Semejanza (geometría)

Propiedad de los objetos que son versiones escaladas o reflejadas entre sí

Cifras similares

En la geometría euclidiana , dos objetos son similares si tienen la misma forma o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno puede obtenerse a partir del otro mediante un escalado uniforme (ampliación o reducción), posiblemente con traslación , rotación y reflexión adicionales . Esto significa que cualquiera de los objetos puede reescalarse, reposicionarse y reflejarse, de modo que coincida exactamente con el otro objeto. Si dos objetos son similares, cada uno es congruente con el resultado de un escalado uniforme particular del otro.

Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, todos los cuadrados son similares entre sí y todos los triángulos equiláteros son similares entre sí. Por otro lado, las elipses no son todas similares entre sí, los rectángulos no son todos similares entre sí y los triángulos isósceles no son todos similares entre sí. Esto se debe a que dos elipses pueden tener diferentes proporciones entre el ancho y la altura, dos rectángulos pueden tener diferentes proporciones entre el largo y el ancho y dos triángulos isósceles pueden tener diferentes ángulos en la base.

Las figuras que se muestran en el mismo color son similares.

Si dos ángulos de un triángulo tienen medidas iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Los lados correspondientes de polígonos semejantes están en proporción y los ángulos correspondientes de polígonos semejantes tienen la misma medida.

Dos formas congruentes son semejantes, con un factor de escala de 1. Sin embargo, algunos libros de texto escolares excluyen específicamente los triángulos congruentes de su definición de triángulos semejantes al insistir en que los tamaños deben ser diferentes para que los triángulos sean considerados semejantes. ^{[ cita requerida ]}

Triángulos semejantes

Dos triángulos, △ ABC y △ A'B'C' son semejantes si y solo si los ángulos correspondientes tienen la misma medida: esto implica que son semejantes si y solo si las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales . ^[1] Se puede demostrar que dos triángulos que tienen ángulos congruentes ( triángulos equiangulares ) son semejantes, es decir, se puede demostrar que los lados correspondientes son proporcionales. Esto se conoce como el teorema de semejanza AAA. ^[2] Nótese que "AAA" es una regla mnemotécnica: cada una de las tres A se refiere a un "ángulo". Debido a este teorema, varios autores simplifican la definición de triángulos semejantes para solo requerir que los tres ángulos correspondientes sean congruentes. ^[3]

Existen varios criterios, cada uno de los cuales es necesario y suficiente para que dos triángulos sean semejantes:

• Dos pares de ángulos cualesquiera son congruentes, ^[4] lo que en geometría euclidiana implica que los tres ángulos son congruentes: ^[a]

Si ∠ BAC es igual en medida a ∠ B'A'C', y ∠ ABC es igual en medida a ∠ A'B'C', entonces esto implica que ∠ ACB es igual en medida a ∠ A'C'B' y los triángulos son similares.

• Todos los lados correspondientes son proporcionales: ^[5]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

Esto equivale a decir que un triángulo (o su imagen especular) es una ampliación del otro.

• Cualquier par de lados son proporcionales y los ángulos incluidos entre estos lados son congruentes: ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

Esto se conoce como el criterio de similitud SAS. ^[7] El "SAS" es un mnemónico: cada una de las dos S se refiere a un "lado"; la A se refiere a un "ángulo" entre los dos lados.

Simbólicamente, escribimos la semejanza y desemejanza de dos triángulos △ ABC y △ A'B'C' de la siguiente manera: ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

Existen varios resultados elementales relativos a triángulos semejantes en la geometría euclidiana: ^[9]

• Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes.
• Dos triángulos, ambos semejantes a un tercer triángulo, son semejantes entre sí ( transitividad de semejanza de triángulos).
• Las alturas correspondientes de triángulos semejantes tienen la misma razón que los lados correspondientes.
• Dos triángulos rectángulos son semejantes si la hipotenusa y uno de los otros lados tienen longitudes en la misma proporción. ^[10] Hay varias condiciones equivalentes en este caso, como que los triángulos rectángulos tengan un ángulo agudo de la misma medida, o que las longitudes de los catetos (lados) estén en la misma proporción.

Dado un triángulo △ ABC y un segmento DE se puede, con una regla y un compás , hallar un punto F tal que △ ABC ~ △ DEF . La afirmación de que existe un punto F que satisface esta condición es el postulado de Wallis ^[11] y es lógicamente equivalente al postulado de las paralelas de Euclides . ^[12] En geometría hiperbólica (donde el postulado de Wallis es falso) los triángulos semejantes son congruentes.

En el tratamiento axiomático de la geometría euclidiana dado por George David Birkhoff (ver Axiomas de Birkhoff ) el criterio de similitud SAS dado anteriormente se utilizó para reemplazar tanto el postulado paralelo de Euclides como el axioma SAS, lo que permitió el acortamiento dramático de los axiomas de Hilbert . ^[7]

Los triángulos semejantes proporcionan la base para muchas demostraciones sintéticas (sin el uso de coordenadas) en geometría euclidiana. Entre los resultados elementales que pueden demostrarse de esta manera se encuentran: el teorema de la bisectriz del ángulo , el teorema de la media geométrica , el teorema de Ceva , el teorema de Menelao y el teorema de Pitágoras . Los triángulos semejantes también proporcionan las bases para la trigonometría de triángulos rectángulos . ^[13]

Otros polígonos similares

Rectángulos similares

El concepto de semejanza se extiende a los polígonos con más de tres lados. Dados dos polígonos cualesquiera similares, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (incluso si en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario para el otro) son proporcionales y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia son iguales en medida. Sin embargo, la proporcionalidad de los lados correspondientes no es por sí sola suficiente para demostrar la semejanza de los polígonos más allá de los triángulos (de lo contrario, por ejemplo, todos los rombos serían similares). Del mismo modo, la igualdad de todos los ángulos en la secuencia no es suficiente para garantizar la semejanza (de lo contrario, todos los rectángulos serían similares). Una condición suficiente para la semejanza de los polígonos es que los lados y las diagonales correspondientes sean proporcionales.

Para un número dado n , todos los n -gonos regulares son similares.

Curvas similares

Existen varios tipos de curvas que tienen la propiedad de que todos los ejemplos de ese tipo son similares entre sí. Entre ellos se incluyen:

• Líneas (dos líneas cualesquiera son congruentes )
• Segmentos de línea
• Círculos
• Parábolas ^[14]
• Hipérbolas de una excentricidad específica ^[15]
• Elipses de una excentricidad específica ^[15]
• Catenarias
• Gráficas de la función logaritmo para diferentes bases
• Gráficas de la función exponencial para diferentes bases
• Las espirales logarítmicas son autosimilares

En el espacio euclidiano

Una semejanza (también llamada transformación de semejanza o similitud ) de un espacio euclidiano es una biyección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo r , de modo que para cualesquiera dos puntos x e y tenemos

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

donde d ( x , y ) es la distancia euclidiana de x a y . ^[16] El escalar r tiene muchos nombres en la literatura, incluidos; la razón de similitud , el factor de estiramiento y el coeficiente de similitud . Cuando r = 1 , una similitud se llama isometría ( transformación rígida ). Dos conjuntos se llaman similares si uno es la imagen del otro bajo una similitud.

Como mapa , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$ una semejanza de razón r toma la forma

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$ es una matriz ortogonal n × n y ⁠ ⁠ es un vector de traslación. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$

Las semejanzas preservan planos, líneas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de línea. ^[17] Las semejanzas preservan ángulos pero no necesariamente preservan la orientación, las similitudes directas preservan la orientación y las similitudes opuestas la cambian. ^[18]

Las semejanzas del espacio euclidiano forman un grupo bajo la operación de composición llamado grupo de semejanzas S. ^[19] Las semejanzas directas forman un subgrupo normal de S y el grupo euclidiano E ( n ) de isometrías también forma un subgrupo normal. ^[20] El grupo de semejanzas S es en sí mismo un subgrupo del grupo afín , por lo que cada semejanza es una transformación afín .

Se puede considerar el plano euclidiano como el plano complejo , ^[b] es decir, como un espacio bidimensional sobre los números reales . Las transformaciones de similitud 2D se pueden expresar entonces en términos de aritmética compleja y se dan por

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$(similitudes directas), y
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$(similitudes opuestas),

donde a y b son números complejos, a ≠ 0 . Cuando | a |= 1 , estas semejanzas son isometrías.

Relación de área y relación de volumen

La teselación del triángulo grande muestra que es similar al triángulo pequeño con una relación de áreas de 5. La relación de similitud es Esto se puede utilizar para construir un mosaico infinito no periódico . ${\displaystyle {\tfrac {5}{h}}={\tfrac {h}{1}}={\sqrt {5}}.}$

La razón entre las áreas de figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado o el radio de un círculo se multiplica por tres, su área se multiplica por nueve, es decir, por tres al cuadrado). Las alturas de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes. Si un triángulo tiene un lado de longitud b y una altura dibujada a ese lado de longitud h , entonces un triángulo semejante con un lado correspondiente de longitud kb tendrá una altura dibujada a ese lado de longitud kh . El área del primer triángulo es mientras que el área del triángulo semejante será Las figuras semejantes que se pueden descomponer en triángulos semejantes tendrán áreas relacionadas de la misma manera. La relación también se aplica a las figuras que no son rectificables. ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$ $${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$

La relación entre los volúmenes de figuras semejantes es igual al cubo de la relación de las longitudes correspondientes de dichas figuras (por ejemplo, cuando la arista de un cubo o el radio de una esfera se multiplica por tres, su volumen se multiplica por 27, es decir, por tres al cubo).

La ley del cuadrado-cubo de Galileo se refiere a sólidos semejantes. Si la razón de semejanza (razón de lados correspondientes) entre los sólidos es k , entonces la razón de las áreas superficiales de los sólidos será k ² , mientras que la razón de los volúmenes será k ³ .

Similitud con un centro

Ejemplos de semejanzas directas que tienen cada una un centro .

Si una semejanza tiene exactamente un punto invariante : un punto que la semejanza mantiene inalterado, entonces este único punto se llama " centro " de la semejanza.

En la primera imagen, debajo del título, a la izquierda, una u otra semejanza reduce un polígono regular a uno concéntrico , cuyos vértices están cada uno en un lado del polígono anterior. Esta reducción rotacional se repite , por lo que el polígono inicial se extiende en un abismo de polígonos regulares. El centro de la semejanza es el centro común de los polígonos sucesivos. Un segmento rojo une un vértice del polígono inicial a su imagen bajo la semejanza, seguido por un segmento rojo que va a la siguiente imagen del vértice, y así sucesivamente para formar una espiral . En realidad, podemos ver más de tres semejanzas directas en esta primera imagen, porque todo polígono regular es invariante bajo ciertas semejanzas directas, más precisamente ciertas rotaciones cuyo centro es el centro del polígono, y una composición de semejanzas directas también es una semejanza directa. Por ejemplo, vemos la imagen del pentágono regular inicial bajo una homotecia de razón negativa –k , que es una semejanza de ±180° de ángulo y una razón positiva igual a k .

Debajo del título a la derecha, la segunda imagen muestra una semejanza descompuesta en una rotación y una homotecia. La semejanza y la rotación tienen el mismo ángulo de +135 grados módulo 360 grados . La semejanza y la homotecia tienen la misma razón de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$ inverso multiplicativo de la razón ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ( raíz cuadrada de 2 ) de la semejanza inversa . El punto S es el centro común de las tres transformaciones: rotación, homotecia y semejanza. Por ejemplo el punto W es la imagen de F bajo la rotación, y el punto T es la imagen de W bajo la homotecia, más brevemente nombrando R , H y D la rotación, homotecia y semejanza anteriores, con “ D " como "Directo". $${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$

Esta semejanza directa que transforma el triángulo △ EFA en el triángulo △ ATB se puede descomponer en una rotación y una homotecia de mismo centro S de varias maneras. Por ejemplo, D = R ○ H = H ○ R , estando representada la última descomposición solo en la imagen. Para obtener D también podemos componer en cualquier orden una rotación de ángulo de –45° y una homotecia de razón ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

Con " M " como "Espejo" y " I " como "Indirecto", si M es el reflejo respecto a la recta CW , entonces M ○ D = I es la semejanza indirecta que transforma el segmento BF como D en el segmento CT , pero transforma el punto E en B y el punto A en el propio A . El cuadrado ACBT es la imagen de ABEF bajo la semejanza I de razón ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$ El punto A es el centro de esta semejanza porque cualquier punto K al ser invariante bajo él cumple solo posible si AK = 0 , de lo contrario escrito A = K . ${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$

¿Cómo construir el centro S de semejanza directa D a partir del cuadrado ABEF , cómo encontrar el punto S centro de una rotación de ángulo de +135° que transforma el rayo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$ en rayo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$ ? Este es un problema de ángulo inscrito más una cuestión de orientación . El conjunto de puntos P tal que es un arco de círculo EA que une E y A , de los cuales los dos radios que conducen a E y A forman un ángulo central de 2(180° – 135°) = 2 × 45° = 90° . Este conjunto de puntos es el cuarto azul del círculo de centro F dentro del cuadrado ABEF . De la misma manera, el punto S es un miembro del cuarto azul del círculo de centro T dentro del cuadrado BCAT . Entonces el punto S es el punto de intersección de estos dos cuartos de círculo. ${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$

En espacios métricos generales

Triángulo de Sierpinski . Espacio cuya dimensión de autosimilitud es aproximadamente 1,58. (De la dimensión de Hausdorff ). ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}=\log _{2}3,}$

En un espacio métrico general ( X , d ) , una similitud exacta es una función f del espacio métrico X en sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo escalar positivo r , llamado factor de contracción de f , de modo que para cualesquiera dos puntos x e y tenemos

$${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y).}$$

Las versiones más débiles de similitud tendrían, por ejemplo, f como una función bi- Lipschitz y el escalar r como un límite.

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

Esta versión más débil se aplica cuando la métrica es una resistencia efectiva en un conjunto topológicamente autosimilar.

Un subconjunto autosimilar de un espacio métrico ( X , d ) es un conjunto K para el cual existe un conjunto finito de similitudes { f _s } _{s ∈ S} con factores de contracción 0 ≤ r _s < 1 tales que K es el único subconjunto compacto de X para el cual

Un conjunto autosimilar construido con dos similitudes: ${\displaystyle {\begin{aligned}z'&=0.1[(4+i)z+4]\\z'&=0.1[(4+7i)z^{*}+5-2i]\end{aligned}}}$

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

Estos conjuntos autosimilares tienen una medida autosimilar μ ^D con dimensión D dada por la fórmula

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

que a menudo (pero no siempre) es igual a la dimensión de Hausdorff y la dimensión de empaquetamiento del conjunto . Si las superposiciones entre las f _s ( K ) son "pequeñas", tenemos la siguiente fórmula simple para la medida:

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

Topología

En topología , un espacio métrico se puede construir definiendo una semejanza en lugar de una distancia . La semejanza es una función tal que su valor es mayor cuando dos puntos están más próximos (al contrario de la distancia, que es una medida de disimilitud : cuanto más próximos están los puntos, menor es la distancia).

La definición de similitud puede variar entre autores, dependiendo de qué propiedades se buscan. Las propiedades comunes básicas son:

1. Positivo definido:

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. Mayorado por la similitud de un elemento consigo mismo ( autosimilitud ):

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

Se pueden invocar más propiedades, como:

• Reflectividad : o ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$
• Finitud : ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

El valor superior a menudo se establece en 1 (creando una posibilidad para una interpretación probabilística de la similitud).

Tenga en cuenta que, en el sentido topológico utilizado aquí, una semejanza es un tipo de medida . Este uso no es el mismo que la transformación de semejanza de las secciones § En el espacio euclidiano y § En espacios métricos generales de este artículo.

Autosimilitud

La autosimilitud significa que un patrón es no trivialmente similar a sí mismo, por ejemplo, el conjunto {..., 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, ...} de números de la forma {2 ⁱ , 3·2 ⁱ } donde i abarca todos los números enteros. Cuando este conjunto se representa gráficamente en una escala logarítmica, tiene simetría traslacional unidimensional : sumar o restar el logaritmo de dos al logaritmo de uno de estos números produce el logaritmo de otro de estos números. En el conjunto de números dado, esto corresponde a una transformación de similitud en la que los números se multiplican o dividen por dos.

Psicología

La intuición de la noción de semejanza geométrica aparece ya en los niños humanos, como se puede ver en sus dibujos. ^[21]

Véase también

• Congruencia (geometría)
• Similitud espiral
• Distancia de Hamming (similitud de secuencia o cadena)
• Transformación de Helmert
• Geometría inversa
• Índice de Jaccard
• Proporcionalidad
• Teorema básico de proporcionalidad
• Similitud semántica
• Búsqueda de similitud
• Similitud (filosofía)
• Espacio de similitud en la taxonomía numérica
• Homeoide (capa de elipsoides concéntricos y similares)
• Solución de triángulos

Notas

1. Sibley 1998, pág. 35.
2. Stahl 2003, p. 127. Esto también se demuestra en los Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 4.
3. Por ejemplo, Venema 2006, p. 122 y Henderson y Taimiņa 2005, p. 123.
4. Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 4.
5. Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 5.
6. Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 6.
7. Venema 2006, pág. 143.
8. Posamentier, Alfred S. ; Lehmann, Ingmar (2012). Los secretos de los triángulos . Prometheus Books. pág. 22.
9. Jacobs 1974, págs. 384–393.
10. Hadamard, Jacques (2008). Lecciones de geometría, vol. I: Geometría plana. American Mathematical Society. Teorema 120, pág. 125. ISBN 978-0-8218-4367-3.
11. Nombrado en honor a John Wallis (1616-1703)
12. Venema 2006, pág. 122.
13. Venema 2006, pág. 145.
14. una prueba de academia.edu
15. La forma de una elipse o hipérbola depende únicamente de la relación b/a
16. Smart 1998, pág. 92.
17. Yale 1968, pág. 47 Teorema 2.1.
18. Pedoe 1988, págs. 179-181.
19. Yale 1968, pág. 46.
20. Pedoe 1988, pág. 182.
21. Cox, Dana Christine (2008). Entender la similitud: vincular los contextos geométricos y numéricos para el razonamiento proporcional (Ph.D.). Kalamazoo, Michigan: Western Michigan University. ISBN 978-0-549-75657-6.S2CID61331653  .​

1. Esta afirmación no es cierta en la geometría no euclidiana , donde la suma de los ángulos del triángulo no es 180 grados.
2. Este término tradicional, como se explica en su artículo, es un nombre inapropiado. En realidad, se trata de una línea compleja unidimensional.

Referencias

• Henderson, David W. ; Taimiņa, Daina (2005). Experimentando la geometría/euclidiana y no euclidiana con la historia (3.ª ed.). Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143748-7.
• Jacobs, Harold R. (1974). Geometría . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0456-0.
• Pedoe, Dan (1988) [1970]. Geometría/Un curso completo . Dover. ISBN 0-486-65812-0.
• Sibley, Thomas Q. (1998). El punto de vista geométrico/Un estudio de las geometrías . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-87450-1.
• Smart, James R. (1998). Geometrías modernas (5.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.
• Stahl, Saul (2003). Geometría/De Euclides a los nudos . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-032927-1.
• Venema, Gerard A. (2006). Fundamentos de geometría . Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143700-5.
• Yale, Paul B. (1968). Geometría y simetría . Holden-Day.

Lectura adicional

• Cederberg, Judith N. (2001) [1989]. "Capítulo 3.12: Transformaciones de semejanza". Un curso de geometrías modernas . Springer. págs. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
• Coxeter, HSM (1969) [1961]. "§5 Semejanza en el plano euclidiano". pp. 67–76. "§7 Isometría y semejanza en el espacio euclidiano". pp. 96–104. Introducción a la geometría . John Wiley & Sons .
• Ewald, Günter (1971). Geometría: una introducción . Wadsworth Publishing . Págs. 106, 181.
• Martin, George E. (1982). "Capítulo 13: Semejanzas en el plano". Geometría de transformación: una introducción a la simetría . Springer. págs. 136–146. ISBN 0-387-90636-3.

Enlaces externos

• Demostración animada de triángulos semejantes
• Teorema fundamental de semejanza: un esbozo ilustrativo de geometría dinámica