Espaciotiempo esféricamente simétrico

En física , los espaciotiempos esféricamente simétricos se utilizan comúnmente para obtener soluciones analíticas y numéricas a las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de materia o energía en movimiento radial. Debido a que los espaciotiempos esféricamente simétricos son irrotacionales por definición, no son modelos realistas de agujeros negros en la naturaleza. Sin embargo, sus métricas son considerablemente más simples que las del espacio-tiempo en rotación, lo que las hace mucho más fáciles de analizar.

Los modelos esféricamente simétricos no son del todo inapropiados: muchos de ellos tienen diagramas de Penrose similares a los de los espacio-tiempos en rotación, y estos típicamente tienen características cualitativas (como los horizontes de Cauchy ) que no se ven afectadas por la rotación. Una de esas aplicaciones es el estudio de la inflación masiva debida a corrientes de materia que se mueven en sentido contrario y que caen en el interior de un agujero negro.

Definicion formal

Un espaciotiempo esféricamente simétrico es un espaciotiempo cuyo grupo de isometría contiene un subgrupo que es isomorfo al grupo de rotación SO (3) y las órbitas de este grupo son 2 esferas ( esferas bidimensionales ordinarias en un espacio euclidiano tridimensional ). Luego, las isometrías se interpretan como rotaciones y un espaciotiempo esféricamente simétrico a menudo se describe como uno cuya métrica es "invariante bajo rotaciones". La métrica del espacio-tiempo induce una métrica en cada órbita de 2 esferas (y esta métrica inducida debe ser un múltiplo de la métrica de una 2 esferas). Convencionalmente, la métrica de las 2 esferas se escribe en coordenadas polares como

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$,

y entonces la métrica completa incluye un término proporcional a esto.

La simetría esférica es un rasgo característico de muchas soluciones de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , especialmente la solución de Schwarzschild y la solución de Reissner-Nordström . Un espaciotiempo esféricamente simétrico se puede caracterizar de otra manera, a saber, utilizando la noción de eliminación de campos vectoriales , que, en un sentido muy preciso, preserva la métrica . Las isometrías mencionadas anteriormente son en realidad difeomorfismos de flujo locales que eliminan campos vectoriales y, por lo tanto, generan estos campos vectoriales. Para un espacio-tiempo esféricamente simétrico , hay precisamente 3 campos vectoriales rotacionales Killing. Dicho de otra manera, la dimensión del álgebra de Killing es 3; eso es, . En general, ninguno de ellos es temporal, ya que eso implicaría un espacio-tiempo estático . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K(M)}$ ${\displaystyle \dim K(M)=3}$

Se sabe (ver teorema de Birkhoff ) que cualquier solución esféricamente simétrica de las ecuaciones del campo de vacío es necesariamente isométrica a un subconjunto de la solución de Schwarzschild máximamente extendida . Esto significa que la región exterior alrededor de un objeto gravitante esféricamente simétrico debe ser estática y asintóticamente plana .

Métricas esféricamente simétricas

Convencionalmente, se utilizan coordenadas esféricas para escribir la métrica (el elemento lineal ). Son posibles varios gráficos de coordenadas ; éstas incluyen: ${\displaystyle x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$

• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas isotrópicas , en las que los conos de luz son redondos y, por tanto, útiles para estudiar polvos nulos .
• Coordenadas polares gaussianas , a veces utilizadas para estudiar fluidos perfectos estáticos y esféricamente simétricos.
• Radio circunferencial, que se indica a continuación, conveniente para estudiar la inflación masiva.

Métrica de radio circunferencial

Una métrica popular, ^[1] utilizada en el estudio de la inflación masiva, es

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

Aquí está la métrica estándar del radio unitario de 2 esferas . La coordenada radial se define de modo que sea el radio circunferencial, es decir, de modo que la circunferencia adecuada en el radio sea . En esta elección de coordenadas, el parámetro se define de modo que sea la tasa de cambio adecuada del radio circunferencial (es decir, dónde está el tiempo adecuado ). El parámetro puede interpretarse como la derivada radial del radio circunferencial en un marco en caída libre; esto se vuelve explícito en el formalismo de la tétrada . ${\displaystyle g(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$ ${\displaystyle \beta _{t}=dr/d\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \beta _{r}}$

Formalismo de tétrada ortonormal

Tenga en cuenta que la métrica anterior está escrita como una suma de cuadrados y, por lo tanto, puede entenderse que codifica explícitamente un vierbein y, en particular, una tétrada ortonormal . Es decir, el tensor métrico se puede escribir como un retroceso de la métrica de Minkowski : ${\displaystyle \eta _{ij}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}$

donde es el vierbein inverso. La convención aquí y en lo que sigue es que los índices romanos se refieren al marco de tétrada ortonormal plano, mientras que los índices griegos se refieren al marco de coordenadas. El vierbein inverso se puede leer directamente en la métrica anterior como ${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta }$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

donde se tomó la firma . Escrito como una matriz, el vierbein inverso es ${\displaystyle (-+++)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

El vierbein en sí es la inversa (-transpuesta) del vierbein inverso

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

Es decir, es la matriz identidad. ${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

La forma particularmente simple de lo anterior es un factor de motivación principal para trabajar con la métrica dada.

El vierbein relaciona los campos vectoriales en el marco de coordenadas con los campos vectoriales en el marco de la tétrada, como

${\displaystyle \partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}}$

Los más interesantes de estos dos son cuál es el tiempo propio en el marco de reposo y cuál es la derivada radial en el marco de reposo. Por construcción, como se señaló anteriormente, era la tasa adecuada de cambio del radio circunferencial; esto ahora se puede escribir explícitamente como ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$

${\displaystyle \beta _{t}=\partial _{t}r}$

De manera similar, uno tiene

${\displaystyle \beta _{r}=\partial _{r}r}$

que describe el gradiente (en el marco de la tétrada en caída libre) del radio circunferencial a lo largo de la dirección radial. Esto no es unidad general; compárese, por ejemplo, con la solución estándar de Swarschild o la solución de Reissner-Nordström. El signo de determina efectivamente "hacia dónde se baja"; el signo de distingue tramas entrantes y salientes, por lo que es una trama entrante y una trama saliente. ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{r}>0}$ ${\displaystyle \beta _{r}<0}$

Estas dos relaciones en el radio circunferencial proporcionan otra razón por la cual esta parametrización particular de la métrica es conveniente: tiene una caracterización intuitiva simple.

Formulario de conexión

La forma de conexión en el marco de la tétrada se puede escribir en términos de los símbolos de Christoffel en el marco de la tétrada, que están dados por ${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

y todos los demás cero.

ecuaciones de einstein

En Hamilton & Avelino se puede encontrar un conjunto completo de expresiones para el tensor de Riemann , el tensor de Einstein y el escalar de curvatura de Weyl . ^[1] Las ecuaciones de Einstein se convierten en

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf}$

donde está la derivada covariante del tiempo (y la conexión Levi-Civita ), la presión radial ( ¡no la presión isotrópica!) y el flujo de energía radial. La masa es la masa de Misner-Thorne o masa interior, dada por ${\displaystyle \nabla _{t}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M(r)}$

${\displaystyle {\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

Como estas ecuaciones son efectivamente bidimensionales, pueden resolverse sin dificultades abrumadoras para una variedad de suposiciones sobre la naturaleza del material que cae (es decir, para la suposición de un agujero negro esféricamente simétrico que está acumulando polvo, gas neutro o cargado). , plasma o materia oscura, de alta o baja temperatura, es decir, material con varias ecuaciones de estado ).

Ver también

• Espacio-tiempo estático
• Espacio-tiempo estacionario
• Simetrías del espacio-tiempo
• Espacio De Sitter

Referencias

1. Andrew JS Hamilton y Pedro P. Avelino, "La física de la inestabilidad relativista contracorriente que impulsa la inflación masiva dentro de los agujeros negros" (2008), arXiv :0811.1926

• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-87033-2. Consulte la Sección 6.1 para una discusión sobre la simetría esférica .