Energía orbital específica

Parámetro en el problema gravitacional de dos cuerpos

En el problema gravitacional de dos cuerpos , la energía orbital específica (o energía vis-viva ) de dos cuerpos en órbita es la suma constante de su energía potencial mutua ( ) y su energía cinética total ( ), dividida por la masa reducida . ^[1] Según la ecuación de conservación de la energía orbital (también conocida como ecuación vis-viva), no varía con el tiempo: donde ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle v}$es la velocidad orbital relativa ;
• ${\displaystyle r}$es la distancia orbital entre los cuerpos;
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los cuerpos;
• ${\displaystyle h}$es el momento angular relativo específico en el sentido del momento angular relativo dividido por la masa reducida;
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad orbital ;
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor .

Se expresa típicamente en (mega julios por kilogramo) o (kilómetros cuadrados por segundo cuadrado). Para una órbita elíptica, la energía orbital específica es el negativo de la energía adicional requerida para acelerar una masa de un kilogramo hasta la velocidad de escape ( órbita parabólica ). Para una órbita hiperbólica , es igual al exceso de energía en comparación con la de una órbita parabólica. En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica . ${\displaystyle {\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}}$

Formas de ecuaciones para diferentes órbitas

Para una órbita elíptica , la ecuación de energía orbital específica, cuando se combina con la conservación del momento angular específico en uno de los ábsides de la órbita , se simplifica a: ^[2]

$${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$$dónde

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$es el parámetro gravitacional estándar ;
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor de la órbita.

Prueba

Para una órbita elíptica con momento angular específico h dado por usamos la forma general de la ecuación de energía orbital específica, con la relación de que la velocidad relativa en el periapsis es Por lo tanto nuestra ecuación de energía orbital específica se convierte en y finalmente con la última simplificación obtenemos: $${\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$$ $${\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}}$$ $${\displaystyle \varepsilon =-{\mu \over 2a}}$$

Para una órbita parabólica esta ecuación se simplifica a $${\displaystyle \varepsilon =0.}$$

Para una trayectoria hiperbólica, esta energía orbital específica viene dada por $${\displaystyle \varepsilon ={\mu \over 2a}.}$$

o lo mismo que para una elipse, dependiendo de la convención para el signo de a .

En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica (o ) y es igual al exceso de energía específica en comparación con la de una órbita parabólica. ${\displaystyle C_{3}}$

Está relacionada con el exceso de velocidad hiperbólica (la velocidad orbital en el infinito) por ${\displaystyle v_{\infty }}$ $${\displaystyle 2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$$

Es relevante para misiones interplanetarias.

Así, si se conocen el vector de posición orbital ( ) y el vector de velocidad orbital ( ) en una posición, y se conoce, entonces se puede calcular la energía y, a partir de ahí, para cualquier otra posición, la velocidad orbital. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mu }$

Tasa de cambio

Para una órbita elíptica, la tasa de cambio de la energía orbital específica con respecto a un cambio en el semieje mayor es donde $${\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$$

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$es el parámetro gravitacional estándar ;
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor de la órbita.

En el caso de órbitas circulares, esta tasa es la mitad de la gravitación en la órbita. Esto corresponde al hecho de que para tales órbitas la energía total es la mitad de la energía potencial, porque la energía cinética es menos la mitad de la energía potencial.

Energía adicional

Si el cuerpo central tiene un radio R , entonces la energía específica adicional de una órbita elíptica en comparación con estar estacionario en la superficie es

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$$

La cantidad es la altura que la elipse se extiende sobre la superficie, más la distancia del periapsis (la distancia que la elipse se extiende más allá del centro de la Tierra). Para la Tierra y un poco más que la energía específica adicional es ; que es la energía cinética del componente horizontal de la velocidad, es decir , . ${\displaystyle 2a-R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (gR/2)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$ ${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$

Ejemplos

Estación Espacial Internacional

La Estación Espacial Internacional tiene un período orbital de 91,74 minutos (5504  s), por lo que, según la Tercera Ley de Kepler, el semieje mayor de su órbita es de 6.738  km. ^{[ cita requerida ]}

La energía orbital específica asociada con esta órbita es de -29,6  MJ/kg: la energía potencial es de -59,2  MJ/kg y la energía cinética de 29,6  MJ/kg. Compárese con la energía potencial en la superficie, que es de -62,6  MJ/kg. La energía potencial adicional es de 3,4  MJ/kg, la energía adicional total es de 33,0  MJ/kg. La velocidad media es de 7,7  km/s, el delta-v neto para alcanzar esta órbita es de 8,1  km/s (el delta-v real suele ser de 1,5 a 2,0  km/s más para la resistencia atmosférica y la resistencia gravitacional ).

El aumento por metro sería de 4,4  J/kg; esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 8,8  m/s ² .

Para una altitud de 100  km (el radio es 6471  km):

La energía es de -30,8  MJ/kg: la energía potencial es de -61,6  MJ/kg y la energía cinética de 30,8  MJ/kg. Compárese con la energía potencial en la superficie, que es de -62,6  MJ/kg. La energía potencial adicional es de 1,0  MJ/kg, por lo que la energía adicional total es de 31,8  MJ/kg.

El incremento por metro sería de 4,8  J/kg; esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 9,5  m/ ^s2 . La velocidad es de 7,8  km/s, el delta-v neto para alcanzar esta órbita es de 8,0  km/s.

Teniendo en cuenta la rotación de la Tierra, el delta-v es hasta 0,46  km/s menos (comenzando en el ecuador y yendo hacia el este) o más (si yendo hacia el oeste).

Viajero 1

Para la Voyager 1 , con respecto al Sol:

• ${\displaystyle \mu =GM}$= 132.712.440.018 km ³ ⋅s ⁻² es el parámetro gravitacional estándar del Sol
• r = 17 mil millones de kilómetros
• v = 17,1 km/s

Por eso: $${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=\mathrm {146\,km^{2}s^{-2}} -\mathrm {8\,km^{2}s^{-2}} =\mathrm {138\,km^{2}s^{-2}} }$$

Por lo tanto, la velocidad excesiva hiperbólica (la velocidad orbital teórica en el infinito) viene dada por $${\displaystyle v_{\infty }=\mathrm {16.6\,km/s} }$$

Sin embargo, la Voyager 1 no tiene suficiente velocidad para abandonar la Vía Láctea . La velocidad calculada se aplica lejos del Sol, pero en una posición tal que la energía potencial con respecto a la Vía Láctea en su conjunto ha cambiado de manera insignificante, y solo si no hay una interacción fuerte con otros cuerpos celestes aparte del Sol.

Aplicando empuje

Asumir:

• a es la aceleración debida al empuje (la tasa de tiempo en la que se gasta delta-v )
• g es la intensidad del campo gravitacional
• v es la velocidad del cohete

Entonces, la tasa de cambio temporal de la energía específica del cohete es : una cantidad para la energía cinética y una cantidad para la energía potencial. ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$

El cambio de la energía específica del cohete por unidad de cambio de delta-v es que es | v | veces el coseno del ángulo entre v y a . $${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$$

Por lo tanto, cuando se aplica delta-v para aumentar la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección de v , y cuando | v | es grande. Si el ángulo entre v y g es obtuso, por ejemplo en un lanzamiento y en una transferencia a una órbita más alta, esto significa aplicar delta-v lo antes posible y a plena capacidad. Véase también arrastre de gravedad . Al pasar por un cuerpo celeste, significa aplicar empuje cuando está más cerca del cuerpo. Al hacer gradualmente más grande una órbita elíptica, significa aplicar empuje cada vez cuando está cerca del periapsis.

Al aplicar delta-v para disminuir la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección opuesta a la de v , y nuevamente cuando | v | es grande. Si el ángulo entre v y g es agudo, por ejemplo en un aterrizaje (en un cuerpo celeste sin atmósfera) y en una transferencia a una órbita circular alrededor de un cuerpo celeste al llegar desde el exterior, esto significa aplicar delta-v lo más tarde posible. Al pasar por un planeta significa aplicar empuje cuando está más cerca del planeta. Al hacer gradualmente más pequeña una órbita elíptica, significa aplicar empuje cada vez cuando está cerca del periapsis.

Si a está en la dirección de v : $${\displaystyle \Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$$

Velocidades tangenciales en altitud

El eje inferior da las velocidades orbitales de algunas órbitas.

Véase también

• Cambio de energía específica de los cohetes
• Energía característica C3 (el doble de la energía orbital específica)

Referencias

1. "Energía específica". Marspedia . Consultado el 12 de agosto de 2022 .
2. Wie, Bong (1998). "Orbital Dynamics" . Dinámica y control de vehículos espaciales . Serie educativa de la AIAA. Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica . p. 220. ISBN 1-56347-261-9.