Densidad de Schnirelmann

En la teoría de números aditivos, una forma de medir qué tan densa es una secuencia de números.

En la teoría de números aditivos , la densidad de Schnirelmann de una secuencia de números es una forma de medir cuán "densa" es la secuencia. Recibe su nombre en honor al matemático ruso Lev Schnirelmann , quien fue el primero en estudiarla. ^{[1] [2]}

Definición

La densidad de Schnirelmann de un conjunto de números naturales A se define como

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}},}$

donde A ( n ) denota el número de elementos de A que no excede n e inf es ínfimo . ^[3]

La densidad de Schnirelmann está bien definida incluso si el límite de A ( n )/ n cuando n → ∞ no existe (ver densidad asintótica superior e inferior ).

Propiedades

Por definición, 0 ≤ A ( n ) ≤ n y n σ A ≤ A ( n ) para todo n , y por lo tanto 0 ≤ σ A ≤ 1 , y σ A = 1 si y solo si A = N . Además,

${\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.}$

Sensibilidad

La densidad de Schnirelmann es sensible a los primeros valores de un conjunto:

${\displaystyle \forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k}$.

En particular,

${\displaystyle 1\notin A\Rightarrow \sigma A=0}$

y

${\displaystyle 2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}.}$

En consecuencia, las densidades de Schnirelmann de los números pares y de los números impares, que cabría esperar que coincidieran, son 0 y 1/2 respectivamente. Schnirelmann y Yuri Linnik explotaron esta sensibilidad.

Teoremas de Schnirelmann

Si establecemos , entonces el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange puede reformularse como . (Aquí el símbolo denota el conjunto suma de y .) Está claro que . De hecho, todavía tenemos , y uno podría preguntarse en qué punto el conjunto suma alcanza la densidad de Schnirelmann 1 y cómo aumenta. En realidad es el caso de que y uno ve que la suma una vez más produce un conjunto más poblado, es decir, todos los . Schnirelmann tuvo éxito además en el desarrollo de estas ideas en los siguientes teoremas, apuntando hacia la teoría de números aditivos, y demostrando que son un recurso novedoso (si no muy poderoso) para abordar problemas importantes, como el problema de Waring y la conjetura de Goldbach. ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle B\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Teorema. Sean y subconjuntos de . Entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.}$

Nótese que . Inductivamente, tenemos la siguiente generalización. ${\displaystyle \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)}$

Corolario. Sea una familia finita de subconjuntos de . Entonces ${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma \left(\bigoplus _{i}A_{i}\right)\geq 1-\prod _{i}\left(1-\sigma A_{i}\right).}$

El teorema proporciona las primeras ideas sobre cómo se acumulan los conjuntos de sumas. Parece lamentable que su conclusión no llegue a demostrar que son superaditivos . Sin embargo, Schnirelmann nos proporcionó los siguientes resultados, que fueron suficientes para la mayor parte de su propósito. ${\displaystyle \sigma }$

Teorema. Sean y subconjuntos de . Si , entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1}$

${\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}$

Teorema. ( Schnirelmann ) Sea . Si entonces existe tal que ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma A>0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}$

Bases aditivas

Un subconjunto con la propiedad de que , para una suma finita, se denomina base aditiva y el menor número de sumandos requerido se denomina grado (a veces orden ) de la base. Por lo tanto, el último teorema establece que cualquier conjunto con densidad de Schnirelmann positiva es una base aditiva. En esta terminología, el conjunto de cuadrados es una base aditiva de grado 4. (Acerca de un problema abierto para bases aditivas, véase la conjetura de Erdős–Turán sobre bases aditivas ). ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$

Teorema de Mann

Históricamente, los teoremas anteriores apuntaban al siguiente resultado, conocido en su momento como hipótesis. Fue utilizado por Edmund Landau y finalmente demostrado por Henry Mann en 1942. ${\displaystyle \alpha +\beta }$

Teorema. (Mann 1942) Sean y subconjuntos de . En caso de que , todavía tenemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.}$

Kneser obtuvo un análogo de este teorema para una densidad asintótica más baja. ^[4] Más tarde, E. Artin y P. Scherk simplificaron la prueba del teorema de Mann. ^[5]

El problema de Waring

Sean y números naturales. Sea . Definamos como el número de soluciones integrales no negativas de la ecuación. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n}$

y ser el número de soluciones integrales no negativas de la desigualdad ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}$

en las variables , respectivamente. Por lo tanto . Tenemos ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)}$

• ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}$
• ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}$

El volumen del cuerpo de dimensión definida por , está limitado por el volumen del hipercubo de tamaño , por lo tanto . La parte difícil es demostrar que este límite todavía funciona en promedio, es decir, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n}$ ${\displaystyle n^{1/k}}$ ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}}$

Lema. ( Linnik ) Para todo existe y una constante , que depende sólo de , tal que para todo , ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle c=c(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}$

a pesar de ${\displaystyle 0\leq m\leq n.}$

Con esto en mano, se puede demostrar elegantemente el siguiente teorema.

Teorema. Para todo existe para el cual . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0}$

Hemos establecido así la solución general al problema de Waring:

Corolario. (Hilbert 1909) Para todo existe , dependiendo sólo de , tal que todo entero positivo puede expresarse como la suma de, como máximo, muchas -ésimas potencias. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

La constante de Schnirelmann

En 1930, Schnirelmann utilizó estas ideas junto con la criba de Brun para demostrar el teorema de Schnirelmann , ^{[1] [2]} que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos , donde C es una constante efectivamente computable: ^[6] Schnirelmann obtuvo C < 800000. ^[7] La ​​constante de Schnirelmann es el número más bajo C con esta propiedad. ^[6]

Olivier Ramaré demostró en (Ramaré 1995) que la constante de Schnirelmann es como máximo 7, ^[6] mejorando el límite superior anterior de 19 obtenido por Hans Riesel y RC Vaughan .

La constante de Schnirelmann es al menos 3; la conjetura de Goldbach implica que este es el valor real de la constante. ^[6]

En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los números impares. Por lo tanto, la constante de Schnirelmann es como máximo 4. ^{[8] [9] [10] [11]}

Componentes esenciales

Khintchin demostró que la secuencia de cuadrados, aunque de densidad de Schnirelmann cero, cuando se suma a una secuencia de densidad de Schnirelmann entre 0 y 1, aumenta la densidad:

${\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.}$

Esto fue pronto simplificado y ampliado por Erdős , quien demostró que si A es cualquier secuencia con densidad de Schnirelmann α y B es una base aditiva de orden k , entonces

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,}$^[12]

y esto fue mejorado por Plünnecke a

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .}$^[13]

Las secuencias con esta propiedad, de densidad creciente menor que uno por adición, fueron denominadas componentes esenciales por Khintchin. Linnik demostró que un componente esencial no necesita ser una base aditiva ^[14] ya que construyó un componente esencial que tiene x ^o(1) elementos menores que  x . Más precisamente, la secuencia tiene

${\displaystyle e^{(\log x)^{c}}}$

elementos menores que x para algún c  < 1. Esto fue mejorado por E. Wirsing a

${\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.}$

Durante un tiempo, quedó abierto el problema de cuántos elementos debe tener un componente esencial. Finalmente, Ruzsa determinó que para cada ε  > 0 existe un componente esencial que tiene como máximo c (log  x ) ^{1+ ε} elementos hasta  x , pero no existe ningún componente esencial que tenga c (log  x ) ^{1+ o (1)} elementos hasta  x . ^{[15] [16]}

Referencias

1. Schnirelmann, LG (1930). "Sobre las propiedades aditivas de los números", publicado por primera vez en "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (en ruso), vol. XIV (1930), págs. 3-27, y reimpreso en "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (en ruso), 1939, núm. 6, 9-25.
2. Schnirelmann, LG (1933). Publicado por primera vez como "Über aditivo Eigenschaften von Zahlen" en "Mathematische Annalen" (en alemán), vol 107 (1933), 649-690, y reimpreso como "Sobre las propiedades aditivas de los números" en "Uspekhin. Matematicheskikh Nauk" (en ruso), 1940, núm. 7, 7–46.
3. Nathanson (1996) págs. 191-192
4. Nathanson (1990) pág. 397
5. E. Artin y P. Scherk (1943) Sobre las sumas de dos conjuntos de números enteros, Ann. of Math 44, página 138-142.
6. Nathanson (1996) pág. 208
7. Gelfond y Linnik (1966) pág. 136
8. Helfgott, Harald A. (2013). "Arcos mayores para el teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [math.NT].
9. Helfgott, Harald A. (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [math.NT].
10. Helfgott, Harald A. (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es verdadera". arXiv : 1312.7748 [math.NT].
11. Helfgoot, Harald A. (2015). "El problema ternario de Goldbach". arXiv : 1501.05438 [math.NT].
12. Ruzsa (2009) pág. 177
13. Ruzsa (2009) pág. 179
14. Linnik, Yu. V. (1942). "Sobre el teorema de Erdõs sobre la adición de secuencias numéricas". Mat. Sb. 10 : 67–78. Zbl  0063.03574.
15. Imre Z. Ruzsa, Essential Components, Actas de la London Mathematical Society, Volumen s3-54, Número 1, enero de 1987, Páginas 38-56, https://doi.org/10.1112/plms/s3-54.1.38 01 de enero de 1987
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