Métrica de Reissner-Nordström

Métrica esféricamente simétrica con carga eléctrica.

En física y astronomía , la métrica de Reissner-Nordström es una solución estática a las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell , que corresponde al campo gravitacional de un cuerpo de masa M cargado, no giratorio y esféricamente simétrico . La solución análoga para un cuerpo cargado y giratorio viene dada por la métrica de Kerr-Newman .

La métrica fue descubierta entre 1916 y 1921 por Hans Reissner , ^[1] Hermann Weyl , ^[2] Gunnar Nordström ^[3] y George Barker Jeffery ^[4] de forma independiente. ^[5]

la métrica

En coordenadas esféricas , la métrica de Reissner-Nordström (es decir, el elemento lineal ) es ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},}$

• ¿Dónde está la velocidad de la luz ? ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \tau }$es el momento adecuado.
• ${\displaystyle t}$es la coordenada de tiempo (medida por un reloj estacionario en el infinito).
• ${\displaystyle r}$es la coordenada radial.
• ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$son los ángulos esféricos.
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo dado por

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$.

• ${\displaystyle r_{Q}}$es una escala de longitud característica dada por

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la constante eléctrica .

La masa total del cuerpo central y su masa irreducible están relacionadas por ^{[6] [7]} ${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}$

La diferencia entre y se debe a la equivalencia de masa y energía , lo que hace que la energía del campo eléctrico también contribuya a la masa total. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

En el límite en que la carga (o equivalentemente, la escala de longitud ) llega a cero, se recupera la métrica de Schwarzschild . La teoría clásica newtoniana de la gravedad puede entonces recuperarse en el límite cuando la relación llega a cero. En el límite en que ambos y llegan a cero, la métrica se convierte en la métrica de Minkowski para la relatividad especial . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r_{Q}}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r_{Q}/r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

En la práctica, la proporción suele ser extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de la Tierra es aproximadamente de 9  mm (3/8  de pulgada ), mientras que un satélite en una órbita geosincrónica tiene un radio orbital que es aproximadamente cuatro mil millones de veces mayor, de 42.164  km (26.200  millas ). Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son sólo una parte entre mil millones. La proporción sólo aumenta cerca de los agujeros negros y otros objetos ultradensos como las estrellas de neutrones . ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r}$

Agujeros negros cargados

Aunque los agujeros negros cargados con r _Q  ≪ r _s son similares al agujero negro de Schwarzschild , tienen dos horizontes: el horizonte de sucesos y un horizonte interno de Cauchy . ^[8] Al igual que con la métrica de Schwarzschild, los horizontes de eventos para el espacio-tiempo se ubican donde el componente métrico diverge; eso es donde ${\displaystyle g_{rr}}$

$${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Esta ecuación tiene dos soluciones:

$${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$$

Estos horizontes de sucesos concéntricos se degeneran para 2 r _Q  = r _s , lo que corresponde a un agujero negro extremo . Los agujeros negros con 2 r _Q  > r _s no pueden existir en la naturaleza porque si la carga es mayor que la masa no puede haber un horizonte de sucesos físico (el término bajo la raíz cuadrada se vuelve negativo). ^[9] Los objetos con una carga mayor que su masa pueden existir en la naturaleza, pero no pueden colapsar en un agujero negro, y si pudieran, mostrarían una singularidad desnuda . ^[10] Las teorías con supersimetría generalmente garantizan que tales agujeros negros "superextremos" no pueden existir.

El potencial electromagnético es

$${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$$

Si los monopolos magnéticos se incluyen en la teoría, entonces se obtiene una generalización para incluir la carga magnética P reemplazando Q ² por Q ² + P ² en la métrica e incluyendo el término P  cos  θ  dφ en el potencial electromagnético. ^{[ se necesita aclaración ]}

Dilatación del tiempo gravitacional

La dilatación del tiempo gravitacional en las proximidades del cuerpo central viene dada por

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}$$

$${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$$

Símbolos de Christoffel

Los símbolos de Christoffel

$${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)}$$

$${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$$

Dados los símbolos de Christoffel, se pueden calcular las geodésicas de una partícula de prueba. ^{[11] [12]}

Forma de tétrada

En lugar de trabajar en la base holonómica, se pueden realizar cálculos eficientes con una tétrada . ^[13] Sea un conjunto de formas únicas con índice interno de Minkowski , tal que . La métrica de Reissner se puede describir mediante la tétrada ${\displaystyle {\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}}$ ${\displaystyle I\in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{2}=r\,d\theta }$

${\displaystyle {\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi }$

dónde . El transporte paralelo de la tétrada es captado por la conexión one-forms . Estos tienen sólo 24 componentes independientes en comparación con los 40 componentes de . Las conexiones se pueden resolver mediante la inspección de la ecuación de Cartan , donde el lado izquierdo es la derivada exterior de la tétrada y el lado derecho es un producto de cuña . ${\displaystyle G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi }$

El tensor de Riemann se puede construir como un conjunto de dos formas mediante la segunda ecuación de Cartan, que nuevamente hace uso de la derivada exterior y el producto de cuña. Este enfoque es significativamente más rápido que el cálculo tradicional con ; tenga en cuenta que sólo hay cuatro componentes distintos de cero en comparación con nueve componentes distintos de cero de . ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}}$ ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Ecuaciones de movimiento

^[14]

Debido a la simetría esférica de la métrica, el sistema de coordenadas siempre se puede alinear de manera que el movimiento de una partícula de prueba se limite a un plano, por lo que por brevedad y sin restricciones de generalidad usamos θ en lugar de φ . En unidades naturales adimensionales de G  =  M  =  c  =  K  = 1, el movimiento de una partícula cargada eléctricamente con la carga q viene dado por

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Todas las derivadas totales son con respecto al tiempo propio . ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}}$

Las constantes del movimiento se obtienen mediante soluciones a la ecuación diferencial parcial ^[15] ${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$

$${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}}$$

$${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}$$

La ecuación separable

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$$

$${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}$$

^[16]

$${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}$$

Sustituyendo y en se obtiene la ecuación radial ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{1}}$

$${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Multiplicar bajo el signo integral por produce la ecuación orbital ${\displaystyle S_{2}}$

$${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

La dilatación del tiempo total entre la partícula de prueba y un observador en el infinito es

$${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.}$$

Las primeras derivadas y los componentes contravariantes de la velocidad 3 local están relacionados por ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle v^{i}}$

$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$

$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

La energía orbital específica.

$${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}$$

momento angular relativo específico

$${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$

${\displaystyle v_{\parallel }}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$

$${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Formulación alternativa de métrica.

La métrica se puede expresar en forma de Kerr-Schild así:

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}}$$

Observe que k es un vector unitario . Aquí M es la masa constante del objeto, Q es la carga constante del objeto y η es el tensor de Minkowski .

Ver también

• Electrón del agujero negro

Notas

1. Reissner, H. (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik (en alemán). 50 (9): 106–120. Código bibliográfico : 1916AnP...355..106R. doi : 10.1002/andp.19163550905.
2. Weyl, H. (1917). "Zur Gravitationstheorie". Annalen der Physik (en alemán). 54 (18): 117-145. Código bibliográfico : 1917AnP...359..117W. doi : 10.1002/andp.19173591804.
3. Nordström, G. (1918). "Sobre la energía del campo gravitacional en la teoría de Einstein". Verhandl. Koninkl. Ned. Akád. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Ámsterdam . 26 : 1201-1208. Código bibliográfico : 1918KNAB...20.1238N.
4. Jeffery, GB (1921). "El campo de un electrón en la teoría de la gravitación de Einstein". Proc. R. Soc. Londres. A . 99 (697): 123-134. Código Bib : 1921RSPSA..99..123J. doi : 10.1098/rspa.1921.0028 .
5. Gran pensamiento
6. Thibault Damour : Agujeros negros: energética y termodinámica, S. 11 y siguientes.
7. Ashgar Quadir: La repulsión de Reissner Nordström
8. Chandrasekhar, S. (1998). La teoría matemática de los agujeros negros (edición reimpresa). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 205.ISBN​ 0-19850370-9. Archivado desde el original el 29 de abril de 2013 . Consultado el 13 de mayo de 2013 . Y, finalmente, el hecho de que la solución de Reissner-Nordström tenga dos horizontes, un horizonte de sucesos externo y un 'horizonte de Cauchy' interno, proporciona un puente conveniente para el estudio de la solución de Kerr en los capítulos siguientes.
9. Andrew Hamilton: La geometría de Reissner Nordström (Casa Colorado)
10. Carter, Brandon . Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales Archivado el 22 de junio de 2020 en Wayback Machine , Physical Review , página 174
11. Leonard Susskind : El mínimo teórico: geodésicas y gravedad, ( Conferencia 4 de relatividad general , marca de tiempo: 34m18s)
12. Eva Hackmann, Hongxiao Xu: movimiento de partículas cargadas en el espacio-tiempo de Kerr-Newmann
13. Wald, Relatividad General
14. Nordebo, Jonatan. "La métrica de Reissner-Nordström" (PDF) . portal-diva . Consultado el 8 de abril de 2021 .
15. Smith, BR Jr. (2009). "Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en dinámica clásica". Soy. J. Física . 77 (12): 1147-1153. Código bibliográfico : 2009AmJPh..77.1147S. doi : 10.1119/1.3223358.
16. Misner, CW; et al. (1973). Gravitación . WH Freeman Co. págs. ISBN 0-7167-0344-0.

Referencias

• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1965). Introducción a la Relatividad General . Nueva York: McGraw-Hill Book Company. págs. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general. Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8. Consultado el 27 de abril de 2013 .

enlaces externos

• Diagramas de espacio-tiempo que incluyen el diagrama de Finkelstein y el diagrama de Penrose , por Andrew JS Hamilton
• “Partícula moviéndose alrededor de dos agujeros negros extremos” de Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .