Buen número cuántico

En mecánica cuántica , se dice que el valor propio de un observable es un buen número cuántico si el observable es una constante de movimiento . En otras palabras, el número cuántico es bueno si el observable correspondiente conmuta con el hamiltoniano . Si el sistema comienza desde el estado propio con un valor propio , permanece en ese estado a medida que el sistema evoluciona en el tiempo, y la medición de siempre produce el mismo valor propio . ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle q}$

Los números cuánticos adecuados se utilizan a menudo para etiquetar los estados inicial y final en los experimentos. Por ejemplo, en los colisionadores de partículas: ^{[ cita requerida ]}

1. Las partículas se preparan inicialmente en estados propios de momento aproximado; el momento de la partícula es un buen número cuántico para partículas que no interactúan.
2. Las partículas se ven obligadas a colisionar. En este punto, el momento de cada partícula está experimentando un cambio y, por lo tanto, los momentos de las partículas no son un buen número cuántico para las partículas que interactúan durante la colisión.
3. Un tiempo considerable después de la colisión, las partículas se miden en estados propios de momento. El momento de cada partícula se ha estabilizado y vuelve a ser un buen número cuántico mucho tiempo después de la colisión.

Conservación de buenos números cuánticos

Sea un operador que conmuta con el hamiltoniano . Esto implica que podemos tener estados propios comunes de y . ^[2] Supongamos que nuestro sistema está en uno de estos estados propios comunes. Si medimos de , definitivamente producirá un valor propio (el buen número cuántico). Además, es un resultado bien conocido que un estado propio del hamiltoniano es un estado estacionario , ^[3] lo que significa que incluso si se deja que el sistema evolucione durante algún tiempo antes de que se haga la medición, seguirá produciendo el mismo valor propio. ^[4] Por lo tanto, si nuestro sistema está en un estado propio común, sus valores propios de (buenos números cuánticos) no cambiarán con el tiempo. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$

Estados que pueden etiquetarse mediante buenos números cuánticos

Los estados que pueden etiquetarse con buenos números cuánticos son estados propios del hamiltoniano . También se denominan estados estacionarios . ^[5] Se denominan así porque el sistema permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, en todos los sentidos observables.

Un estado así satisface:

${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle }$,

donde es un estado cuántico, es el operador hamiltoniano y es el valor propio de energía del estado . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E_{\Psi }}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

La evolución del estado ket está regida por la ecuación de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle }$

Da la evolución temporal del estado del sistema como:

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle }$

La evolución temporal sólo implica un cambio constante de un factor de fase complejo , que no se puede observar. El estado en sí permanece invariable.

Átomo de hidrógeno

El átomo de hidrógeno: sin acoplamiento espín-órbita

En el caso del átomo de hidrógeno (con el supuesto de que no hay acoplamiento espín-órbita ), los observables que conmutan con el hamiltoniano son el momento angular orbital , el momento angular de espín, la suma del momento angular de espín y el momento angular orbital, y los componentes de los momentos angulares anteriores. Por lo tanto, los buenos números cuánticos en este caso (que son los valores propios de estos observables) son . ^[6] Hemos omitido , ya que siempre es constante para un electrón y no tiene importancia en lo que respecta al etiquetado de estados. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}}$ ${\displaystyle s}$

Sin embargo, todos los números cuánticos buenos en el caso anterior del átomo de hidrógeno (con acoplamiento espín-órbita despreciable), es decir, no se pueden utilizar simultáneamente para especificar un estado. Aquí es cuando CSCO (conjunto completo de observables conmutativos) entra en juego. A continuación se presentan algunos resultados generales que son de validez general: ${\displaystyle l,j,m_{\text{l}},m_{s},m_{j}}$

1. Una cierta cantidad de números cuánticos buenos se puede utilizar para especificar de forma única un cierto estado cuántico solo cuando los observables correspondientes a los números cuánticos buenos forman un CSCO.
2. Si los observables conmutan, pero no forman un CSCO, entonces sus buenos números cuánticos se refieren a un conjunto de estados. En este caso, no se refieren a un estado de manera única.
3. Si los observables no conmutan, ni siquiera pueden usarse para referirse a ningún conjunto de estados, y mucho menos a ningún estado único.

En el caso del átomo de hidrógeno, no forman un conjunto conmutativo, sino que son los números cuánticos de un CSCO. Por lo tanto, en este caso, forman un conjunto de buenos números cuánticos. De manera similar, también forman un conjunto de buenos números cuánticos. ${\displaystyle L^{2},J^{2},L_{z},J_{z}}$ ${\displaystyle n,l,m_{\text{l}},m_{s}}$ ${\displaystyle n,l,j,m_{\text{j}}}$

El átomo de hidrógeno: interacción espín-órbita incluida

Para tener en cuenta la interacción espín-órbita, tenemos que añadir un término extra en el hamiltoniano ^[7]

${\displaystyle \Delta H_{\text{SO}}={\frac {\alpha }{r^{3}}}\,{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {L}}}$,

donde el prefactor determina la fuerza del acoplamiento espín-órbita. Ahora, el nuevo hamiltoniano con este nuevo término no conmuta con y . Solo conmuta con , , y , que es el operador de momento angular total . En otras palabras, ya no son buenos números cuánticos, pero son (además del número cuántico principal ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta H_{\text{SO}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle m_{\text{l}},m_{s}}$ ${\displaystyle l,s,j,m_{\text{j}}}$ ${\displaystyle n}$

Y puesto que se utilizan buenos números cuánticos para etiquetar los estados propios, las fórmulas relevantes de interés se expresan en términos de ellos. ^{[ dudoso – discutir ]} Por ejemplo, el valor esperado de la energía de interacción espín-órbita está dado por ^[8]

${\displaystyle \langle n,l,s,j,m_{j}|\Delta H_{\text{SO}}|n,l,s,j,m_{j}\rangle ={\beta \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$

dónde

${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4{\pi }^{4}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$

Las expresiones anteriores contienen los buenos números cuánticos que caracterizan el estado propio.

Véase también

• Conjunto completo de observables de desplazamientos
• Hamiltoniano (mecánica cuántica)
• Estado estacionario
• Constante de movimiento
• Número cuántico
• Medición en mecánica cuántica
• Teorema de Ehrenfest
• Operador (física)

Referencias

1. Messiah, Albert (1961). Mecánica cuántica . Vol. I. Traducido por Temmer, GM. Ámsterdam: Holanda Septentrional. págs. 210-212.
2. Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Franck (1977). Mecánica cuántica (2. ed.). Nueva York [ua]: Wiley [ua] pág. 140.ISBN​ 047116433X.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Bernard, Diu; Franck, Laloë (1 de enero de 2002). Mecánica cuántica . John Wiley and Sons. pág. 32. ISBN 047116433X.OCLC 928691380  .
4. Laloë, Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Franck (1977). Mecánica cuántica (2. ed.). Nueva York [ua]: Wiley [ua] pág. 246.ISBN​ 047116433X.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. pág. 26. ISBN 0131118927.
6. Christman, Robert Eisberg, Robert Resnick, con la ayuda de David O. Caldwell, J. Richard (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. pág. J-10. ISBN 047187373X.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. pág. 271. ISBN 0131118927.
8. Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. pág. 273. ISBN 0131118927.