Niveles de energía degenerados

Nivel de energía de un sistema cuántico que corresponde a dos o más estados mensurables diferentes

En mecánica cuántica , un nivel de energía es degenerado si corresponde a dos o más estados mensurables diferentes de un sistema cuántico . Por el contrario, se dice que dos o más estados diferentes de un sistema mecánico cuántico están degenerados si dan el mismo valor de energía al medirlos. El número de estados diferentes correspondientes a un nivel energético particular se conoce como grado de degeneración (o simplemente degeneración ) del nivel. Está representado matemáticamente por el hamiltoniano para el sistema que tiene más de un estado propio linealmente independiente con el mismo valor propio de energía . ^{[1] : 48} Cuando este es el caso, la energía por sí sola no es suficiente para caracterizar en qué estado se encuentra el sistema, y ​​se necesitan otros números cuánticos para caracterizar el estado exacto cuando se desea la distinción. En mecánica clásica , esto puede entenderse en términos de diferentes trayectorias posibles correspondientes a una misma energía.

La degeneración juega un papel fundamental en la mecánica estadística cuántica . Para un sistema de N -partículas en tres dimensiones, un único nivel de energía puede corresponder a varias funciones de onda o estados de energía diferentes. Todos estos estados degenerados en el mismo nivel tienen la misma probabilidad de ser ocupados. El número de tales estados da la degeneración de un nivel de energía particular.

Estados degenerados en un sistema cuántico

Matemáticas

Los posibles estados de un sistema mecánico cuántico pueden tratarse matemáticamente como vectores abstractos en un espacio de Hilbert complejo y separable , mientras que los observables pueden representarse mediante operadores hermitianos lineales que actúan sobre ellos. Seleccionando una base adecuada , se pueden determinar los componentes de estos vectores y los elementos matriciales de los operadores en esa base. Si A es una matriz N  ×  N , X un vector distinto de cero y λ es un escalar , tal que , entonces se dice que el escalar λ es un valor propio de A y se dice que el vector X es el vector propio correspondiente a λ . Junto con el vector cero, el conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio λ dado forma un subespacio de C ⁿ , que se denomina espacio propio de λ . Un valor propio λ que corresponde a dos o más vectores propios linealmente independientes diferentes se dice que es degenerado , es decir, y , donde y son vectores propios linealmente independientes. La dimensión del espacio propio correspondiente a ese valor propio se conoce como su grado de degeneración , el cual puede ser finito o infinito. Se dice que un valor propio es no degenerado si su espacio propio es unidimensional. ${\displaystyle AX=\lambda X}$ ${\displaystyle AX_{1}=\lambda X_{1}}$ ${\displaystyle AX_{2}=\lambda X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Los valores propios de las matrices que representan observables físicos en mecánica cuántica dan los valores medibles de estos observables, mientras que los estados propios correspondientes a estos valores propios dan los posibles estados en los que se puede encontrar el sistema, tras la medición. Los valores medibles de la energía de un sistema cuántico vienen dados por los valores propios del operador hamiltoniano, mientras que sus estados propios dan los posibles estados energéticos del sistema. Se dice que un valor de energía es degenerado si existen al menos dos estados energéticos linealmente independientes asociados a él. Además, cualquier combinación lineal de dos o más estados propios degenerados es también un estado propio del operador hamiltoniano correspondiente al mismo valor propio de energía. Esto se desprende claramente del hecho de que el espacio propio del valor propio de energía λ es un subespacio (siendo el núcleo del hamiltoniano menos λ multiplicado por la identidad), por lo que está cerrado en combinaciones lineales.

Prueba del teorema anterior. ^{[2] : pág. 52}

Si representa el operador hamiltoniano y y son dos estados propios correspondientes al mismo valor propio E , entonces ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{1}\rangle =E|\psi _{1}\rangle }$$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{2}\rangle =E|\psi _{2}\rangle }$$

Sea , donde y son constantes complejas (en general), cualquier combinación lineal de y . Entonces, ${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi \rangle &={\hat {H}}(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=c_{1}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle +c_{2}{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle \\&=E(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=E|\psi \rangle \end{aligned}}}$$

lo que muestra que es un estado propio de con el mismo valor propio E . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Efecto de la degeneración en la medición de la energía.

En ausencia de degeneración, si se determina un valor medido de energía de un sistema cuántico, se supone que se conoce el estado correspondiente del sistema, ya que a cada valor propio de energía le corresponde sólo un estado propio. Sin embargo, si el hamiltoniano tiene un valor propio degenerado de grado g _n , los estados propios asociados con él forman un subespacio vectorial de dimensión g _n . En tal caso, es posible que se asocien varios estados finales con el mismo resultado , todos los cuales son combinaciones lineales de los gn _vectores propios ortonormales . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle |E_{n,i}\rangle }$

En este caso, la probabilidad de que el valor de energía medido para un sistema en el estado arroje el valor está dada por la suma de las probabilidades de encontrar el sistema en cada uno de los estados sobre esta base, es decir ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}}$

Degeneración en diferentes dimensiones

Esta sección pretende ilustrar la existencia de niveles de energía degenerados en sistemas cuánticos estudiados en diferentes dimensiones. El estudio de sistemas unidimensionales y bidimensionales ayuda a la comprensión conceptual de sistemas más complejos.

Degeneración en una dimensión

En varios casos, los resultados analíticos se pueden obtener más fácilmente en el estudio de sistemas unidimensionales. Para una partícula cuántica con función de onda que se mueve en un potencial unidimensional , la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

Dado que se trata de una ecuación diferencial ordinaria, existen dos funciones propias independientes para una energía dada como máximo, de modo que el grado de degeneración nunca excede de dos. Se puede demostrar que en una dimensión no existen estados ligados degenerados para funciones de onda normalizables . Una condición suficiente para un potencial y energía continuos por partes es la existencia de dos números reales tales que tenemos . ^[3] En particular, se encuentra acotado a continuación en este criterio. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M,x_{0}}$ ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle \forall x>x_{0}}$ ${\displaystyle V(x)-E\geq M^{2}}$ ${\displaystyle V}$

Degeneración en sistemas cuánticos bidimensionales.

Los sistemas cuánticos bidimensionales existen en los tres estados de la materia y gran parte de la variedad que se ve en la materia tridimensional se puede crear en dos dimensiones. Los materiales bidimensionales reales están formados por capas monoatómicas sobre la superficie de sólidos. Algunos ejemplos de sistemas de electrones bidimensionales logrados experimentalmente incluyen MOSFET , superredes bidimensionales de helio , neón , argón , xenón , etc. y superficies de helio líquido . La presencia de niveles de energía degenerados se estudia en los casos de partícula en una caja y oscilador armónico bidimensional , que actúan como modelos matemáticos útiles para varios sistemas del mundo real.

Partícula en un plano rectangular.

Consideremos una partícula libre en un plano de dimensiones y en un plano de paredes impenetrables. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este sistema con función de onda se puede escribir como ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi }$

Los valores de energía permitidos son

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)}$

La función de onda normalizada es

${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}$

dónde ${\displaystyle n_{x},n_{y}=1,2,3...}$

Entonces, los números cuánticos y son necesarios para describir los valores propios de energía y la energía más baja del sistema está dada por ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$

${\displaystyle E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)}$

Para algunas proporciones proporcionales de las dos longitudes y , ciertos pares de estados son degenerados. Si , donde p y q son números enteros, los estados y tienen la misma energía y, por lo tanto, se degeneran entre sí. ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle L_{x}/L_{y}=p/q}$ ${\displaystyle (n_{x},n_{y})}$ ${\displaystyle (pn_{y}/q,qn_{x}/p)}$

Partícula en una caja cuadrada.

En este caso, las dimensiones de la caja y los valores propios de energía están dados por ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L}$

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$

Dado que y pueden intercambiarse sin cambiar la energía, cada nivel de energía tiene una degeneración de al menos dos cuando y son diferentes. Los estados degenerados también se obtienen cuando la suma de los cuadrados de los números cuánticos correspondientes a diferentes niveles de energía es la misma. Por ejemplo, los tres estados (n _x = 7, n _y = 1), (n _x = 1, n _y = 7) y (n _x = n _y = 5) tienen y constituyen un conjunto degenerado. ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}}$

Grados de degeneración de diferentes niveles de energía para una partícula en una caja cuadrada:

Partícula en una caja cúbica.

En este caso, las dimensiones de la caja y los valores propios de energía dependen de tres números cuánticos. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=L}$

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}$

Dado que , y pueden intercambiarse sin cambiar la energía, cada nivel de energía tiene una degeneración de al menos tres cuando los tres números cuánticos no son todos iguales. ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

Encontrar una base propia única en caso de degeneración

Si dos operadores y conmutan, es decir , entonces para cada vector propio de , también hay un vector propio de con el mismo valor propio. Sin embargo, si este valor propio, digamos , es degenerado, se puede decir que pertenece al espacio propio de , que se dice que es globalmente invariante bajo la acción de . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {B}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para dos observables A y B conmutantes , se puede construir una base ortonormal del espacio de estados con vectores propios comunes a los dos operadores. Sin embargo, es un valor propio degenerado de , entonces es un subespacio propio de que es invariante bajo la acción de , por lo que la representación de en la base propia de no es una diagonal sino una matriz diagonal de bloque , es decir, los vectores propios degenerados de no lo son, en general. , vectores propios de . Sin embargo, siempre es posible elegir, en cada subespacio propio degenerado de , una base de vectores propios comunes a y . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Elegir un conjunto completo de observables de desplazamiento

Si un observable dado A no es degenerado, existe una base única formada por sus vectores propios. Por otro lado, si uno o varios valores propios de son degenerados, especificar un valor propio no es suficiente para caracterizar un vector base. Si, eligiendo un observable que conmuta con , es posible construir una base ortonormal de vectores propios comunes a y , que es única, para cada uno de los posibles pares de valores propios {a,b}, entonces se dice que y forman un conjunto completo de observables de desplazamiento . Sin embargo, si aún no se puede especificar un conjunto único de vectores propios, para al menos uno de los pares de valores propios, un tercer observable , que conmuta con ambos y se puede encontrar de manera que los tres formen un conjunto completo de observables conmutantes. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

De ello se deduce que las funciones propias del hamiltoniano de un sistema cuántico con un valor de energía común deben etiquetarse proporcionando información adicional, lo que se puede hacer eligiendo un operador que conmute con el hamiltoniano. Estas etiquetas adicionales requirieron nombrar una función propia de energía única y generalmente están relacionadas con las constantes de movimiento del sistema.

Estados propios de energía degenerados y el operador de paridad

El operador de paridad se define por su acción en la representación de cambiar r a −r, es decir ${\displaystyle |r\rangle }$

${\displaystyle \langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)}$

Se puede demostrar que los valores propios de P están limitados a , los cuales son valores propios degenerados en un espacio de estados de dimensión infinita. Un vector propio de P con valor propio +1 se dice que es par, mientras que uno con valor propio −1 se dice que es impar. ${\displaystyle \pm 1}$

Ahora bien, un operador par es aquel que satisface, ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=P{\hat {A}}P}$

${\displaystyle [P,{\hat {A}}]=0}$

mientras que un operador impar es aquel que satisface ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0}$

Dado que el cuadrado del operador de momento es par, si el potencial V(r) es par, se dice que el hamiltoniano es un operador par. En ese caso, si cada uno de sus valores propios no es degenerado, cada vector propio es necesariamente un estado propio de P y, por lo tanto, es posible buscar los estados propios entre estados pares e impares. Sin embargo, si uno de los estados propios de energía no tiene paridad definida , se puede afirmar que el valor propio correspondiente es degenerado y es un vector propio de con el mismo valor propio que . ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle P|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Degeneración y simetría

El origen físico de la degeneración en un sistema mecánico-cuántico es a menudo la presencia de cierta simetría en el sistema. En algunos casos, estudiar la simetría de un sistema cuántico puede permitirnos encontrar los niveles de energía y las degeneraciones sin resolver la ecuación de Schrödinger, reduciendo así el esfuerzo.

Matemáticamente, la relación de la degeneración con la simetría se puede aclarar de la siguiente manera. Considere una operación de simetría asociada con un operador unitario S. Bajo tal operación, el nuevo hamiltoniano está relacionado con el hamiltoniano original mediante una transformación de similitud generada por el operador S , de modo que , dado que S es unitario. Si el hamiltoniano permanece sin cambios bajo la operación de transformación S , tenemos ${\displaystyle H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }}$

${\displaystyle SHS^{\dagger }=H}$

${\displaystyle SHS^{-1}=H}$

${\displaystyle SH=HS}$

${\displaystyle [S,H]=0}$

Ahora bien, si es un estado propio de energía, ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle }$

donde E es el valor propio de energía correspondiente.

${\displaystyle HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle }$

lo que significa que también es un estado propio de energía con el mismo valor propio E. Si los dos estados y son linealmente independientes (es decir, físicamente distintos), son, por tanto, degenerados. ${\displaystyle S|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle S|\alpha \rangle }$

En los casos en que S se caracteriza por un parámetro continuo , todos los estados de la forma tienen el mismo valor propio de energía. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle S(\epsilon )|\alpha \rangle }$

Grupo de simetría del hamiltoniano

Se dice que el conjunto de todos los operadores que conmutan con el hamiltoniano de un sistema cuántico forma el grupo de simetría del hamiltoniano. Los conmutadores de los generadores de este grupo determinan el álgebra del grupo. Una representación n-dimensional del grupo de simetría conserva la tabla de multiplicar de los operadores de simetría. Las posibles degeneraciones del hamiltoniano con un grupo de simetría particular vienen dadas por las dimensionalidades de las representaciones irreducibles del grupo. Las funciones propias correspondientes a un valor propio degenerado n veces forman una base para una representación irreducible de n dimensiones del grupo de simetría del hamiltoniano.

Tipos de degeneración

Las degeneraciones en un sistema cuántico pueden ser de naturaleza sistemática o accidental.

Degeneración sistemática o esencial

Esto también se llama degeneración geométrica o normal y surge debido a la presencia de algún tipo de simetría en el sistema considerado, es decir, la invariancia del hamiltoniano bajo una determinada operación, como se describió anteriormente. La representación obtenida de una degeneración normal es irreducible y las funciones propias correspondientes forman la base de esta representación.

Degeneración accidental

Es un tipo de degeneración que resulta de algunas características especiales del sistema o de la forma funcional del potencial bajo consideración, y está relacionado posiblemente con una simetría dinámica oculta en el sistema. ^[4] También da como resultado cantidades conservadas, que a menudo no son fáciles de identificar. Las simetrías accidentales conducen a estas degeneraciones adicionales en el espectro de energía discreto. Una degeneración accidental puede deberse a que el grupo del hamiltoniano no está completo. Estas degeneraciones están relacionadas con la existencia de órbitas ligadas en la Física clásica.

Ejemplos: potenciales de Coulomb y oscilador armónico

Para una partícula en un potencial central 1/ r , el vector de Laplace-Runge-Lenz es una cantidad conservada resultante de una degeneración accidental, además de la conservación del momento angular debido a la invariancia rotacional.

Para una partícula que se mueve sobre un cono bajo la influencia de los potenciales 1/ r y r ² , centrados en la punta del cono, las cantidades conservadas correspondientes a la simetría accidental serán dos componentes de un equivalente del vector de Runge-Lenz, además a una componente del vector de momento angular. Estas cantidades generan simetría SU(2) para ambos potenciales.

Ejemplo: partícula en un campo magnético constante.

Una partícula que se mueve bajo la influencia de un campo magnético constante, experimentando un movimiento de ciclotrón en una órbita circular, es otro ejemplo importante de simetría accidental. Los multipletes de simetría en este caso son los niveles de Landau que están infinitamente degenerados.

Ejemplos

El átomo de hidrógeno.

En física atómica , los estados ligados de un electrón en un átomo de hidrógeno nos muestran ejemplos útiles de degeneración. En este caso, el hamiltoniano conmuta con el momento angular orbital total , su componente a lo largo de la dirección z, el momento angular de espín total y su componente z . Los números cuánticos correspondientes a estos operadores son , , (siempre 1/2 para un electrón) y respectivamente. ${\displaystyle {\hat {L^{2}}}}$ ${\displaystyle {\hat {L_{z}}}}$ ${\displaystyle {\hat {S^{2}}}}$ ${\displaystyle {\hat {S_{z}}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m_{s}}$

Los niveles de energía en el átomo de hidrógeno dependen únicamente del número cuántico principal n . Para un n dado , todos los estados correspondientes tienen la misma energía y son degenerados. De manera similar, para valores dados de n y l , los estados con son degenerados. El grado de degeneración del nivel de energía En _es por tanto: , que se duplica si se incluye la degeneración del espín. ^{[1] : pág. 267f} ${\displaystyle l=0,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle (2l+1)}$ ${\displaystyle m_{l}=-l,\ldots ,l}$ ${\displaystyle \sum _{l\mathop {=} 0}^{n-1}(2l+1)=n^{2}}$

La degeneración con respecto a es una degeneración esencial que está presente para cualquier potencial central y surge de la ausencia de una dirección espacial preferida. La degeneración con respecto a a menudo se describe como una degeneración accidental, pero puede explicarse en términos de simetrías especiales de la ecuación de Schrödinger que solo son válidas para el átomo de hidrógeno en el que la energía potencial viene dada por la ley de Coulomb . ^{[1] : pág. 267f} ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle l}$

Oscilador armónico tridimensional isotrópico

Es una partícula sin espín de masa m que se mueve en el espacio tridimensional , sometida a una fuerza central cuyo valor absoluto es proporcional a la distancia de la partícula al centro de fuerza.

${\displaystyle F=-kr}$

Se dice que es isotrópico porque el potencial que actúa sobre él es rotacionalmente invariante, es decir: ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)=1/2\left(m\omega ^{2}r^{2}\right)}$

donde es la frecuencia angular dada por . ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$

Dado que el espacio de estados de dicha partícula es el producto tensorial de los espacios de estados asociados con las funciones de onda unidimensionales individuales, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para dicho sistema viene dada por:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\psi }=E\psi }$

Entonces, los valores propios de energía son ${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=(n_{x}+n_{y}+n_{z}+3/2)\hbar \omega }$

o, ${\displaystyle E_{n}=(n+3/2)\hbar \omega }$

donde n es un número entero no negativo. Entonces, los niveles de energía son degenerados y el grado de degeneración es igual al número de conjuntos diferentes que satisfacen ${\displaystyle \{n_{x},n_{y},n_{z}\}}$

${\displaystyle n_{x}+n_{y}+n_{z}=n}$

La degeneración del -ésimo estado se puede encontrar considerando la distribución de cuantos entre , y . Tener 0 in ofrece posibilidades de distribución entre y . Tener 1 cuanto da posibilidades de cruce , etc. Esto conduce al resultado general de y la suma de todo conduce a la degeneración del -ésimo estado, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$ ${\displaystyle n-n_{x}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$

Para el estado fundamental , la degeneración es tal que el estado no es degenerado. Para todos los estados superiores, la degeneración es mayor que 1, por lo que el estado es degenerado. ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$

Eliminando la degeneración

La degeneración en un sistema de mecánica cuántica puede eliminarse si la simetría subyacente se rompe por una perturbación externa . Esto provoca la división en los niveles de energía degenerados. Se trata esencialmente de una división de las representaciones irreductibles originales en representaciones de dimensiones inferiores del sistema perturbado.

Matemáticamente, la división debida a la aplicación de un pequeño potencial de perturbación se puede calcular utilizando la teoría de la perturbación degenerada independiente del tiempo . Este es un esquema de aproximación que se puede aplicar para encontrar la solución a la ecuación de valores propios del hamiltoniano H de un sistema cuántico con una perturbación aplicada, dada la solución del hamiltoniano H ₀ para el sistema no perturbado. Implica expandir los valores propios y los mercados propios del hamiltoniano H en una serie de perturbaciones. Los estados propios degenerados con un valor propio de energía dado forman un subespacio vectorial, pero no todas las bases de estados propios de este espacio son un buen punto de partida para la teoría de la perturbación, porque normalmente no habría estados propios del sistema perturbado cerca de ellos. La base correcta a elegir es aquella que diagonalice la perturbación hamiltoniana dentro del subespacio degenerado.

Ejemplos físicos de eliminación de degeneración por una perturbación.

A continuación se dan algunos ejemplos importantes de situaciones físicas en las que los niveles de energía degenerados de un sistema cuántico se dividen mediante la aplicación de una perturbación externa.

Ruptura de simetría en sistemas de dos niveles.

Un sistema de dos niveles se refiere esencialmente a un sistema físico que tiene dos estados cuyas energías están muy juntas y son muy diferentes de las de los otros estados del sistema. Todos los cálculos para dicho sistema se realizan en un subespacio bidimensional del espacio de estados.

Si el estado fundamental de un sistema físico es doblemente degenerado, cualquier acoplamiento entre los dos estados correspondientes reduce la energía del estado fundamental del sistema y lo hace más estable.

Si y son los niveles de energía del sistema, tales que , y la perturbación se representa en el subespacio bidimensional como la siguiente matriz de 2×2 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.}$

entonces las energías perturbadas son

${\displaystyle E_{+}=E+|W_{12}|}$

${\displaystyle E_{-}=E-|W_{12}|}$

Ejemplos de sistemas de dos estados en los que la degeneración de los estados energéticos se rompe por la presencia de términos fuera de la diagonal en el hamiltoniano como resultado de una interacción interna debido a una propiedad inherente del sistema incluyen:

• Benceno , con dos posibles disposiciones de los tres dobles enlaces entre átomos de Carbono vecinos .
• Molécula de amoníaco , donde el átomo de nitrógeno puede estar por encima o por debajo del plano definido por los tres átomos de hidrógeno .
• h+ 2molécula, en la que el electrón puede estar localizado alrededor de cualquiera de los dos núcleos.

División de estructura fina

Las correcciones a la interacción de Coulomb entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno debido al movimiento relativista y al acoplamiento espín-órbita dan como resultado romper la degeneración en los niveles de energía para diferentes valores de l correspondientes a un único número cuántico principal n .

La perturbación hamiltoniana debida a la corrección relativista viene dada por

${\displaystyle H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}}$

donde es el operador de momento y es la masa del electrón. La corrección de energía relativista de primer orden en la base viene dada por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle |nlm\rangle }$

${\displaystyle E_{r}=(-1/8m^{3}c^{2})\langle nlm|p^{4}|nlm\rangle }$

Ahora ${\displaystyle p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{r}&=(-1/2mc^{2})[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\langle 1/r\rangle +e^{4}\langle 1/r^{2}\rangle ]\\&=(-1/2)mc^{2}\alpha ^{4}[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(l+1/2)}]\end{aligned}}}$

¿ Dónde es la constante de estructura fina ? ${\displaystyle \alpha }$

La interacción espín-órbita se refiere a la interacción entre el momento magnético intrínseco del electrón con el campo magnético que experimenta debido al movimiento relativo con el protón. La interacción hamiltoniana es

${\displaystyle H_{so}=-(e/mc){{\vec {m}}\cdot {\vec {L}}/r^{3}}=[(e^{2}/(m^{2}c^{2}r^{3})){\vec {S}}\cdot {\vec {L}}]}$

que puede escribirse como

${\displaystyle H_{so}=(e^{2}/(4m^{2}c^{2}r^{3}))[{\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}]}$

La corrección de energía de primer orden en la base donde la perturbación hamiltoniana es diagonal, viene dada por ${\displaystyle |j,m,l,1/2\rangle }$

${\displaystyle E_{so}=(\hbar ^{2}e^{2})/(4m^{2}c^{2})[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_{0})^{3}n^{3}(l(l+1/2)(l+1))]}$

¿ Dónde está el radio de Bohr ? El cambio total de energía de estructura fina está dado por ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle E_{fs}=-(mc^{2}\alpha ^{4}/(2n^{3}))[1/(j+1/2)-3/4n]}$

para . ${\displaystyle j=l\pm 1/2}$

efecto zeeman

La división de los niveles de energía de un átomo cuando se coloca en un campo magnético externo debido a la interacción del momento magnético del átomo con el campo aplicado se conoce como efecto Zeeman . ${\displaystyle {\vec {m}}}$

Teniendo en cuenta los momentos angulares orbital y de espín, y , respectivamente, de un solo electrón en el átomo de hidrógeno, la perturbación hamiltoniana viene dada por ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$

${\displaystyle {\hat {V}}=-({\vec {m_{l}}}+{\vec {m_{s}}})\cdot {\vec {B}}}$

dónde y . De este modo, ${\displaystyle m_{l}=-e{\vec {L}}/2m}$ ${\displaystyle m_{s}=-e{\vec {S}}/m}$

${\displaystyle {\hat {V}}=e({\vec {L}}+2{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}/2m}$

Ahora, en el caso del efecto Zeeman de campo débil, cuando el campo aplicado es débil en comparación con el campo interno, el acoplamiento espín-órbita domina y no se conservan por separado. Los buenos números cuánticos son n , l , j y m _j , y sobre esta base, se puede demostrar que la corrección de energía de primer orden viene dada por ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$

${\displaystyle E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j}}$, dónde

${\displaystyle \mu _{B}={e\hbar }/2m}$se llama Magnetón de Bohr . Así, dependiendo del valor de , cada nivel de energía degenerado se divide en varios niveles. ${\displaystyle m_{j}}$

Levantamiento de la degeneración por un campo magnético externo.

En el caso del efecto Zeeman de campo fuerte, cuando el campo aplicado es lo suficientemente fuerte como para que los momentos angulares orbitales y de espín se desacoplen, los buenos números cuánticos ahora son n , l , m _l y m _s . Aquí, L _z y S _z se conservan, por lo que la perturbación hamiltoniana viene dada por-

${\displaystyle {\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m}$

suponiendo que el campo magnético esté a lo largo de la dirección z . Entonces,

${\displaystyle {\hat {V}}=eB(m_{l}+2m_{s})/2m}$

Para cada valor de m _l , hay dos valores posibles de m _s , . ${\displaystyle \pm 1/2}$

efecto duro

La división de los niveles de energía de un átomo o molécula cuando se somete a un campo eléctrico externo se conoce como efecto Stark .

Para el átomo de hidrógeno, la perturbación hamiltoniana es

${\displaystyle {\hat {H}}_{s}=-|e|Ez}$

si el campo eléctrico se elige a lo largo de la dirección z .

Las correcciones de energía debidas al campo aplicado vienen dadas por el valor esperado de en la base. Las reglas de selección pueden demostrar que cuándo y . ${\displaystyle {\hat {H}}_{s}}$ ${\displaystyle |nlm\rangle }$ ${\displaystyle \langle nlm_{l}|z|n_{1}l_{1}m_{l1}\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle l=l_{1}\pm 1}$ ${\displaystyle m_{l}=m_{l1}}$

La degeneración se levanta sólo para ciertos estados que obedecen las reglas de selección, en primer orden. La división de primer orden en los niveles de energía para los estados degenerados y , ambos correspondientes a n = 2, viene dada por . ${\displaystyle |2,0,0\rangle }$ ${\displaystyle |2,1,0\rangle }$ ${\displaystyle \Delta E_{2,1,m_{l}}=\pm |e|(\hbar ^{2})/(m_{e}e^{2})E}$

Ver también

• Densidad de estados

Referencias

1. Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3ª ed.). Nueva York: John Wiley. ISBN 0-471-88702-1.
2. Levine, Ira N. (1991). Química cuántica (4ª ed.). Prentice Hall. pag. 52.ISBN _ 0-205-12770-3.
3. Mesías, Albert (1967). Mecánica cuántica (3ª ed.). Amsterdam, NLD: Holanda Septentrional. págs. 98-106. ISBN 0-471-88702-1.
4. McIntosh, Harold V. (1959). "Sobre la degeneración accidental en la mecánica clásica y cuántica" (PDF) . Revista Estadounidense de Física . Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT). 27 (9): 620–625. Código bibliográfico : 1959AmJPh..27..620M. doi :10.1119/1.1934944. ISSN  0002-9505.

Otras lecturas

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck. Mecánica cuántica. vol. 1. Hermann. ISBN 978-2-7056-8392-4.^{[ se necesita cita completa ]}
• Shankar, Ramamurti (2013). Principios de la mecánica cuántica. Saltador. ISBN 978-1-4615-7675-4.^{[ se necesita cita completa ]}
• Larson, Ron ; Falvo, David C. (30 de marzo de 2009). Álgebra lineal elemental, edición mejorada. Aprendizaje Cengage. págs.8–. ISBN 978-1-305-17240-1.
• Hobson; Riley (27 de agosto de 2004). Métodos Matemáticos Para Física E Ingeniería (Clpe) 2Ed. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-61296-8.
• Hemmer (2005). Kvantemekanikk: PC Hemmer. Tapir akademisk forlag. Tillegg 3: suplemento de los apartados 3.1, 3.3 y 3.5. ISBN 978-82-519-2028-5.
• Degeneración cuántica en sistemas bidimensionales, Debnarayan Jana, Departamento de Física, Facultad Universitaria de Ciencia y Tecnología
• Al-Hashimi, Munir (2008). Simetría accidental en física cuántica.