Superaditividad

Propiedad de una función

En matemáticas , una función es superaditiva si para todos y en el dominio de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f.}$

De manera similar, una secuencia se llama superaditiva si satisface la desigualdad para todos y ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ $${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$

El término "superaditivo" también se aplica a funciones desde el álgebra booleana hasta los números reales donde existen probabilidades más bajas . ${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),}$

Ejemplos de funciones superaditivas

• El mapa es una función superaditiva para números reales no negativos porque el cuadrado de siempre es mayor o igual al cuadrado de más el cuadrado de para números reales no negativos y : ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy.}$

• El determinante es superaditivo para matrices hermíticas no negativas , es decir, si son hermíticas no negativas entonces Esto se desprende del teorema del determinante de Minkowski, que establece de manera más general que es superaditivo (equivalentemente, cóncavo ) ^[1] para matrices hermíticas no negativas de tamaño : Si son hermíticas no negativas entonces ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$ ${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}$
• Horst Alzer demostró ^[2] que la función gamma de Hadamard es superaditiva para todos los números reales con ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x,y\geq 1.5031.}$
• Información mutua

Propiedades

Si es una función superaditiva cuyo dominio contiene entonces Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior: Por lo tanto ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(0)\leq 0.}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(x+y)-f(y).}$ ${\displaystyle f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.}$

El negativo de una función superaditiva es subaditiva .

Lema de Fekete

La razón principal para el uso de secuencias superaditivas es el siguiente lema de Michael Fekete . ^[3]

Lema: (Fekete) Para cada secuencia superaditiva el límite es igual al supremo (El límite puede ser infinito positivo, como es el caso de la secuencia por ejemplo). ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle \lim a_{n}/n}$ ${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$ ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$

El análogo del lema de Fekete se aplica también a las funciones subaditivas . Existen extensiones del lema de Fekete que no requieren que la definición de superaditividad anterior se aplique a todas las funciones y También existen resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si existe algún tipo de superaditividad y subaditividad. Una buena exposición de este tema se puede encontrar en Steele (1997). ^{[4] [5]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$

Véase también

• Choque integral
• Medida interior
• Subaditividad  – Propiedad de algunas funciones matemáticas
• Función sublineal  – Tipo de función en álgebra lineal

Referencias

1. M. Marcus, H. Minc (1992). Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades matriciales. Dover. Teorema 4.1.8, página 115.
2. Horst Alzer (2009). "Una propiedad superaditiva de la función gamma de Hadamard". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 79 . Saltador: 11-23. doi :10.1007/s12188-008-0009-5. S2CID  123691692.
3. Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi :10.1007/BF01504345. S2CID  186223729.
4. Michael J. Steele (1997). Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria . SIAM, Filadelfia. ISBN 0-89871-380-3.
5. Michael J. Steele (2011). Conferencias CBMS sobre teoría de probabilidad y optimización combinatoria. Universidad de Cambridge.

Notas

• György Polya y Gábor Szegö. (1976). Problemas y teoremas en análisis, volumen 1. Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-05672-6.

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