Espacio-tiempo estático

Espaciotiempo que no cambia con el tiempo y es irrotacional.

En la relatividad general , un espaciotiempo se dice que es estático si no cambia con el tiempo y además es irrotacional. Es un caso especial de espaciotiempo estacionario , que es la geometría de un espaciotiempo estacionario que no cambia en el tiempo pero que puede girar. Por tanto, la solución de Kerr proporciona un ejemplo de un espaciotiempo estacionario que no es estático; la solución de Schwarzschild no giratoria es un ejemplo estático.

Formalmente, un espacio-tiempo es estático si admite un campo vectorial de Killing global, que no desaparece, similar al tiempo y que es irrotacional , es decir , cuya distribución ortogonal es involutiva . (Tenga en cuenta que las hojas de la foliación asociada son necesariamente hipersuperficies espaciales ) . Por tanto, un espaciotiempo estático es un espaciotiempo estacionario que satisface esta condición de integrabilidad adicional. Estos espaciotiempos forman una de las clases más simples de variedades de Lorentz . ${\displaystyle K}$

Localmente, cada espacio-tiempo estático parece un espacio-tiempo estático estándar que es un producto deformado de Lorentz R S con una métrica de la forma ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle g[(t,x)]=-\beta (x)dt^{2}+g_{S}[x]}$,

donde R es la recta real, es una métrica (definida positiva) y es una función positiva en la variedad de Riemann S. ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle \beta }$

En tal representación de coordenadas locales, el campo Killing puede identificarse con y S , la variedad de trayectorias , puede considerarse como el espacio tridimensional instantáneo de observadores estacionarios. Si es el cuadrado de la norma del campo vectorial Killing, ambos y son independientes del tiempo (de hecho ). Es de este último hecho que un espacio-tiempo estático obtiene su nombre, ya que la geometría de la porción espacial S no cambia con el tiempo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =g(K,K)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle \lambda =-\beta (x)}$

Ejemplos de espacios-tiempos estáticos

• La solución (exterior) de Schwarzschild .
• Espacio De Sitter (la parte cubierta por el parche estático ).
• Espacio Reissner-Nordström .
• La solución de Weyl, una solución axisimétrica estática de las ecuaciones de campo de vacío de Einstein descubiertas por Hermann Weyl . ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$

Ejemplos de espaciotiempos no estáticos

En general, "casi todos" los espacio-tiempos no serán estáticos. Algunos ejemplos explícitos incluyen:

• Espaciotiempos esféricamente simétricos , que son irrotacionales, pero no estáticos.
• La solución de Kerr , dado que describe un agujero negro en rotación, es un espaciotiempo estacionario que no es estático.
• Los espacios-tiempos con ondas gravitacionales ni siquiera son estacionarios.

Referencias

• Hawking, suroeste; Ellis, GFR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Monografías de Cambridge sobre física matemática, vol. 1, Londres-Nueva York: Cambridge University Press, MR  0424186