Estructura de giro

En geometría diferencial , una estructura de espín en una variedad de Riemann orientable ( M , g ) permite definir haces de espinores asociados , dando lugar a la noción de espinor en geometría diferencial.

Las estructuras de espín tienen amplias aplicaciones en la física matemática , en particular en la teoría cuántica de campos , donde son un ingrediente esencial en la definición de cualquier teoría con fermiones sin carga . También son de interés puramente matemático en la geometría diferencial , la topología algebraica y la teoría K. Forman la base de la geometría de espín .

Descripción general

En geometría y en teoría de campos , los matemáticos preguntan si una variedad riemanniana orientada dada ( M , g ) admite espinores . Un método para tratar este problema es requerir que M tenga una estructura de espín. ^{[1] [2] [3] Esto no siempre es posible ya que existe potencialmente una obstrucción topológica a la existencia de estructuras} _de espín. Las estructuras de espín existirán si y solo si la segunda _clase de Stiefel–Whitney _w2 ( M ) ∈H2 ( M , Z2 ) de M se ^desvanece . Además, si w2 ( M ) = 0, entonces el conjunto de las clases de isomorfismo de las estructuras de espín en M es actuado libre y transitivamente por H1 ⁽ M , Z2 ) . Como se supone que la variedad M ^está orientada , la primera clase de Stiefel–Whitney _w1 ( M ) ∈H1 ( M , _Z2 ) de M también _se desvanece. (Las clases de Stiefel–Whitney w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂ ) de una variedad M se definen como las clases de Stiefel–Whitney de su fibrado tangente TM .)

El fibrado de espinores π _S : S → M sobre M es entonces el fibrado vectorial complejo asociado con el fibrado principal correspondiente π _P : P → M de marcos de espín sobre M y la representación de espín de su grupo de estructura Spin( n ) en el espacio de espinores Δ _n . El fibrado S se denomina fibrado de espinores para una estructura de espín dada en M .

Una definición precisa de la estructura de espín en una variedad fue posible sólo después de que se hubiera introducido el concepto de haz de fibras ; André Haefliger (1956) encontró la obstrucción topológica a la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable y Max Karoubi (1968) extendió este resultado al caso pseudo-riemanniano no orientable. ^{[4] [5]}

Estructuras de espín en variedades de Riemann

Definición

Una estructura de espín en una variedad de Riemann orientable con un fibrado vectorial orientado es una elevación equivariante del fibrado de marco ortonormal con respecto al doble recubrimiento . En otras palabras, un par es una estructura de espín en el fibrado principal SO( n ) cuando ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$ ${\displaystyle \rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle (P_{\operatorname {Spin} },\phi )}$ ${\displaystyle \pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

a) es un fibrado principal de Spin( n ) sobre , y ${\displaystyle \pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

b) es una función de recubrimiento bivariante tal que ${\displaystyle \phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)}$

${\displaystyle \pi \circ \phi =\pi _{P}\quad }$y para todos y . ${\displaystyle \quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

Dos estructuras de espín y en la misma variedad riemanniana orientada se denominan "equivalentes" si existe un mapa Spin( n )-equivariante tal que ${\displaystyle (P_{1},\phi _{1})}$ ${\displaystyle (P_{2},\phi _{2})}$ ${\displaystyle f:P_{1}\rightarrow P_{2}}$

${\displaystyle \phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad }$y para todos y . ${\displaystyle \quad f(pq)=f(p)q\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{1}}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

En este caso y son dos recubrimientos dobles equivalentes. ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

La definición de estructura de espín como una estructura de espín en el fibrado principal se debe a André Haefliger (1956). ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

Obstrucción

Haefliger ^[1] encontró condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientada ( M , g ). El obstáculo para tener una estructura de espín es un cierto elemento [ k ] de H ² ( M , Z ₂ ) . Para una estructura de espín, la clase [ k ] es la segunda clase de Stiefel–Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M . Por lo tanto, existe una estructura de espín si y solo si la segunda clase de Stiefel–Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M se desvanece.

Estructuras de espín en haces vectoriales

Sea M una variedad topológica paracompacta y E un fibrado vectorial orientado sobre M de dimensión n dotado de una métrica de fibra . Esto significa que en cada punto de M , la fibra de E es un espacio de producto interior . Un fibrado espinorial de E es una prescripción para asociar consistentemente una representación de espín a cada punto de M . Existen obstrucciones topológicas para poder hacerlo y, en consecuencia, un fibrado E dado puede no admitir ningún fibrado espinorial. En caso de que lo haga, se dice que el fibrado E es de espín .

Esto puede hacerse riguroso a través del lenguaje de los fibrados principales . La colección de marcos ortonormales orientados de un fibrado vectorial forma un fibrado de marcos P _SO ( E ), que es un fibrado principal bajo la acción del grupo ortogonal especial SO( n ). Una estructura de espín para P _SO ( E ) es una elevación de P _SO ( E ) a un fibrado principal P _Spin ( E ) bajo la acción del grupo de espín Spin( n ), con lo que queremos decir que existe una función de fibrado  : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) tal que ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$, para todos p ∈ P _Spin ( E ) y g ∈ Spin( n ) ,

donde ρ  : Spin( n ) → SO( n ) es la aplicación de grupos que presenta el grupo de espín como una doble cobertura de SO( n ).

En el caso especial en que E es el fibrado tangente TM sobre la variedad base M , si existe una estructura de espín entonces se dice que M es una variedad de espín . De manera equivalente, M es espín si el fibrado principal SO( n ) de bases ortonormales de las fibras tangentes de M es un cociente Z ₂ de un fibrado principal de espín .

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín puede considerarse equivalentemente como una clase de homotopía de trivialización del fibrado tangente sobre el esqueleto 1 que se extiende sobre el esqueleto 2. Si la dimensión es menor que 3, primero se realiza una suma de Whitney con un fibrado lineal trivial.

Obstrucción y clasificación

Para un fibrado vectorial orientable existe una estructura de espín en si y solo si la segunda clase de Stiefel–Whitney se anula. Este es un resultado de Armand Borel y Friedrich Hirzebruch . ^[6] Además, en el caso de espín, el número de estructuras de espín está en biyección con . Estos resultados se pueden demostrar fácilmente ^{[7] pág. 110-111} utilizando un argumento de secuencia espectral para el fibrado principal asociado . Observe que esto da una fibración ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle P_{E}\to M}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M}$

Por lo tanto, se puede aplicar la secuencia espectral de Serre . De la teoría general de secuencias espectrales, existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$

Además, y para cierta filtración , obtenemos un mapa ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}}$

dando una secuencia exacta

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

Ahora bien, una estructura de espín es exactamente una doble envoltura de ajuste en un diagrama conmutativo. ${\displaystyle P_{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}}$

donde las dos aplicaciones verticales izquierdas son las aplicaciones de doble recubrimiento. Ahora, las aplicaciones de doble recubrimiento de están en biyección con subgrupos de índice de , que está en biyección con el conjunto de morfismos de grupo . Pero, a partir del teorema de Hurewicz y el cambio de coeficientes, este es exactamente el grupo de cohomología . Aplicando el mismo argumento a , el recubrimiento no trivial corresponde a , y la aplicación a es precisamente la de la segunda clase de Stiefel–Whitney, por lo tanto . Si se anula, entonces la imagen inversa de bajo la aplicación ${\displaystyle P_{E}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

es el conjunto de dobles recubrimientos que dan estructuras de espín. Ahora, este subconjunto de se puede identificar con , lo que muestra que este último grupo de cohomología clasifica las diversas estructuras de espín en el fibrado vectorial . Esto se puede hacer observando la secuencia larga y exacta de grupos de homotopía de la fibración ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1}$

y aplicando , dando la secuencia de grupos de cohomología ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Como es el núcleo, y la imagen inversa de está en biyección con el núcleo, tenemos el resultado deseado. ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Observaciones sobre la clasificación

Cuando existen estructuras de espín, las estructuras de espín no equivalentes en una variedad tienen una correspondencia biunívoca (no canónica) con los elementos de H ¹ ( M , Z ₂ ), que por el teorema del coeficiente universal es isomorfo a H ₁ ( M , Z ₂ ). Más precisamente, el espacio de las clases de isomorfismo de las estructuras de espín es un espacio afín sobre H ¹ ( M , Z ₂ ).

Intuitivamente, para cada ciclo no trivial en M una estructura de espín corresponde a una elección binaria de si una sección del fibrado SO( N ) cambia de láminas cuando una rodea el bucle. Si w ₂ ^[8] se anula, entonces estas elecciones pueden extenderse sobre el esqueleto doble , luego (por teoría de obstrucción ) pueden extenderse automáticamente sobre todo M . En física de partículas esto corresponde a una elección de condiciones de contorno periódicas o antiperiódicas para los fermiones que giran alrededor de cada bucle. Nótese que en una variedad compleja la segunda clase de Stiefel-Whitney puede calcularse como la primera clase de Chern . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{mod }}2}$

Ejemplos

1. Una superficie de Riemann de género g admite 2 estructuras de espín no equivalentes de ^{2 g} ; ver característica theta .
2. Si H ² ( M , Z ₂ ) se anula, M es el espín . Por ejemplo, S ⁿ es el espín para todo . (Tenga en cuenta que S ² también es el espín , pero por diferentes razones; consulte a continuación). ${\displaystyle n\neq 2}$
3. El plano proyectivo complejo CP ² no tiene espín .
4. De manera más general, todos los espacios proyectivos complejos de dimensión par CP ^{2 n} no son de espín .
5. Todos los espacios proyectivos complejos de dimensión impar CP ²ⁿ⁺¹ tienen espín .
6. Todos los colectores compactos y orientables de dimensión 3 o menos son de espín .
7. Todas las variedades de Calabi-Yau son de espín .

Propiedades

• El género de una variedad de espín es un número entero, y es un número entero par si además la dimensión es 4 mod 8.

  En general, el género es un invariante racional, definido para cualquier variedad, pero no es en general un número entero.

  Esto fue demostrado originalmente por Hirzebruch y Borel , y puede demostrarse mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer , al realizar el género como el índice de un operador de Dirac – un operador de Dirac es una raíz cuadrada de un operador de segundo orden, y existe debido a que la estructura de espín es una “raíz cuadrada”. Este fue un ejemplo motivador para el teorema del índice.

Girardoestructuras

Una estructura de espín ^C es análoga a una estructura de espín en una variedad de Riemann orientada , ^[9] pero utiliza el grupo de espín ^C , que se define en cambio por la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Para justificar esto, supongamos que κ  : Spin( n ) → U( N ) es una representación espinorial compleja. El centro de U( N ) consiste en los elementos diagonales provenientes de la inclusión i  : U(1) → U( N ) , es decir, los múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto, hay un homomorfismo.

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

Esto siempre tendrá el elemento (−1,−1) en el núcleo. Tomando el cociente módulo este elemento se obtiene el grupo Spin ^C ( n ). Este es el producto retorcido

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

donde U(1) = SO(2) = S ¹ . En otras palabras, el grupo Spin ^C ( n ) es una extensión central de SO( n ) por S ¹ .

Visto de otra manera, Spin ^C ( n ) es el grupo cociente obtenido de Spin( n ) × Spin(2) con respecto a la normal Z ₂ que se genera por el par de transformaciones de recubrimiento para los fibrados Spin( n ) → SO( n ) y Spin(2) → SO(2) respectivamente. Esto hace que el grupo Spin ^C sea tanto un fibrado sobre el círculo con fibra Spin( n ), como un fibrado sobre SO( n ) con fibra un círculo. ^{[10] [11]}

El grupo fundamental π ₁ (Spin ^C ( n )) es isomorfo a Z si n ≠ 2, y a Z ⊕ Z si n = 2.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín ^C puede considerarse equivalentemente como una clase de homotopía de estructura compleja sobre el esqueleto 2 que se extiende sobre el esqueleto 3. De manera similar al caso de las estructuras de espín, se toma una suma de Whitney con un fibrado lineal trivial si la variedad es de dimensión impar.

Otra definición es que una estructura de espín ^C en una variedad N es un fibrado lineal complejo L sobre N junto con una estructura de espín en T N ⊕ L .

Obstrucción

Existe una estructura de espín ^C cuando el fibrado es orientable y la segunda clase de Stiefel–Whitney del fibrado E está en la imagen de la función H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (en otras palabras, la tercera clase integral de Stiefel–Whitney se desvanece). En este caso se dice que E es espín ^C . Intuitivamente, la elevación da la clase de Chern del cuadrado de la parte U(1) de cualquier fibrado de espín ^C obtenido . Por un teorema de Hopf y Hirzebruch, las 4-variedades orientables cerradas siempre admiten una estructura de espín ^C.

Clasificación

Cuando una variedad tiene una estructura de espín ^C , el conjunto de estructuras de espín ^C forma un espacio afín. Además, el conjunto de estructuras de espín ^C tiene una acción transitiva libre de H ² ( M , Z ) . Por lo tanto, las estructuras de espín ^C corresponden a elementos de H ² ( M , Z ) aunque no de forma natural.

Imagen geométrica

Esto tiene la siguiente interpretación geométrica, que se debe a Edward Witten . Cuando la estructura de espín ^C no es cero, este fibrado de raíz cuadrada tiene una clase de Chern no integral, lo que significa que no cumple la condición de triple superposición . En particular, el producto de las funciones de transición en una intersección de tres vías no siempre es igual a uno, como se requiere para un fibrado principal . En cambio, a veces es −1.

Esta falla ocurre exactamente en las mismas intersecciones que una falla idéntica en los productos triples de las funciones de transición del fibrado de espín obstruido . Por lo tanto, los productos triples de las funciones de transición del fibrado de espín completo ^c , que son los productos del producto triple de los fibrados de espín y de los componentes U(1), son 1 ² = 1 o (−1) ² = 1 y, por lo tanto, el fibrado de espín ^C satisface la condición de triple superposición y, por lo tanto, es un fibrado legítimo.

Los detalles

La imagen geométrica intuitiva anterior se puede concretar de la siguiente manera. Considere la secuencia exacta corta 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , donde la segunda flecha es la multiplicación por 2 y la tercera es la reducción módulo 2. Esto induce una secuencia exacta larga en cohomología, que contiene

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

donde la segunda flecha se induce por multiplicación por 2, la tercera se induce por restricción módulo 2 y la cuarta es el homomorfismo de Bockstein asociado β .

El obstáculo a la existencia de un fibrado de espín es un elemento w ₂ de H ² ( M , Z ₂ ) . Refleja el hecho de que siempre se puede elevar localmente un fibrado SO(n) a un fibrado de espín , pero se necesita elegir una elevación Z ₂ de cada función de transición, que es una elección de signo. La elevación no existe cuando el producto de estos tres signos en una superposición triple es −1, lo que produce la imagen de cohomología de Čech de w ₂ .

Para cancelar esta obstrucción, se tensa este fibrado de espín con un fibrado U(1) con la misma obstrucción w ₂ . Nótese que esto es un abuso de la palabra fibrado , ya que ni el fibrado de espín ni el fibrado U(1) satisfacen la condición de triple superposición y, por lo tanto, ninguno es en realidad un fibrado.

Un fibrado U(1) legítimo se clasifica por su clase Chern , que es un elemento de H ² ( M , Z ). Identifique esta clase con el primer elemento en la secuencia exacta anterior. La siguiente flecha duplica esta clase Chern, y así los fibrados legítimos corresponderán a elementos pares en el segundo H ² ( M , Z ) , mientras que los elementos impares corresponderán a fibrados que no cumplan la condición de triple superposición. La obstrucción entonces se clasifica por el fallo de un elemento en el segundo H ² ( M , Z ) en estar en la imagen de la flecha, que, por exactitud, se clasifica por su imagen en H ² ( M , Z ₂ ) bajo la siguiente flecha.

Para cancelar la obstrucción correspondiente en el fibrado de espín , esta imagen debe ser w ₂ . En particular, si w ₂ no está en la imagen de la flecha, entonces no existe ningún fibrado U(1) con obstrucción igual a w ₂ y, por lo tanto, la obstrucción no puede cancelarse. Por exactitud, w ₂ está en la imagen de la flecha precedente solo si está en el núcleo de la siguiente flecha, que recordemos es el homomorfismo de Bockstein β. Es decir, la condición para la cancelación de la obstrucción es

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

donde hemos utilizado el hecho de que la tercera clase integral de Stiefel–Whitney W ₃ es el Bockstein de la segunda clase de Stiefel–Whitney w ₂ (esto puede tomarse como una definición de W ₃ ).

Ascensores integrales de las clases Stiefel–Whitney

Este argumento también demuestra que la segunda clase de Stiefel–Whitney define elementos no sólo de cohomología Z ₂ sino también de cohomología integral en un grado superior. De hecho, este es el caso para todas las clases pares de Stiefel–Whitney. Es tradicional utilizar una W mayúscula para las clases resultantes en grado impar, que se denominan clases integrales de Stiefel–Whitney, y se etiquetan por su grado (que siempre es impar).

Ejemplos

1. Todas las variedades lisas orientadas de dimensión 4 o menos tienen espín ^{C. [12} ]
2. Todas las variedades casi complejas son de espín ^C.
3. Todas las variedades de espín son de espín ^C.

Aplicación a la física de partículas

En física de partículas, el teorema de estadística de espín implica que la función de onda de un fermión sin carga es una sección del fibrado vectorial asociado a la sustentación de espín de un fibrado SO( N ) E . Por lo tanto, la elección de la estructura de espín es parte de los datos necesarios para definir la función de onda, y a menudo es necesario sumar estas elecciones en la función de partición . En muchas teorías físicas E es el fibrado tangente , pero para los fermiones en los volúmenes mundiales de D-branas en la teoría de cuerdas es un fibrado normal .

En la teoría cuántica de campos, los espinores cargados son secciones de haces de espín ^c asociados y, en particular, no pueden existir espinores cargados en un espacio que no sea de espín ^c . Una excepción surge en algunas teorías de supergravedad donde interacciones adicionales implican que otros campos pueden cancelar la tercera clase de Stiefel-Whitney. La descripción matemática de los espinores en la supergravedad y la teoría de cuerdas es un problema abierto particularmente sutil, que se abordó recientemente en referencias. ^{[13] [14]} Resulta que la noción estándar de estructura de espín es demasiado restrictiva para las aplicaciones a la supergravedad y la teoría de cuerdas, y que la noción correcta de estructura espinorial para la formulación matemática de estas teorías es una "estructura de Lipschitz". ^{[13] [15]}

Véase también

• Estructura metapléctica
• Paquete de marcos ortonormales
• Espinor

Referencias

1. Haefliger, A. (1956). "Sobre la extensión del grupo estructural de un espacio de fibra". CR Acad. Ciencia. París . 243 : 558–560.
2. J. Milnor (1963). "Estructuras de giro sobre colectores". L'Enseignement Mathématique . 9 : 198-203.
3. Lichnerowicz, A. (1964). "Campeones espinorieles y propagadores de la relatividad general". Toro. Soc. Matemáticas. P.​ 92 : 11-100. doi : 10.24033/bsmf.1604 .
4. Karoubi, M. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie". Ana. Ciencia. CE. Norma. Súper . 1 (2): 161–270. doi : 10.24033/asens.1163 .
5. Alagia, recursos humanos; Sánchez, CU (1985), "Estructuras de espín en variedades pseudo-riemannianas" (PDF) , Revista de la Unión Matemática Argentina , 32 : 64–78
6. Borel, A.; Hirzebruch, F. (1958). "Clases características y espacios homogéneos I". Revista Americana de Matemáticas . 80 (2): 97–136. doi :10.2307/2372795. JSTOR  2372795.
7. Pati, Vishwambhar. "Complejos elípticos y teoría de índices" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 20 de agosto de 2018.
8. "Variedad de espín y segunda clase de Stiefel-Whitney". Math.Stachexchange .
9. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . pág. 391. ISBN. 978-0-691-08542-5.
10. R. Gompf (1997). " Estructuras de espín ^c y equivalencias de homotopía ". Geometría y topología . 1 : 41–50. arXiv : math/9705218 . Bibcode :1997math......5218G. doi :10.2140/gt.1997.1.41. S2CID  6906852.
11. Friedrich, Thomas (2000). Operadores de Dirac en geometría de Riemann . American Mathematical Society . pág. 26. ISBN. 978-0-8218-2055-1.
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Lectura adicional

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000). Operadores de Dirac en geometría de Riemann . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Karoubi, Max (2008). Teoría K. Springer. Págs. 212-214. ISBN. 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. "Sobre el levantamiento de grupos estructurales". Métodos geométricos diferenciales en física matemática II . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 676. Springer-Verlag. págs. 217–246. doi :10.1007/BFb0063673. ISBN. 9783540357216.
• Scorpan, Alexandru (2005). "4.5 Notas Estructuras de espín, la definición del grupo de estructuras; Equivalencia de las definiciones de". El mundo salvaje de las 4-variedades . American Mathematical Society. pp. 174–189. ISBN 9780821837498.

Enlaces externos

• Algo sobre estructuras de espín de Sven-S. Porst es una breve introducción a la orientación y las estructuras de espín para estudiantes de matemáticas.