En la teoría de números aditivos , el teorema de los números poligonales de Fermat establece que todo entero positivo es una suma de como máximo n números n -gonales . Es decir, todo entero positivo puede escribirse como la suma de tres o menos números triangulares , y como la suma de cuatro o menos números cuadrados , y como la suma de cinco o menos números pentagonales , y así sucesivamente. Es decir, los números n -gonales forman una base aditiva de orden n .
A continuación se muestran, por ejemplo, tres representaciones del número 17:
El teorema recibe su nombre de Pierre de Fermat , quien lo formuló en 1638 sin pruebas, prometiendo escribirlo en una obra separada que nunca apareció. [1] Joseph Louis Lagrange demostró el caso cuadrado en 1770, que establece que todo número positivo puede representarse como una suma de cuatro cuadrados, por ejemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1. [ 1] Gauss demostró el caso triangular en 1796, conmemorando la ocasión escribiendo en su diario la línea « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ », [2] y publicó una prueba en su libro Disquisitiones Arithmeticae . Por esta razón, el resultado de Gauss a veces se conoce como el teorema de Eureka . [3] El teorema del número poligonal completo no se resolvió hasta que fue finalmente demostrado por Cauchy en 1813. [1] La prueba de Nathanson (1987) se basa en el siguiente lema debido a Cauchy:
Para los enteros positivos impares a y b tales que b 2 < 4 a y 3 a < b 2 + 2 b + 4 podemos encontrar los enteros no negativos s , t , u y v tales que a = s 2 + t 2 + u 2 + v 2 y b = s + t + u + v .