El problema de Waring

Problema matemático en teoría de números.

En teoría de números , el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene un entero positivo asociado s tal que cada número natural sea la suma de como máximo s números naturales elevados a la potencia k . Por ejemplo, todo número natural es la suma de como máximo 4 cuadrados, 9 cubos o 19 cuartas potencias. El problema de Waring fue propuesto en 1770 por Edward Waring , de quien lleva su nombre. Su respuesta afirmativa, conocida como teorema de Hilbert-Waring , fue proporcionada por Hilbert en 1909. ^[1] El problema de Waring tiene su propia Clasificación de Matemáticas por Materias , 11P05, "El problema de Waring y sus variantes".

Relación con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Mucho antes de que Waring planteara su problema, Diofanto había preguntado si todo número entero positivo podía representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales a cero. Esta cuestión más tarde se conoció como la conjetura de Bachet, después de la traducción de Diofanto de 1621 por Claude Gaspard Bachet de Méziriac , y fue resuelta por Joseph-Louis Lagrange en su teorema de los cuatro cuadrados en 1770, el mismo año en que Waring hizo su conjetura. Waring intentó generalizar este problema tratando de representar todos los números enteros positivos como la suma de cubos, números enteros elevados a la cuarta potencia, etc., para mostrar que cualquier número entero positivo puede representarse como la suma de otros números enteros elevados a un exponente específico. y que siempre había un número máximo de números enteros elevados a un cierto exponente necesarios para representar todos los números enteros positivos de esta manera.

El número g ( k )

Para cada , denotemos el número mínimo de potencias de naturales necesarias para representar todos los números enteros positivos. Todo número entero positivo es la suma de una primera potencia, ella misma, por lo que . Algunos cálculos simples muestran que 7 requiere 4 cuadrados, 23 requiere 9 cubos, ^[2] y 79 requiere 19 cuartas potencias; estos ejemplos muestran que , y . Waring conjeturó que estos límites inferiores eran en realidad valores exactos. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(k)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(1)=1}$ ${\displaystyle g(2)\geq 4}$ ${\displaystyle g(3)\geq 9}$ ${\displaystyle g(4)\geq 19}$

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange de 1770 establece que todo número natural es la suma de como máximo cuatro cuadrados. Como tres cuadrados no son suficientes, este teorema establece . El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange fue conjeturado en la edición de Bachet de 1621 de la Arithmetica de Diofanto ; Fermat afirmó tener una prueba, pero no la publicó. ^[3] ${\displaystyle g(2)=4}$

A lo largo de los años se establecieron diversos límites, utilizando técnicas de prueba cada vez más sofisticadas y complejas. Por ejemplo, Liouville demostró que como máximo es 53. Hardy y Littlewood demostraron que todos los números suficientemente grandes son la suma de como máximo 19 cuartas potencias. ${\displaystyle g(4)}$

Esto fue establecido de 1909 a 1912 por Wieferich ^[4] y AJ Kempner , ^[5] en 1986 por R. Balasubramanian , F. Dress y J.-M. Deshouillers , ^{[6] [7]} en 1964 por Chen Jingrun , y en 1940 por Pillai . ^[8] ${\displaystyle g(3)=9}$ ${\displaystyle g(4)=19}$ ${\displaystyle g(5)=37}$ ${\displaystyle g(6)=73}$

Sea y, respectivamente, la parte integral y fraccionaria de un número real positivo . Dado el número , sólo y puede usarse para representar ; la representación más económica requiere términos de y términos de . Se deduce que es al menos tan grande como . Esto fue observado por J. A. Euler , hijo de Leonhard Euler , alrededor de 1772. ^[9] Trabajos posteriores de Dickson , Pillai , Rubugunday , Niven ^[10] y muchos otros han demostrado que ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle 1^{k}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle 1^{k}}$ ${\displaystyle g(k)}$ ${\displaystyle 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$

${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.\end{cases}}}$

No se conoce ningún valor de para qué . Mahler ^[11] demostró que sólo puede haber un número finito de tales , y Kubina y Wunderlich ^[12] han demostrado que cualquiera de ellos debe satisfacer . Así se conjetura que esto nunca sucede, es decir, para todo número entero positivo . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>471\,600\,000}$ ${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$ ${\displaystyle k}$

Los primeros valores de son: ${\displaystyle g(k)}$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (secuencia A002 804 en la OEIS ) .

El número G ( k )

Del trabajo de Hardy y Littlewood , ^[13] la cantidad relacionada G ( k ) se estudió con g ( k ). G ( k ) se define como el número entero menos positivo s tal que cada número entero suficientemente grande (es decir, cada número entero mayor que alguna constante) puede representarse como una suma de como máximo s enteros positivos elevado a k . Claramente, G (1) = 1. Dado que los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 (mod 8), ningún entero congruente con 7 (mod 8) puede representarse como una suma de tres cuadrados, lo que implica que G (2) ≥ 4 . Dado que G ( k ) ≤ g ( k ) para todo k , esto muestra que G (2) = 4 . Davenport demostró ^[14] que G (4) = 16 en 1939, al demostrar que cualquier número suficientemente grande congruente con 1 a 14 mod 16 podría escribirse como una suma de 14 cuartas potencias (Vaughan en 1986 ^[15] y 1989 ^{[16 ]} redujo los 14 bicuadrados sucesivamente a 13 y 12). Se desconoce el valor exacto de G ( k ) para cualquier otro k , pero existen límites.

Límites inferiores para G ( k )

El número G ( k ) es mayor o igual a

En ausencia de restricciones de congruencia, un argumento de densidad sugiere que G ( k ) debería ser igual a k + 1 .

Límites superiores para G ( k )

G (3) es al menos 4 (ya que los cubos son congruentes con 0, 1 o −1 mod 9); para números menores que 1,3 × 10⁹ ,1 290 740 es el último que requiere 6 cubos, y el número de números entre N y 2 N que requieren 5 cubos disminuye al aumentar N a una velocidad suficiente para que la gente crea que G (3) = 4 ; ^[17] el número más grande que ahora se sabe que no es una suma de 4 cubos es7 373 170 279 850 , ^[18] y los autores dan allí argumentos razonables de que esto puede ser el mayor posible. El límite superior G (3) ≤ 7 se debe a Linnik en 1943. ^[19] (Todos los números enteros no negativos requieren como máximo 9 cubos, y se conjetura que los números enteros más grandes que requieren 9, 8, 7, 6 y 5 cubos son 239, 454, 8042,1 290 740 y7 373 170 279 850 , respectivamente.)

13 792 es el número más grande que requiere 17 cuartas potencias (Deshouillers, Hennecart y Landreau demostraron en 2000 ^[20] que cada número entre13 793 y 10 ²⁴⁵ requerían como máximo 16, y Kawada, Wooley y Deshouillers ampliaron ^[21] el resultado de Davenport de 1939 para mostrar que cada número por encima de 10 ²²⁰ no requería más de 16). Los números de la forma 31·16 ⁿ siempre requieren 16 cuartas potencias.

68 578 904 422 es el último número conocido que requiere 9 quintas potencias (secuencia entera S001057, Tony D. Noe, 4 de julio de 2017),617 597 724 es el último número menor que 1,3 × 10⁹ que requiere 10 quintas potencias, y51 033 617 es el último número menor que 1,3 × 10⁹ que requiere 11.

Los límites superiores de la derecha con k = 5, 6, ..., 20 se deben a Vaughan y Wooley . ^[22]

Utilizando su método Hardy-Littlewood mejorado , I. M. Vinogradov publicó numerosos refinamientos que condujeron a

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

en 1947 ^[23] y, finalmente,

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

para una constante C no especificada y k suficientemente grande en 1959. ^[24]

Aplicando su forma p -ádica del método Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en las que la suma se realiza sobre números con divisores primos pequeños, Anatolii Alexeevitch Karatsuba obtuvo ^[25] (1985) una nueva estimación del método Hardy- Littlewood-Ramanujan-Vinogradov. función (para ): ${\displaystyle G(k)}$ ${\displaystyle k\geq 400}$

${\displaystyle G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k.}$

Vaughan obtuvo más mejoras en 1989. ^[16]

Wooley luego estableció que para alguna constante C , ^[26]

${\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck.}$

El artículo de encuesta de Vaughan y Wooley de 2002 era completo en ese momento. ^[22]

Ver también

• Teorema del número poligonal de Fermat , según el cual cada entero positivo es una suma de como máximo n de los n números n -gonales
• Problema de Waring-Goldbach , el problema de representar números como sumas de potencias de números primos
• Problema de suma de subconjuntos , un problema algorítmico que se puede utilizar para encontrar la representación más corta de un número dado como suma de potencias.
• Las conjeturas de Pollock
• Sumas de tres cubos , analiza qué números son la suma de tres cubos no necesariamente positivos
• Problema de sumas de cuatro cubos , analiza si todo número racional es la suma de cuatro cubos de números enteros racionales

Notas

1. Hilbert, David (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Problema de Waringsches)". Mathematische Annalen (en alemán). 67 (3): 281–300. doi :10.1007/bf01450405. SEÑOR  1511530. S2CID  179177986.
2. Recuerde que nos restringimos a los números naturales. Con números enteros generales, no es difícil escribir 23 como la suma de 4 cubos, por ejemplo o . ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}$ ${\displaystyle 29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}}$
3. Dickson, Leonard Eugene (1920). "Capítulo VIII". Historia de la Teoría de los Números . vol. II: Análisis Diofántico. Instituto Carnegie de Washington .
4. Wieferich, Arthur (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positivn Kuben darstellen läßt". Mathematische Annalen (en alemán). 66 (1): 95-101. doi :10.1007/BF01450913. S2CID  121386035.
5. Kempner, Aubrey (1912). "Problema Bemerkungen zum Waringschen". Mathematische Annalen (en alemán). 72 (3): 387–399. doi :10.1007/BF01456723. S2CID  120101223.
6. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Vestido, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solución" [Problema de Waring para bicuadrados. I. Bosquejo de la solución]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 303 (4): 85–88. SEÑOR  0853592.
7. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Vestido, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique" [Problema de Waring para bicuadrados. II. Resultados auxiliares del teorema asintótico]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 303 (5): 161–163. SEÑOR  0854724.
8. Pillai, SS (1940). "Sobre el problema de Waring g (6) = 73". Proc. Académico indio. Ciencia . 12 : 30–40. doi :10.1007/BF03170721. SEÑOR  0002993. S2CID  185097940.
9. L. Euler , "Ópera póstuma" (1), 203-204 (1862).
10. Niven, Ivan M. (1944). "Un caso sin resolver del problema de Waring". Revista Estadounidense de Matemáticas . 66 (1). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 137–143. doi :10.2307/2371901. JSTOR  2371901. SEÑOR  0009386.
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13. Resistente, GH; Littlewood, JE (1922). "Algunos problemas de Partitio Numerorum : IV. La serie singular en el problema de Waring y el valor del número G (k)". Mathematische Zeitschrift . 12 (1): 161–188. doi :10.1007/BF01482074. ISSN  0025-5874.
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22. Vaughan, RC; Wooley, Trevor (2002). "El problema de Waring: una encuesta". En Bennet, Michael A.; Berndt, Bruce C.; Boston, Nigel; Diamante, Harold G.; Hildebrand, Adolf J.; Philipp, Walter (eds.). Teoría de números para el milenio . vol. III. Natick, MA: AK Peters. págs. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. SEÑOR  1956283.
23. Vinogradov, Ivan Matveevich (1 de septiembre de 2004) [1947]. El método de las sumas trigonométricas en la teoría de números . Traducido por Roth, KF; Davenport, Ana. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-43878-8.
24. "IM Vinogradov", En un límite superior para $G(n)$", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 23:5 (1959), 637–642". Math-Net.Ru (en ruso) . Consultado el 18 de abril de 2024 .
25. Karatsuba, AA (1985). "Sobre la función G ( n ) en el problema de Waring". Izv. Akád. Nauk SSSR, ser. Matemáticas . 27 (49:5): 935–947. Código Bib : 1986IzMat..27..239K. doi :10.1070/IM1986v027n02ABEH001176.
26. Vaughan, RC (1997). El método Hardy-Littlewood . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 125 (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-57347-5. Zbl  0868.11046.

Referencias

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• Ellison, WJ (1971). "El problema de Waring". Mensual Matemático Estadounidense . 78 (1): 10–36. doi :10.2307/2317482. JSTOR  2317482.Survey, contiene la fórmula precisa para G ( k ), una versión simplificada de la prueba de Hilbert y una gran cantidad de referencias.
• Khinchin, A. Ya. (1998). Tres perlas de la teoría de números . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-40026-6.Tiene una prueba elemental de la existencia de G ( k ) utilizando la densidad de Schnirelmann .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 164. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94656-X. Zbl  0859.11002.Tiene pruebas del teorema de Lagrange, el teorema del número poligonal , la prueba de Hilbert de la conjetura de Waring y la prueba de Hardy-Littlewood de la fórmula asintótica para el número de formas de representar N como la suma de s k- ésimas potencias.
• Hans Rademacher y Otto Toeplitz , El disfrute de las matemáticas (1933) ( ISBN 0-691-02351-4 ). Tiene una demostración del teorema de Lagrange, accesible a estudiantes de secundaria. 

enlaces externos

• "Problema de guerra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]