Teoría espectral

Colección de teorías matemáticas

En matemáticas , la teoría espectral es un término inclusivo para las teorías que extienden la teoría de vectores propios y valores propios de una única matriz cuadrada a una teoría mucho más amplia de la estructura de los operadores en una variedad de espacios matemáticos . ^[1] Es el resultado de estudios de álgebra lineal y las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y sus generalizaciones. ^[2] La teoría está conectada con la de funciones analíticas porque las propiedades espectrales de un operador están relacionadas con las funciones analíticas del parámetro espectral. ^[3]

Antecedentes matemáticos

El nombre de teoría espectral fue introducido por David Hilbert en su formulación original de la teoría del espacio de Hilbert , que se formuló en términos de formas cuadráticas en un número infinito de variables. El teorema espectral original fue concebido, por tanto, como una versión del teorema sobre los ejes principales de un elipsoide , en un contexto de dimensión infinita. El descubrimiento posterior en mecánica cuántica de que la teoría espectral podía explicar las características de los espectros atómicos fue, por tanto, fortuito. El propio Hilbert se sorprendió por la aplicación inesperada de esta teoría, señalando que "desarrollé mi teoría de infinitas variables a partir de intereses puramente matemáticos, e incluso la llamé 'análisis espectral' sin ningún presentimiento de que más tarde encontraría aplicación en el espectro real de la física". ^[4]

Ha habido tres formas principales de formular la teoría espectral, cada una de las cuales encuentra uso en diferentes dominios. Después de la formulación inicial de Hilbert, el desarrollo posterior de los espacios de Hilbert abstractos y la teoría espectral de operadores normales simples en ellos se adaptaron bien a los requisitos de la física , ejemplificados por el trabajo de von Neumann . ^[5] La teoría posterior se basó en esto para abordar las álgebras de Banach en general. Este desarrollo conduce a la representación de Gelfand , que cubre el caso conmutativo , y más allá del análisis armónico no conmutativo .

La diferencia se puede ver al hacer la conexión con el análisis de Fourier . La transformada de Fourier en la línea real es en cierto sentido la teoría espectral de la diferenciación como operador diferencial . Pero para que esto cubra los fenómenos uno ya tiene que lidiar con funciones propias generalizadas (por ejemplo, por medio de un espacio de Hilbert manipulado ). Por otro lado, es simple construir un álgebra de grupos , cuyo espectro captura las propiedades básicas de la transformada de Fourier, y esto se lleva a cabo por medio de la dualidad de Pontryagin .

También se pueden estudiar las propiedades espectrales de los operadores en espacios de Banach . Por ejemplo, los operadores compactos en espacios de Banach tienen muchas propiedades espectrales similares a las de las matrices .

Antecedentes físicos

Los antecedentes de la física de las vibraciones se han explicado de esta manera: ^[6]

La teoría espectral está relacionada con la investigación de vibraciones localizadas de una variedad de objetos diferentes, desde átomos y moléculas en química hasta obstáculos en guías de ondas acústicas . Estas vibraciones tienen frecuencias , y la cuestión es decidir cuándo ocurren tales vibraciones localizadas y cómo calcular las frecuencias. Este es un problema muy complicado ya que cada objeto no solo tiene un tono fundamental sino también una serie complicada de armónicos , que varían radicalmente de un cuerpo a otro.

Tales ideas físicas no tienen nada que ver con la teoría matemática a nivel técnico, pero hay ejemplos de participación indirecta (véase por ejemplo la pregunta de Mark Kac ¿Puedes oír la forma de un tambor? ). La adopción del término "espectro" por parte de Hilbert se ha atribuido a un artículo de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre la ecuación diferencial de Hill (por Jean Dieudonné ), y fue retomado por sus estudiantes durante la primera década del siglo XX, entre ellos Erhard Schmidt y Hermann Weyl . La base conceptual para el espacio de Hilbert fue desarrollada a partir de las ideas de Hilbert por Erhard Schmidt y Frigyes Riesz . ^{[7] [8]} Fue casi veinte años después, cuando la mecánica cuántica se formuló en términos de la ecuación de Schrödinger , que se hizo la conexión con los espectros atómicos ; una conexión con la física matemática de la vibración se había sospechado antes, como lo señaló Henri Poincaré , pero se rechazó por simples razones cuantitativas, en ausencia de una explicación de la serie de Balmer . ^[9] El descubrimiento posterior en mecánica cuántica de que la teoría espectral podía explicar las características de los espectros atómicos fue, por lo tanto, fortuito, en lugar de ser un objeto de la teoría espectral de Hilbert.

Una definición de espectro

Consideremos una transformación lineal acotada T definida en todas partes sobre un espacio de Banach general . Formamos la transformación: $${\displaystyle R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.}$$

Aquí I es el operador identidad y ζ es un número complejo . El inverso de un operador T , es decir T ⁻¹ , se define por: $${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$$

Si existe la inversa, T se llama regular . Si no existe, T se llama singular .

Con estas definiciones, el conjunto resolvente de T es el conjunto de todos los números complejos ζ tales que R _ζ existe y está acotado . Este conjunto a menudo se denota como ρ ( T ). El espectro de T es el conjunto de todos los números complejos ζ tales que R _ζ no existe o no está acotado. A menudo, el espectro de T se denota por σ ( T ). La función R _ζ para todo ζ en ρ ( T ) (es decir, siempre que R _ζ exista como un operador acotado) se llama resolvente de T . El espectro de T es, por lo tanto, el complemento del conjunto resolvente de T en el plano complejo. ^[10] Todo valor propio de T pertenece a σ ( T ), pero σ ( T ) puede contener valores no propios. ^[11]

Esta definición se aplica a un espacio de Banach, pero por supuesto también existen otros tipos de espacios; por ejemplo, los espacios vectoriales topológicos incluyen espacios de Banach, pero pueden ser más generales. ^{[12] [13]} Por otro lado, los espacios de Banach incluyen espacios de Hilbert , y son estos espacios los que encuentran la mayor aplicación y los resultados teóricos más ricos. ^[14] Con las restricciones adecuadas, se puede decir mucho sobre la estructura de los espectros de transformaciones en un espacio de Hilbert. En particular, para los operadores autoadjuntos , el espectro se encuentra en la línea real y (en general) es una combinación espectral de un espectro puntual de valores propios discretos y un espectro continuo . ^[15]

Teoría espectral en breve

En el análisis funcional y el álgebra lineal, el teorema espectral establece las condiciones bajo las cuales un operador puede expresarse en forma simple como una suma de operadores más simples. Como una presentación rigurosa y completa no es apropiada para este artículo, adoptamos un enfoque que evita gran parte del rigor y la satisfacción de un tratamiento formal con el objetivo de ser más comprensible para un no especialista.

Este tema es más fácil de describir introduciendo la notación bra-ket de Dirac para operadores. ^{[16] [17]} Como ejemplo, un operador lineal muy particular L podría escribirse como un producto diádico : ^{[18] [19]}

${\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,}$

en términos del "bra" ⟨ b ₁ | y del "ket" | k ₁ ⟩. Una función f se describe mediante un ket como | f ⟩. La función f ( x ) definida en las coordenadas se denota como ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$

${\displaystyle f(x)=\langle x,f\rangle }$

y la magnitud de f por

${\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}$

donde la notación (*) denota un conjugado complejo . Esta elección de producto interno define un espacio de producto interno muy específico , lo que restringe la generalidad de los argumentos que siguen. ^[14]

El efecto de L sobre una función f se describe entonces como:

${\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }$

expresando el resultado de que el efecto de L sobre f es producir una nueva función multiplicada por el producto interno representado por . ${\displaystyle |k_{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle b_{1}|f\rangle }$

Un operador lineal más general L podría expresarse como:

${\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,}$

donde los son escalares y los son una base y una base recíproca para el espacio. La relación entre la base y la base recíproca se describe, en parte, por: ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$ ${\displaystyle \{\,\langle f_{i}|\,\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

Si se aplica tal formalismo, los son valores propios de L y las funciones son funciones propias de L. Los valores propios están en el espectro de L. ^[20 ] ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$

Algunas preguntas naturales son: ¿bajo qué circunstancias funciona este formalismo y para qué operadores L son posibles las expansiones en serie de otros operadores como este? ¿Puede cualquier función f expresarse en términos de las funciones propias (son una base de Schauder ) y bajo qué circunstancias surge un espectro puntual o un espectro continuo? ¿En qué se diferencian los formalismos para espacios de dimensión infinita y espacios de dimensión finita, o difieren? ¿Pueden extenderse estas ideas a una clase más amplia de espacios? Responder a estas preguntas es el ámbito de la teoría espectral y requiere una formación considerable en análisis funcional y álgebra matricial .

Resolución de la identidad

Esta sección continúa de manera aproximada y sencilla como la sección anterior, utilizando la notación corchete y pasando por alto los muchos detalles importantes de un tratamiento riguroso. ^[21] Se puede encontrar un tratamiento matemático riguroso en varias referencias. ^[22] En particular, la dimensión n del espacio será finita.

Utilizando la notación corchete de la sección anterior, el operador identidad puede escribirse como:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}$

donde se supone como arriba que son una base y una base recíproca para el espacio que satisface la relación: ${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{\langle f_{i}|\}}$

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Esta expresión de la operación de identidad se denomina representación o resolución de la identidad. ^{[21] [22]} Esta representación formal satisface la propiedad básica de la identidad:

${\displaystyle I^{k}=I}$

válido para todo entero positivo k .

Aplicando la resolución de la identidad a cualquier función en el espacio , se obtiene: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle }$

que es la expansión de Fourier generalizada de ψ en términos de las funciones base { e _i  }. ^[23] Aquí . ${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle }$

Dada una ecuación de operador de la forma:

${\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }$

con h en el espacio, esta ecuación se puede resolver en la base anterior mediante las manipulaciones formales:

${\displaystyle O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,}$

${\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j}$

que convierte la ecuación del operador en una ecuación matricial que determina los coeficientes desconocidos c _j en términos de los coeficientes de Fourier generalizados de h y los elementos de la matriz del operador O . ${\displaystyle \langle f_{j}|h\rangle }$ ${\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle }$

El papel de la teoría espectral surge al establecer la naturaleza y existencia de la base y la base recíproca. En particular, la base podría consistir en las funciones propias de algún operador lineal L :

${\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;}$

con los {  λ _i  } valores propios de L del espectro de L . Entonces la resolución de la identidad anterior proporciona la expansión díada de L :

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.}$

Operador resolutivo

Utilizando la teoría espectral, el operador resolvente R :

${\displaystyle R=(\lambda I-L)^{-1},\,}$

se puede evaluar en términos de las funciones propias y los valores propios de L , y se puede encontrar la función de Green correspondiente a L.

Aplicando R a alguna función arbitraria en el espacio, digamos , ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .}$

Esta función tiene polos en el plano complejo λ en cada valor propio de L . Por lo tanto, utilizando el cálculo de residuos :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,}$

donde la integral de línea es sobre un contorno C que incluye todos los valores propios de L .

Supongamos que nuestras funciones están definidas sobre unas coordenadas { x _j }, es decir:

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).}$

Introduciendo la notación

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\delta (x-y),}$

donde δ(x − y) = δ(x ₁ − y ₁ , x ₂ − y ₂ , x ₃ − y ₃ , ...) es la función delta de Dirac , ^[24] podemos escribir

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}}$

La función G(x, y; λ) está definida por:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}}$

se llama función de Green para el operador L y satisface: ^[25]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).}$

Ecuaciones de operadores

Consideremos la ecuación del operador:

${\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle ;}$

en términos de coordenadas:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).}$

Un caso particular es λ = 0.

La función de Green del apartado anterior es:

${\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),}$

y satisface:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).}$

Usando esta propiedad de la función de Green:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).}$

Luego, multiplicando ambos lados de esta ecuación por h ( z ) e integrando:

${\displaystyle \int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),}$

lo que sugiere que la solución es:

${\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.}$

Es decir, la función ψ ( x ) que satisface la ecuación del operador se encuentra si podemos encontrar el espectro de O , y construir G , por ejemplo usando:

${\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.}$

Por supuesto, existen muchas otras formas de encontrar G. ^[26] Véanse los artículos sobre las funciones de Green y sobre las ecuaciones integrales de Fredholm . Hay que tener en cuenta que las matemáticas anteriores son puramente formales y que un tratamiento riguroso implica algunas matemáticas bastante sofisticadas, incluido un buen conocimiento básico de análisis funcional , espacios de Hilbert , distribuciones , etc. Consulte estos artículos y las referencias para obtener más detalles.

Teorema espectral y cociente de Rayleigh

Los problemas de optimización pueden ser los ejemplos más útiles acerca del significado combinatorio de los valores propios y vectores propios en matrices simétricas, especialmente para el cociente de Rayleigh con respecto a una matriz M.

Teorema Sea M una matriz simétrica y sea x el vector distinto de cero que maximiza el cociente de Rayleigh con respecto a M . Entonces, x es un vector propio de M con valor propio igual al cociente de Rayleigh . Además, este valor propio es el mayor valor propio de  M .

Demostración Supongamos el teorema espectral. Sean los valores propios de M . Puesto que forman una base ortonormal , cualquier vector x puede expresarse en esta base como ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$

${\displaystyle x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}}$

La forma de demostrar esta fórmula es bastante sencilla. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}}$

evaluar el cociente de Rayleigh con respecto a x :

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}}$

donde usamos la identidad de Parseval en la última línea. Finalmente obtenemos que

${\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}}$

Por lo tanto, el cociente de Rayleigh siempre es menor que . ^[27] ${\displaystyle \lambda _{n}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Funciones de los operadores , Teoría de operadores
• Pares laxos
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Proyector Riesz
• Operador autoadjunto
• Espectro (análisis funcional) , Formalismo resolutivo , Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Radio espectral , Espectro de un operador , Teorema espectral
• Teoría espectral de operadores compactos
• Teoría espectral de las C*-álgebras normales
• Teoría de Sturm-Liouville , Ecuaciones integrales , Teoría de Fredholm
• Operadores compactos , operadores isoespectrales , completitud
• Geometría espectral
• Teoría de grafos espectrales
• Lista de temas de análisis funcional

Notas

1. Jean Alexandre Dieudonné (1981). Historia del análisis funcional. Elsevier. ISBN 0-444-86148-3.
2. William Arveson (2002). "Capítulo 1: teoría espectral y álgebras de Banach". Un curso breve sobre teoría espectral. Springer. ISBN 0-387-95300-0.
3. Viktor Antonovich Sadovnichiĭ (1991). "Capítulo 4: La geometría del espacio de Hilbert: la teoría espectral de operadores". Teoría de operadores . Springer. pág. 181 y siguientes . ISBN 0-306-11028-8.
4. Steen, Lynn Arthur. «Aspectos destacados en la historia de la teoría espectral» (PDF) . St. Olaf College . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Consultado el 14 de diciembre de 2015 .
5. John von Neumann (1996). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica; volumen 2 de la serie Princeton Landmarks in Mathematics (reimpresión de la traducción de la edición original de 1932). Princeton University Press. ISBN 0-691-02893-1.
6. E. Brian Davies , citado en el sitio web del grupo de análisis del King's College de Londres "Investigación en el grupo de análisis".
7. Nicholas Young (1988). Introducción al espacio de Hilbert. Cambridge University Press. pág. 3. ISBN 0-521-33717-8.
8. Jean-Luc Dorier (2000). Sobre la enseñanza del álgebra lineal; vol. 23 de la Biblioteca de educación matemática. Springer. ISBN 0-7923-6539-9.
9. Cf. Espectros en matemáticas y en física Archivado el 27 de julio de 2011 en Wayback Machine por Jean Mawhin , p.4 y pp. 10-11.
10. Edgar Raymond Lorch (2003). Teoría espectral (reimpresión de la edición de Oxford de 1962). Textbook Publishers. pág. 89. ISBN 0-7581-7156-0.
11. Nicholas Young (21 de julio de 1988). op. cit., Cambridge University Press. pág. 81. ISBN 0-521-33717-8.
12. Helmut H. Schaefer; Manfred PH Wolff (1999). Espacios vectoriales topológicos (2.ª ed.). Springer. pág. 36. ISBN 0-387-98726-6.
13. Dmitriĭ Petrovich Zhelobenko (2006). Principales estructuras y métodos de la teoría de la representación. American Mathematical Society. ISBN 0821837311.
14. Edgar Raymond Lorch (2003). "Capítulo III: El espacio de Hilbert". Teoría espectral. p. 57. ISBN 0-7581-7156-0.
15. Edgar Raymond Lorch (2003). "Capítulo V: La estructura de las transformaciones autoadjuntas". Teoría espectral. pág. 106 y siguientes . ISBN 0-7581-7156-0.
16. Bernard Friedman (1990). Principios y técnicas de las matemáticas aplicadas (reimpresión de la edición de Wiley de 1956). Dover Publications. pág. 26. ISBN 0-486-66444-9.
17. PAM Dirac (1981). Los principios de la mecánica cuántica (4ª ed.). Oxford University Press. pág. 29 y siguientes . ISBN 0-19-852011-5.
18. Jürgen Audretsch (2007). "Capítulo 1.1.2: Operadores lineales en el espacio de Hilbert". Sistemas entrelazados: nuevas direcciones en la física cuántica . Wiley-VCH. pág. 5. ISBN 978-3-527-40684-5.
19. RA Howland (2006). Dinámica intermedia: un enfoque algebraico lineal (2.ª ed.). Birkhäuser. pág. 69 y siguientes . ISBN 0-387-28059-6.
20. Bernard Friedman (1990). "Capítulo 2: Teoría espectral de operadores". op. cit., p. 57. ISBN 0-486-66444-9.
21. Véase la discusión en el libro de Dirac mencionado anteriormente y en Milan Vujičić (2008). El álgebra lineal explicada detalladamente. Springer. p. 274. ISBN 978-3-540-74637-9.
22. Véase, por ejemplo, el texto fundamental de John von Neumann (1955). op. cit. Princeton University Press. ISBN 0-691-02893-1.y Arch W. Naylor, George R. Sell (2000). Teoría de operadores lineales en ingeniería y ciencia; vol. 40 de Applied mathematics science. Springer. pág. 401. ISBN 0-387-95001-X., Steven Roman (2008). Álgebra lineal avanzada (3.ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5., I︠U︡riĭ Makarovich Berezanskiĭ (1968). Expansiones en funciones propias de operadores autoadjuntos; vol. 17 en Traducciones de monografías matemáticas. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1567-9.
23. Véase, por ejemplo, Gerald B Folland (2009). "Convergencia y completitud". Análisis de Fourier y sus aplicaciones (reimpresión de Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed.). American Mathematical Society. pp. 77 y siguientes . ISBN . 978-0-8218-4790-9.
24. PAM Dirac (1981). op. cit. Clarendon Press. pág. 60 y siguientes . ISBN 0-19-852011-5.
25. Bernard Friedman (1956). Op. cit., Dover Publications, pág. 214, ecuación 2.14. ISBN 0-486-66444-9.
26. Por ejemplo, véase Sadri Hassani (1999). "Capítulo 20: Funciones de Green en una dimensión". Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Springer. pág. 553 y siguientes . ISBN. 0-387-98579-4.y Qing-Hua Qin (2007). Función de Green y elementos de contorno de materiales multicampo. Elsevier. ISBN 978-0-08-045134-3.
27. Spielman, Daniel A. "Notas de clase sobre teoría de grafos espectrales" Universidad de Yale (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/ .

Referencias

• Edward Brian Davies (1996). Teoría espectral y operadores diferenciales; volumen 42 de Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58710-7.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T (1988). Operadores lineales, teoría espectral, operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert (parte 2) (reimpresión de tapa blanda de la edición de 1967). Wiley. ISBN 0-471-60847-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T (1988). Operadores lineales, operadores espectrales (parte 3) (reimpresión de tapa blanda de la edición de 1971). Wiley. ISBN 0-471-60846-7.
• Sadri Hassani (1999). "Capítulo 4: Descomposición espectral". Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Springer. ISBN 0-387-98579-4.
• "Teoría espectral de operadores lineales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Shmuel Kantorovitz (1983). Teoría espectral de operadores del espacio de Banach; . Springer.
• Arch W. Naylor, George R. Sell (2000). "Capítulo 5, Parte B: El espectro". Teoría de operadores lineales en ingeniería y ciencia; Volumen 40 de Ciencias matemáticas aplicadas. Springer. pág. 411. ISBN 0-387-95001-X.
• Gerald Teschl (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; con aplicaciones a los operadores de Schrödinger. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Valter Moretti (2017). Teoría espectral y mecánica cuántica; Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica 2.ª edición. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

Enlaces externos

• Evans M. Harrell II: Una breve historia de la teoría de operadores
• Gregory H. Moore (1995). "La axiomatización del álgebra lineal: 1875-1940". Historia Mathematica . 22 (3): 262–303. doi : 10.1006/hmat.1995.1025 .
• Steen, LA (abril de 1973). "Aspectos destacados en la historia de la teoría espectral". The American Mathematical Monthly . 80 (4): 359–381. doi :10.2307/2319079. JSTOR  2319079.