Tamiz Brun

En el campo de la teoría de números , la criba de Brun (también llamada criba pura de Brun ) es una técnica para estimar el tamaño de "conjuntos cribados" de números enteros positivos que satisfacen un conjunto de condiciones que se expresan mediante congruencias . Fue desarrollada por Viggo Brun en 1915 y luego generalizada al lema fundamental de la teoría de cribas por otros.

Descripción

En términos de la teoría de tamices, el tamiz de Brun es de tipo combinatorio ; es decir, se deriva de un uso cuidadoso del principio de inclusión-exclusión .

Sea un conjunto finito de números enteros positivos. Sea un conjunto de números primos . Para cada primo en , sea el conjunto de elementos de que son divisibles por . Esta notación se puede extender a otros números enteros que sean productos de primos distintos en . En este caso, defina como la intersección de los conjuntos de los factores primos de . Finalmente, defina como él mismo. Sea un número real positivo arbitrario. El objetivo de la criba es estimar: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{d}}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}$$

donde la notación denota la cardinalidad de un conjunto , que en este caso es simplemente su número de elementos. Supongamos además que puede estimarse mediante donde es alguna función multiplicativa y es alguna función de error. Sea ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |A_{d}|}$ $${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}$$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R_{d}}$ $${\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}$$

El tamiz puro de Brun

Esta formulación es de Cojocaru y Murty, Teorema 6.1.2. Con la notación anterior, supongamos que

• ${\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}$para cualquier cuadrado libre compuesto de primos en ; ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle w(p)<C}$para todos en ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$
• Existen constantes tales que, para cualquier número real positivo , ${\displaystyle C,D,E}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}$$

Entonces $${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}$$

donde es el cardinal de , es cualquier entero positivo y el invoca la notación O grande . En particular, dejando denotar el elemento máximo en , si para un adecuadamente pequeño , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}$$

Aplicaciones

• Teorema de Brun : la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge;
• Teorema de Schnirelmann : todo número par es una suma de, como máximo, números primos (donde puede tomarse igual a 6); ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Hay infinitos pares de números enteros que difieren en 2, donde cada uno de los miembros del par es el producto de como máximo 9 primos;
• Todo número par es la suma de dos números, cada uno de los cuales es el producto de como máximo 9 primos.

Los dos últimos resultados fueron reemplazados por el teorema de Chen ( ) , y el segundo por la conjetura débil de Goldbach ( ). ${\displaystyle C=3}$

Referencias

• Viggo Brun (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Archivo de Mathematik og Naturvidenskab . B34 (8).
• Viggo Brun (1919). "La serie de denominadores son "nombres premiers jumeaux" est convergente o finie". Boletín de Ciencias Matemáticas . 43 : 100–104, 124–128. JFM  47.0163.01. ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }$
• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty (2005). Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 66. Cambridge University Press. págs. 80–112. ISBN 0-521-61275-6.
• George Greaves (2001). Tamices en teoría de números . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). vol. 43. Springer-Verlag. págs. 71-101. ISBN 3-540-41647-1.
• Heini Halberstam ; SE Richert (1974). Métodos de tamiz . Prensa académica . ISBN 0-12-318250-6.
• Christopher Hooley (1976). Aplicaciones de los métodos de criba a la teoría de números . Cambridge University Press. ISBN 0-521-20915-3..