adicional (por ejemplo, una norma o un producto interno ), entonces a menudo se puede hacer que la suma directa de los módulos también tenga esta estructura adicional. En este caso, obtenemos el coproducto en la categoría apropiada de todos los objetos que llevan la estructura adicional. Dos ejemplos destacados ocurren para los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .

En algunos textos clásicos, la frase "suma directa de álgebras sobre un campo " también se introduce para denotar la estructura algebraica que actualmente se denomina más comúnmente producto directo de álgebras; es decir, el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes con las operaciones por componentes . Esta construcción, sin embargo, no proporciona un coproducto en la categoría de álgebras, sino un producto directo ( ver nota a continuación y el comentario sobre sumas directas de anillos ).

Suma directa de álgebras

Una suma directa de álgebras y es la suma directa como espacios vectoriales, con producto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

Considere estos ejemplos clásicos:

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$es un anillo isomorfo a números complejos divididos , también utilizado en análisis de intervalos .

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$es el álgebra de tesarinos introducida por James Cockle en 1848.

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,}$llamados bicuaterniones divididos , fueron introducidos por William Kingdon Clifford en 1873.

Joseph Wedderburn explotó el concepto de suma directa de álgebras en su clasificación de números hipercomplejos . Véanse sus Lectures on Matrices (1934), página 151. Wedderburn deja clara la distinción entre una suma directa y un producto directo de álgebras: Para la suma directa el campo de escalares actúa conjuntamente en ambas partes: mientras que para el producto directo un factor escalar se puede recopilar alternativamente con las partes, pero no con ambas: Ian R. Porteous usa las tres sumas directas anteriores, denotándolas como anillos de escalares en su análisis de Clifford Algebras and the Classical Groups (1995). ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$ ${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).\!}$ ${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}$

La construcción descrita anteriormente, así como el uso que hace Wedderburn de los términos suma directa y producto directo, siguen una convención diferente a la de la teoría de categorías . En términos categóricos, la suma directa de Wedderburn es un producto categórico , mientras que el producto directo de Wedderburn es un coproducto (o suma categórica) , que (para álgebras conmutativas) en realidad corresponde al producto tensorial de las álgebras .

Suma directa de espacios de Banach

La suma directa de dos espacios de Banach y es la suma directa de y considerados espacios vectoriales, con la norma para todos y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

Generalmente, si es una colección de espacios de Banach, donde atraviesa el conjunto de índices, entonces la suma directa es un módulo que consta de todas las funciones definidas de manera que para todos y ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x(i)\in X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$$

La norma viene dada por la suma anterior. La suma directa con esta norma es nuevamente un espacio de Banach.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices y luego la suma directa es el espacio que consta de todas las secuencias de reales con norma finita ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{1},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

Un subespacio cerrado de un espacio de Banach se complementa si hay otro subespacio cerrado que sea igual a la suma directa interna. Tenga en cuenta que no todos los subespacios cerrados se complementan; por ejemplo , no se complementa en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\oplus B.}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Suma directa de módulos con formas bilineales.

Sea una familia indexada por de módulos equipados con formas bilineales . La suma directa ortogonal es la suma directa del módulo con forma bilineal definida por ^[1] ${\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$$

${\displaystyle I}$

Suma directa de espacios de Hilbert

Si se dan un número finito de espacios de Hilbert , se puede construir su suma directa ortogonal como se indicó anteriormente (ya que son espacios vectoriales), definiendo el producto interno como: ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$

$${\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$$

La suma directa resultante es un espacio de Hilbert que contiene los espacios de Hilbert dados como subespacios mutuamente ortogonales .

Si se dan infinitos espacios de Hilbert para , podemos realizar la misma construcción; observe que al definir el producto interno, solo un número finito de sumandos serán distintos de cero. Sin embargo, el resultado será sólo un espacio de producto interno y no necesariamente estará completo . Luego definimos la suma directa de los espacios de Hilbert como la finalización de este espacio de producto interno. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle H_{i}}$

De manera alternativa y equivalente, se puede definir la suma directa de los espacios de Hilbert como el espacio de todas las funciones α con dominio tal que es un elemento de para cada y: ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \alpha (i)}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$$

El producto interno de dos funciones α y β se define entonces como:

$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$$

Este espacio está completo y obtenemos un espacio de Hilbert.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices y luego la suma directa es el espacio que consta de todas las secuencias de reales con norma finita . Comparando esto con el ejemplo de los espacios de Banach , vemos que la suma directa del espacio de Banach y el espacio directo de Hilbert La suma no es necesariamente la misma. Pero si solo hay un número finito de sumandos, entonces la suma directa del espacio de Banach es isomorfa a la suma directa del espacio de Hilbert, aunque la norma será diferente. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{2},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$ ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$

Todo espacio de Hilbert es isomorfo a una suma directa de un número suficiente de copias del campo base, lo cual es equivalente a la afirmación de que todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal. De manera más general, todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert se complementa porque admite un complemento ortogonal . Por el contrario, el teorema de Lindenstrauss-Tzafriri afirma que si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach se complementa, entonces el espacio de Banach es isomorfo (topológicamente) a un espacio de Hilbert. ${\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .}$

Ver también

• biproducto
• Módulo indescomponible
• Teorema de Jordan-Hölder
• Teorema de Krull-Schmidt  - Teorema matemático
• Secuencia exacta dividida  : secuencia exacta corta donde el término medio es la suma directa de los externos y los mapas de estructura son la inclusión y proyección canónicas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . págs. 4–5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.

• Adamson, Iain T. (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver y Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1991), Álgebra abstracta , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
• Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999), Álgebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.