Función logística

Curva en forma de S

Una función logística o curva logística es una curva común en forma de S ( curva sigmoidea ) con la ecuación

${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$

dónde

${\displaystyle L}$es la capacidad de carga , el supremo de los valores de la función;

${\displaystyle k}$es la tasa de crecimiento logístico, la pendiente de la curva; y

${\displaystyle x_{0}}$es el valor del punto medio de la función. ^[1] ${\displaystyle x}$

La función logística tiene como dominio los números reales , el límite como es 0, y el límite como es . ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle L}$

Función logística estándar donde . ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

La función logística estándar , representada a la derecha, donde , tiene la ecuación ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

y a veces simplemente se le llama sigmoide . ^[2] También se le llama a veces expit , siendo la función inversa del logit . ^{[3] [4]}

La función logística se aplica en diversos campos, como la biología (especialmente la ecología ), la biomatemática , la química , la demografía , la economía , la geociencia , la psicología matemática , la probabilidad , la sociología , la ciencia política , la lingüística , la estadística y las redes neuronales artificiales . Existen varias generalizaciones, según el campo.

Historia

Imagen original de una curva logística, en contraste con lo que Verhulst llamó una "curva logarítmica" (en términos modernos, "curva exponencial")

La función logística fue introducida en una serie de tres artículos por Pierre François Verhulst entre 1838 y 1847, quien la ideó como un modelo de crecimiento poblacional ajustando el modelo de crecimiento exponencial , bajo la guía de Adolphe Quetelet . ^[5] Verhulst ideó por primera vez la función a mediados de la década de 1830, publicando una breve nota en 1838, ^[1] luego presentó un análisis ampliado y nombró la función en 1844 (publicado en 1845); ^{[a] [6]} el tercer artículo ajustó el término de corrección en su modelo de crecimiento poblacional belga. ^[7]

La etapa inicial del crecimiento es aproximadamente exponencial (geométrica); luego, cuando comienza la saturación, el crecimiento se desacelera a lineal (aritmético) y en la madurez, el crecimiento se aproxima al límite con una brecha que decrece exponencialmente, como la etapa inicial pero a la inversa.

Verhulst no explicó la elección del término "logístico" (en francés: logistique ), pero presumiblemente es en contraste con la curva logarítmica , ^{[8] [b]} y por analogía con la aritmética y la geométrica. Su modelo de crecimiento está precedido por una discusión del crecimiento aritmético y el crecimiento geométrico (cuya curva él llama curva logarítmica , en lugar del término moderno curva exponencial ), y por lo tanto, "crecimiento logístico" se nombra presumiblemente por analogía, siendo logístico del griego antiguo : λογῐστῐκός , romanizado :  logistikós , una división tradicional de las matemáticas griegas . ^[c]

Como palabra derivada de términos matemáticos griegos antiguos, ^[9] el nombre de esta función no está relacionado con el término militar y de gestión logística , que en cambio proviene del francés : logis "alojamiento", ^[10] aunque algunos creen que el término griego también influyó en la logística ; ^[9] consulte Logística § Origen para más detalles.

Propiedades matemáticas

ElLa función logística estándar es la función logística con parámetros,,, que produce ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle L=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {e^{x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}}.}$$

En la práctica, debido a la naturaleza de la función exponencial , a menudo es suficiente calcular la función logística estándar para un rango pequeño de números reales, como un rango contenido en [−6, +6], ya que converge rápidamente muy cerca de sus valores de saturación de 0 y 1. ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$

Simetrías

La función logística tiene la propiedad de simetría de que

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

Esto refleja que el crecimiento desde 0 cuando es pequeño es simétrico con la disminución de la brecha hasta el límite (1) cuando es grande. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Además, es una función impar . ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$

La suma de la función logística y su reflexión sobre el eje vertical, , es ${\displaystyle f(-x)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

La función logística es entonces rotacionalmente simétrica respecto del punto (0, 1/2). ^[11]

Función inversa

La función logística es la inversa de la función logit natural.

${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1}$

y así convierte el logaritmo de probabilidades en una probabilidad . La conversión del cociente de verosimilitud logarítmica de dos alternativas también toma la forma de una curva logística.

Tangente hiperbólica

La función logística es una función tangente hiperbólica desplazada y escalada : o $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$ $${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

Esto se desprende de $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

La relación hiperbólica-tangente conduce a otra forma para la derivada de la función logística:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

que vincula la función logística con la distribución logística .

Geométricamente, la función tangente hiperbólica es el ángulo hiperbólico sobre la hipérbola unitaria , que se factoriza como , y por lo tanto tiene asíntotas las rectas que pasan por el origen con pendiente ⁠ ⁠ y con pendiente ⁠ ⁠ , y vértice en ⁠ ⁠ correspondientes al rango y punto medio ( ⁠ ⁠ ) de tanh. Análogamente, la función logística puede verse como el ángulo hiperbólico sobre la hipérbola , que se factoriza como , y por lo tanto tiene asíntotas las rectas que pasan por el origen con pendiente ⁠ ⁠ y con pendiente ⁠ ⁠ , y vértice en ⁠ ⁠ , correspondientes al rango y punto medio ( ⁠ ⁠ ) de la función logística. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle (x+y)(x-y)=1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {1}}$ ${\displaystyle xy-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y(x-y)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle 1/2}$

Paramétricamente, el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico dan coordenadas en la hipérbola unitaria: ^[d] , con cociente la tangente hiperbólica. De manera similar, parametriza la hipérbola , con cociente la función logística. Estas corresponden a transformaciones lineales (y reescalando la parametrización) de la hipérbola , con parametrización : la parametrización de la hipérbola para la función logística corresponde a y la transformación lineal , mientras que la parametrización de la hipérbola unitaria (para la tangente hiperbólica) corresponde a la transformación lineal . ${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$ ${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$ ${\displaystyle xy-y^{2}=1}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$ ${\displaystyle t/2}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$

Derivado

La función logística y sus 3 primeras derivadas

La función logística estándar tiene una derivada que se calcula fácilmente . La derivada se conoce como densidad de la distribución logística :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$de la cual se pueden derivar algebraicamente todas las derivadas superiores. Por ejemplo, . ${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$

La distribución logística es una familia de ubicación-escala , que corresponde a los parámetros de la función logística. Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle L=1}$ es fijo, entonces el punto medio ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{0}}$ es la ubicación y la pendiente ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ es la escala.

Integral

Por el contrario, su antiderivada se puede calcular mediante la sustitución , ya que ${\displaystyle u=1+e^{x}}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

Entonces (eliminando la constante de integración )

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

En redes neuronales artificiales , esto se conoce como función softplus y (con escala) es una aproximación suave de la función de rampa , al igual que la función logística (con escala) es una aproximación suave de la función de escalón de Heaviside .

Ecuación diferencial logística

La única función logística estándar es la solución de la simple ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

con condición de contorno . Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico . Nótese que la función logística recíproca es la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal simple de primer orden . ^[12] ${\displaystyle f(0)=1/2}$

El comportamiento cualitativo se entiende fácilmente en términos de la línea de fase : la derivada es 0 cuando la función es 1; y la derivada es positiva para valores entre 0 y 1, y negativa para valores superiores a 1 o inferiores a 0 (aunque las poblaciones negativas no suelen concordar con un modelo físico). Esto produce un equilibrio inestable en 0 y un equilibrio estable en 1, y por lo tanto, para cualquier valor de la función mayor que 0 y menor que 1, crece hasta 1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La ecuación logística es un caso especial de la ecuación diferencial de Bernoulli y tiene la siguiente solución:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

La elección de la constante de integración da la otra forma bien conocida de la definición de la curva logística: ${\displaystyle C=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

De manera más cuantitativa, como se puede ver en la solución analítica, la curva logística muestra un crecimiento exponencial temprano para un argumento negativo, que llega a un crecimiento lineal con una pendiente de 1/4 para un argumento cercano a 0, para luego aproximarse a 1 con una brecha que decrece exponencialmente.

La ecuación diferencial derivada anteriormente es un caso especial de una ecuación diferencial general que solo modela la función sigmoidea para . En muchas aplicaciones de modelado, puede ser deseable la forma más general ^[13] . Su solución es la sigmoidea desplazada y escalada . ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}}$$ ${\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big )}}$

Interpretación probabilística

Cuando la capacidad , el valor de la función logística está en el rango ⁠ ⁠ y puede interpretarse como una probabilidad p . ^[e] En más detalle, p puede interpretarse como la probabilidad de una de dos alternativas (el parámetro de una distribución de Bernoulli ); ^[f] las dos alternativas son complementarias, por lo que la probabilidad de la otra alternativa es y . Las dos alternativas se codifican como 1 y 0, que corresponden a los valores límite como . ${\displaystyle L=1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle q=1-p}$ ${\displaystyle p+q=1}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$

En esta interpretación, la entrada x es el logaritmo de las probabilidades para la primera alternativa (en relación con la otra alternativa), medido en "unidades logísticas" (o logits ), ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{x}}$ es la probabilidad para el primer evento (en relación con el segundo) y, recordando que dadas las probabilidades de a favor ( ⁠ ⁠ en contra de 1 ), la probabilidad es la razón de a favor sobre (a favor más en contra), , vemos que es la probabilidad de la primera alternativa. Por el contrario, x es el logaritmo de las probabilidades en contra de la segunda alternativa, ⁠ ⁠ es el logaritmo de las probabilidades para la segunda alternativa, es la probabilidad para la segunda alternativa y es la probabilidad de la segunda alternativa. ${\displaystyle O=O:1}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O/(O+1)}$ ${\displaystyle e^{x}/(e^{x}+1)=1/(1+e^{-x})=p}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle e^{-x}/(e^{-x}+1)=1/(1+e^{x})=q}$

Esto se puede enmarcar de manera más simétrica en términos de dos entradas, ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{0}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1}}$ , que luego se generaliza naturalmente a más de dos alternativas. Dadas dos entradas de números reales, ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{0}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1}}$ , interpretadas como logits, su diferencia es el logaritmo de las probabilidades para la opción 1 (el logaritmo de las probabilidades en contra de la opción 0), es las probabilidades, es la probabilidad de la opción 1 y, de manera similar, es la probabilidad de la opción 0. ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$ ${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}}$ ${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}/(e^{x_{1}-x_{0}}+1)=1/\left(1+e^{-(x_{1}-x_{0})}\right)=e^{x_{1}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$ ${\displaystyle e^{x_{0}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$

Esta forma se generaliza inmediatamente a más alternativas como la función softmax , que es una función con valores vectoriales cuya coordenada i -ésima es . ${\textstyle e^{x_{i}}/\sum _{i=0}^{n}e^{x_{i}}}$

Más sutilmente, la forma simétrica enfatiza la interpretación de la entrada x como y por lo tanto relativa a algún punto de referencia, implícitamente a . En particular, la función softmax es invariante bajo la adición de una constante a todos los logits , lo que corresponde a que la diferencia sea el log-odds para la opción j contra la opción i , pero los logits individuales no sean log-odds por sí mismos. A menudo, una de las opciones se utiliza como referencia ("pivote"), y su valor se fija como 0 , por lo que los otros logits se interpretan como probabilidades contra esta referencia. Esto generalmente se hace con la primera alternativa, de ahí la elección de numeración: , y luego es el log-odds para la opción i contra la opción 0 . Dado que , esto produce el término en muchas expresiones para la función logística y generalizaciones. ^[g] ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i}-x_{0}}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$ ${\displaystyle +1}$

Generalizaciones

En el modelado del crecimiento, existen numerosas generalizaciones, entre ellas la curva logística generalizada , la función de Gompertz , la función de distribución acumulativa de la distribución de Gompertz desplazada y la función hiperbolástica de tipo I.

En estadística, donde la función logística se interpreta como la probabilidad de una de dos alternativas, la generalización a tres o más alternativas es la función softmax , que tiene valores vectoriales, ya que da la probabilidad de cada alternativa.

Aplicaciones

En ecología: modelización del crecimiento poblacional

Pierre-François Verhulst (1804–1849)

Una aplicación típica de la ecuación logística es un modelo común de crecimiento de la población (véase también dinámica de la población ), originalmente debido a Pierre-François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles, siendo todo lo demás igual. La ecuación de Verhulst fue publicada después de que Verhulst hubiera leído el Ensayo sobre el principio de población de Thomas Malthus , que describe el modelo de crecimiento maltusiano de crecimiento exponencial simple (sin restricciones). Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica . La ecuación fue redescubierta en 1911 por AG McKendrick para el crecimiento de bacterias en caldo y probada experimentalmente utilizando una técnica para la estimación de parámetros no lineales. ^[14] La ecuación también se denomina a veces ecuación de Verhulst-Pearl tras su redescubrimiento en 1920 por Raymond Pearl (1879-1940) y Lowell Reed (1888-1966) de la Universidad Johns Hopkins . ^[15] Otro científico, Alfred J. Lotka, derivó la ecuación nuevamente en 1925, llamándola ley de crecimiento de la población .

Si representamos el tamaño de la población ( que se suele utilizar en ecología) y el tiempo, este modelo se formaliza mediante la ecuación diferencial : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

donde la constante define la tasa de crecimiento y es la capacidad de carga . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$

En la ecuación, la tasa de crecimiento inicial sin obstáculos se modela mediante el primer término . El valor de la tasa representa el aumento proporcional de la población en una unidad de tiempo. Más tarde, a medida que la población crece, el módulo del segundo término (que multiplicado por ) se vuelve casi tan grande como el primero, ya que algunos miembros de la población interfieren entre sí al competir por algún recurso crítico, como alimento o espacio vital. Este efecto antagónico se llama cuello de botella y se modela mediante el valor del parámetro . La competencia disminuye la tasa de crecimiento combinada, hasta que el valor de deja de crecer (esto se llama madurez de la población). La solución de la ecuación (con siendo la población inicial) es ${\displaystyle +rP}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -rP^{2}/K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

donde es el valor límite de , el valor más alto que la población puede alcanzar dado un tiempo infinito (o acercarse a alcanzar en un tiempo finito). La capacidad de carga se alcanza asintóticamente independientemente del valor inicial , y también en el caso de que . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(0)>K}$

En ecología, a las especies se las denomina a veces -estrategas o -estrategas, según los procesos selectivos que han dado forma a sus estrategias de historia de vida . Al elegir las dimensiones de la variable de modo que mida la población en unidades de capacidad de carga y mida el tiempo en unidades de , se obtiene la ecuación diferencial adimensional ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

Integral

La antiderivada de la forma ecológica de la función logística se puede calcular mediante la sustitución , ya que ${\displaystyle u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}$ ${\displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

$${\displaystyle \int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C}$$

Capacidad de carga variable en el tiempo

Dado que las condiciones ambientales influyen en la capacidad de carga, como consecuencia, esta puede variar en el tiempo, con , lo que conduce al siguiente modelo matemático: ${\displaystyle K(t)>0}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$$

Un caso particularmente importante es el de la capacidad de carga que varía periódicamente con el período : ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$$

Se puede demostrar ^[16] que en tal caso, independientemente del valor inicial , tenderá a una solución periódica única , cuyo período es . ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P_{*}(t)}$ ${\displaystyle T}$

Un valor típico es un año: en tal caso puede reflejar variaciones periódicas de las condiciones climáticas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(t)}$

Otra generalización interesante es considerar que la capacidad de carga es una función de la población en un momento anterior, que captura un retraso en la forma en que la población modifica su entorno. Esto conduce a una ecuación de retraso logístico ^[17] , que tiene un comportamiento muy rico, con biestabilidad en algún rango de parámetros, así como una decadencia monótona a cero, crecimiento exponencial suave, crecimiento ilimitado puntuado (es decir, múltiples formas de S), crecimiento puntuado o alternancia a un nivel estacionario, aproximación oscilatoria a un nivel estacionario, oscilaciones sostenibles, singularidades de tiempo finito, así como muerte de tiempo finito. ${\displaystyle K(t)}$

En estadística y aprendizaje automático

Las funciones logísticas se utilizan en diversas funciones de la estadística. Por ejemplo, son la función de distribución acumulativa de la familia logística de distribuciones y, de forma un poco simplificada, se utilizan para modelar la probabilidad que tiene un jugador de ajedrez de vencer a su oponente en el sistema de clasificación Elo . A continuación se presentan ejemplos más específicos.

Regresión logística

Las funciones logísticas se utilizan en la regresión logística para modelar cómo la probabilidad de un evento puede verse afectada por una o más variables explicativas : un ejemplo sería tener el modelo ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=f(a+bx),}$$

donde es la variable explicativa, y son los parámetros del modelo que se van a ajustar, y es la función logística estándar. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$

La regresión logística y otros modelos log-lineales también se utilizan habitualmente en el aprendizaje automático . Una generalización de la función logística a múltiples entradas es la función de activación softmax , que se utiliza en la regresión logística multinomial .

Otra aplicación de la función logística se encuentra en el modelo de Rasch , utilizado en la teoría de respuesta a ítems . En particular, el modelo de Rasch constituye una base para la estimación de máxima verosimilitud de las ubicaciones de objetos o personas en un continuo , basándose en conjuntos de datos categóricos , por ejemplo, las capacidades de las personas en un continuo basadas en respuestas que se han categorizado como correctas e incorrectas.

Redes neuronales

Las funciones logísticas se utilizan a menudo en redes neuronales artificiales para introducir no linealidad en el modelo o para limitar las señales a un intervalo específico . Un elemento popular de red neuronal calcula una combinación lineal de sus señales de entrada y aplica una función logística acotada como función de activación al resultado; este modelo puede considerarse una variante "suavizada" de la neurona umbral clásica .

Una opción común para las funciones de activación o "aplastamiento", utilizadas para recortar magnitudes grandes para mantener limitada la respuesta de la red neuronal, ^[18] es

$${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$$

que es una función logística.

Estas relaciones dan como resultado implementaciones simplificadas de redes neuronales artificiales con neuronas artificiales . Los profesionales advierten que las funciones sigmoideas que son antisimétricas respecto del origen (por ejemplo, la tangente hiperbólica ) conducen a una convergencia más rápida cuando se entrenan redes con retropropagación . ^[19]

La función logística es en sí misma la derivada de otra función de activación propuesta, la softplus .

En medicina: modelado del crecimiento de tumores

Otra aplicación de la curva logística es en medicina, donde la ecuación diferencial logística se utiliza para modelar el crecimiento de tumores. Esta aplicación puede considerarse una extensión del uso mencionado anteriormente en el marco de la ecología (véase también la curva logística generalizada , que permite más parámetros). Denotando con el tamaño del tumor en el momento , su dinámica está gobernada por ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

que es del tipo

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

¿Dónde está la tasa de proliferación del tumor? ${\displaystyle F(X)}$

Si se inicia una quimioterapia con un efecto log-kill, la ecuación puede revisarse para que sea

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

donde es la tasa de muerte inducida por la terapia. En el caso idealizado de una terapia muy prolongada, se puede modelar como una función periódica (de período ) o (en el caso de una terapia de infusión continua) como una función constante, y se tiene que ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

Es decir, si la tasa de mortalidad media inducida por la terapia es mayor que la tasa de proliferación de referencia, entonces se produce la erradicación de la enfermedad. Por supuesto, se trata de un modelo demasiado simplificado tanto del crecimiento como de la terapia (es decir, no tiene en cuenta el fenómeno de la resistencia clonal).

En medicina: modelización de una pandemia

Un nuevo patógeno infeccioso al que una población no tiene inmunidad generalmente se propagará exponencialmente en las primeras etapas, mientras que el suministro de individuos susceptibles sea abundante. El virus SARS-CoV-2 que causa COVID-19 exhibió un crecimiento exponencial al comienzo de la infección en varios países a principios de 2020. ^[20] Factores como la falta de huéspedes susceptibles (a través de la propagación continua de la infección hasta que pasa el umbral de inmunidad colectiva ) o la reducción en la accesibilidad de huéspedes potenciales a través de medidas de distanciamiento físico, pueden dar lugar a curvas epidémicas de aspecto exponencial que primero se linealizan (replicando la transición "logarítmica" a "logística" observada por primera vez por Pierre-François Verhulst , como se señaló anteriormente) y luego alcanzan un límite máximo. ^[21]

Una función logística, o funciones relacionadas (por ejemplo, la función de Gompertz ), se utilizan generalmente de manera descriptiva o fenomenológica porque se ajustan bien no solo al aumento exponencial inicial, sino también a la estabilización final de la pandemia a medida que la población desarrolla una inmunidad colectiva. Esto contrasta con los modelos reales de pandemias que intentan formular una descripción basada en la dinámica de la pandemia (por ejemplo, tasas de contacto, tiempos de incubación, distanciamiento social, etc.). Sin embargo, se han desarrollado algunos modelos simples que arrojan una solución logística. ^{[22] [23] [24]}

Modelado de casos tempranos de COVID-19

Función logística generalizada (curva de crecimiento de Richards) en la modelización epidemiológica

Se ha aplicado una función logística generalizada , también llamada curva de crecimiento de Richards, para modelar la fase temprana del brote de COVID-19 . ^[25] Los autores ajustan la función logística generalizada al número acumulado de casos infectados, aquí denominado trayectoria de infección . Existen diferentes parametrizaciones de la función logística generalizada en la literatura. Una forma utilizada con frecuencia es

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}$$

donde son números reales y es un número real positivo. La flexibilidad de la curva se debe al parámetro : (i) si entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) cuando se acerca a cero, la curva converge a la función de Gompertz . En el modelado epidemiológico, , y representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de retraso, respectivamente. Consulte el panel derecho para ver un ejemplo de trayectoria de infección cuando se establece en . ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$ ${\displaystyle (10000,0.2,40)}$

Trayectorias de infección extrapoladas de 40 países gravemente afectados por COVID-19 y promedio general (poblacional) hasta el 14 de mayo

Una de las ventajas de utilizar una función de crecimiento como la función logística generalizada en el modelado epidemiológico es su aplicación relativamente fácil al marco del modelo multinivel , donde se puede agrupar información de diferentes regiones geográficas.

En química: modelos de reacción

La concentración de reactivos y productos en las reacciones autocatalíticas sigue la función logística. La degradación del catalizador de la reacción de reducción de oxígeno (ORR) libre de metales del grupo del platino (PGM) en los cátodos de las celdas de combustible sigue la función de desintegración logística, ^[26] lo que sugiere un mecanismo de degradación autocatalítica.

En física: distribución de Fermi-Dirac

La función logística determina la distribución estadística de los fermiones a lo largo de los estados energéticos de un sistema en equilibrio térmico. En particular, es la distribución de las probabilidades de que cada nivel de energía posible esté ocupado por un fermión, según la estadística de Fermi-Dirac .

En óptica: espejismo

La función logística también encuentra aplicaciones en óptica, particularmente en el modelado de fenómenos como los espejismos . En ciertas condiciones, como la presencia de un gradiente de temperatura o concentración debido a la difusión y el equilibrio con la gravedad, pueden surgir comportamientos de curvas logísticas. ^{[27] [28]}

Un espejismo, resultante de un gradiente de temperatura que modifica el índice de refracción relacionado con la densidad/concentración del material a lo largo de la distancia, se puede modelar utilizando un fluido con un gradiente de índice de refracción debido al gradiente de concentración. Este mecanismo se puede equiparar a un modelo de crecimiento de población limitante, donde la región concentrada intenta difundirse hacia la región de menor concentración, mientras busca el equilibrio con la gravedad, produciendo así una curva de función logística. ^[27]

En ciencia de los materiales: Diagramas de fases

Véase Enlace por difusión .

En lingüística: cambio de lengua

En lingüística, la función logística puede utilizarse para modelar el cambio lingüístico : ^[29] una innovación que al principio es marginal comienza a difundirse más rápidamente con el tiempo, y luego más lentamente a medida que se adopta de manera más universal.

En agricultura: modelización de la respuesta de los cultivos

La curva S logística se puede utilizar para modelar la respuesta del cultivo a los cambios en los factores de crecimiento. Existen dos tipos de funciones de respuesta: curvas de crecimiento positivas y negativas . Por ejemplo, el rendimiento del cultivo puede aumentar con el aumento del valor del factor de crecimiento hasta un cierto nivel (función positiva), o puede disminuir con el aumento de los valores del factor de crecimiento (función negativa debido a un factor de crecimiento negativo), situación que requiere una curva S invertida .

En economía y sociología: difusión de innovaciones

La función logística se puede utilizar para ilustrar el progreso de la difusión de una innovación a través de su ciclo de vida.

En Las leyes de la imitación (1890), Gabriel Tarde describe el surgimiento y la difusión de nuevas ideas a través de cadenas imitativas. En particular, Tarde identifica tres etapas principales a través de las cuales se difunden las innovaciones: la primera corresponde a los inicios difíciles, durante los cuales la idea tiene que luchar dentro de un ambiente hostil lleno de hábitos y creencias opuestas; la segunda corresponde al despegue propiamente exponencial de la idea, con ; finalmente, la tercera etapa es logarítmica, con , y corresponde al momento en que el impulso de la idea se desacelera gradualmente mientras, simultáneamente, aparecen nuevas ideas oponentes. La situación resultante detiene o estabiliza el progreso de la innovación, que se acerca a una asíntota. ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$

En un Estado soberano , las unidades subnacionales (estados constituyentes o ciudades) pueden recurrir a préstamos para financiar sus proyectos. Sin embargo, esta fuente de financiación suele estar sujeta a estrictas normas jurídicas, así como a restricciones económicas de escasez , especialmente en lo que respecta a los recursos que los bancos pueden prestar (debido a sus límites de capital o de Basilea ). Estas restricciones, que representan un nivel de saturación, junto con una carrera exponencial en una competencia económica por el dinero, crean una difusión de las solicitudes de crédito por parte de las finanzas públicas y la respuesta nacional agregada es una curva sigmoidea . ^[32]

Históricamente, cuando se introducen nuevos productos, se produce una intensa cantidad de investigación y desarrollo que conduce a mejoras espectaculares en la calidad y a reducciones de costes. Esto conduce a un período de rápido crecimiento de la industria. Algunos de los ejemplos más famosos son: los ferrocarriles, las bombillas incandescentes, la electrificación , los automóviles y los viajes aéreos. Con el tiempo, se agotan las oportunidades de mejora espectacular y reducción de costes, el producto o proceso se utiliza ampliamente y quedan pocos nuevos clientes potenciales, y los mercados se saturan.

El análisis logístico fue utilizado en artículos por varios investigadores del Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados ( IIASA ). Estos artículos tratan sobre la difusión de diversas innovaciones, infraestructuras y sustituciones de fuentes de energía y el papel del trabajo en la economía, así como sobre el ciclo económico largo. Robert Ayres investigó los ciclos económicos largos (1989). ^[33] Cesare Marchetti publicó sobre ciclos económicos largos y sobre la difusión de innovaciones. ^{[34] [35]} El libro de Arnulf Grübler (1990) da una descripción detallada de la difusión de infraestructuras, incluidos canales, ferrocarriles, autopistas y aerolíneas, mostrando que su difusión siguió curvas con forma logística. ^[36]

Carlota Pérez utilizó una curva logística para ilustrar el ciclo económico largo ( Kondratiev ) con las siguientes etiquetas: el inicio de una era tecnológica como irrupción , el ascenso como frenesí , el rápido desarrollo como sinergia y la finalización como madurez . ^[37]

Análisis secuencial

Link ^[38] creó una extensión de la teoría de análisis secuencial de Wald a una acumulación libre de distribución de variables aleatorias hasta que primero se iguala o excede un límite positivo o negativo. Link ^[39] deriva la probabilidad de igualar o exceder primero el límite positivo como , la función logística. Esta es la primera prueba de que la función logística puede tener un proceso estocástico como base. Link ^[40] proporciona un siglo de ejemplos de resultados experimentales "logísticos" y una relación recién derivada entre esta probabilidad y el tiempo de absorción en los límites. ${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$

Véase también

• Fluido cruzado
• Crecimiento hiperbólico
• Función escalonada de Heaviside
• Ecuación de Hill (bioquímica)
• Curva de Hubbert
• Lista de funciones matemáticas
• Modelo ESTRELLA
• Cinética de Michaelis-Menten
• Teoría de la selección r / K
• Rectificador (redes neuronales)
• Distribución de Gompertz desplazada
• Punto de inflexión (sociología)

Notas

1. El trabajo fue presentado en 1844 y publicado en 1845: "(Lu à la séance du 30 novembre 1844)." "(Leído en la sesión del 30 de noviembre de 1844).", pág. 1.
2. la progresión aritmética y a la progresión geométrica , y se refiere a la curva de crecimiento geométrico como una curva logarítmica (confusamente, el término moderno es en cambio curva exponencial , que es la inversa). Luego llama a su curva logística , en contraste con logarítmica , y compara la curva logarítmica y la curva logística en la figura de su artículo.
3. En la antigua Grecia, λογῐστῐκός se refería al cálculo práctico y la contabilidad, en contraste con ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), el estudio teórico o filosófico de los números. De manera confusa, en inglés, arithmetic se refiere al cálculo práctico, aunque deriva de ἀριθμητική , no de λογῐστῐκός . Véase, por ejemplo, Louis Charles Karpinski , Nicomachus of Gerasa: Introduction to Arithmetic (1926) p. 3: "Los lectores modernos, en particular los científicos y matemáticos, asocian la aritmética fundamentalmente con el arte del cálculo. Sin embargo, para los antiguos griegos posteriores a Pitágoras , la aritmética era principalmente un estudio filosófico, que no tenía una conexión necesaria con los asuntos prácticos. De hecho, los griegos dieron un nombre separado a la aritmética de los negocios, λογιστική [contabilidad o logística práctica] ... En general, los filósofos y matemáticos de Grecia sin duda consideraron que estaba por debajo de su dignidad tratar esta rama, que probablemente formaba parte de la instrucción elemental de los niños".
4. Utilizando ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ para el parámetro y ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,y)}$ para las coordenadas.
5. Esto se puede extender a la línea de números reales extendida estableciendo y , haciendo coincidir los valores límite. ${\displaystyle f(-\infty )=0}$ ${\displaystyle f(+\infty )=1}$
6. De hecho, la función logística es la aplicación inversa del parámetro natural de la distribución de Bernoulli, es decir, la función logit , y en este sentido es la "parametrización natural" de una probabilidad binaria.
7. Por ejemplo, la función softplus (la integral de la función logística) es una versión suavizada de , mientras que la forma relativa es una forma suavizada de , específicamente LogSumExp . Por lo tanto, Softplus se generaliza como (observe el 0 y el 1 correspondiente para la clase de referencia) ${\displaystyle \max(0,x)}$ ${\displaystyle \max(x_{0},x_{1})}$ ${\displaystyle \operatorname {LSE_{0}} ^{+}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\operatorname {LSE} (0,x_{1},\dots ,x_{n})=\ln(1+e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}).}$

Referencias

1. Verhulst, Pierre-François (1838). "Aviso sobre la ley que la población poursuit dans son accroissement" (PDF) . Correspondencia Mathématique et Physique . 10 : 113–121 . Consultado el 3 de diciembre de 2014 .
2. "Sigmoid — Documentación de PyTorch 1.10.1".
3. documentación de expit para el paquete clusterPower de R.
4. "Scipy.special.expit — Manual de SciPy v1.7.1".
5. Cramer 2002, págs. 3-5.
6. Verhulst, Pierre-François (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la populación" [Investigaciones matemáticas sobre la ley del crecimiento demográfico]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles . 18 :8 . Consultado el 18 de febrero de 2013 . Nous donnerons le nom de logistique à la courbe [Le daremos el nombre de logística a la curva]
7. Verhulst, Pierre-François (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la población". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1–32. doi :10.3406/marb.1847.3457 . Consultado el 18 de febrero de 2013 .
8. Shulman, Bonnie (1998). "Math-alive! using original source to teach mathematics in social context". PRIMUS . 8 (marzo): 1–14. doi :10.1080/10511979808965879. El diagrama me convenció: hay dos curvas etiquetadas como "Logistique" y "Logarithmique" dibujadas en los mismos ejes, y se puede ver que hay una región donde coinciden casi exactamente y luego divergen. Llegué a la conclusión de que la intención de Verhulst al nombrar la curva era, de hecho, sugerir esta comparación, y que "logística" tenía la intención de transmitir la cualidad "logarítmica" de la curva.
   
9. Tepic, J.; Tanackov, I.; Stojić, Gordan (2011). «Logística antigua: cronología histórica y etimología» (PDF) . Boletín Técnico . 18 (3). S2CID  42097070. Archivado desde el original (PDF) el 9 de marzo de 2019.
10. Barón de Jomini (1830). Tableau Analytique des main combinaisons De La Guerre, Et De Leurs Rapports Avec La Politique Des États: Pour Servir D'Introduction Au Traité Des Grandes Opérations Militaires . pag. 74.
11. Raul Rojas. Redes neuronales: una introducción sistemática (PDF) . Consultado el 15 de octubre de 2016 .
12. Kocian, Alejandro; Carmassi, Giulia; Cela, Fatjon; Incrocci, Luca; Milazzo, Paolo; Chessa, Stefano (7 de junio de 2020). "Pronóstico de series temporales de tipo sigmoide bayesiano con datos faltantes para cultivos de invernadero". Sensores . 20 (11): 3246. Código Bib : 2020Senso..20.3246K. doi : 10.3390/s20113246 . PMC 7309099 . PMID  32517314. 
13. Kyurkchiev, Nikolay y Svetoslav Markov. "Funciones sigmoideas: algunos aspectos de aproximación y modelado". LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrücken (2015).
14. AG McKendricka; M. Kesava Paia1 (enero de 1912). "XLV.—La tasa de multiplicación de microorganismos: un estudio matemático". Actas de la Royal Society of Edinburgh . 31 : 649–653. doi :10.1017/S0370164600025426.{{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
15. Raymond Pearl y Lowell Reed (junio de 1920). "Sobre la tasa de crecimiento de la población de los Estados Unidos" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . Vol. 6, núm. 6. pág. 275.
16. Griffiths, Graham; Schiesser, William (2009). "Ondas lineales y no lineales". Scholarpedia . 4 (7): 4308. Bibcode :2009SchpJ...4.4308G. doi : 10.4249/scholarpedia.4308 . ISSN  1941-6016.
17. Yukalov, VI; Yukalova, EP; Sornette, D. (2009). "Evolución puntuada debido a la capacidad de carga retrasada". Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Código Bibliográfico :2009PhyD..238.1752Y. doi :10.1016/j.physd.2009.05.011. S2CID  14456352.
18. Gershenfeld 1999, pág. 150.
19. LeCun, Y.; Bottou, L.; Orr, G.; Muller, K. (1998). "BackProp eficiente" (PDF) . En Orr, G.; Muller, K. (eds.). Redes neuronales: trucos del oficio . Springer. ISBN 3-540-65311-2.
20. Worldometer: PANDEMIA DEL CORONAVIRUS COVID-19
21. Villalobos-Arias, Mario (2020). "Uso de regresión logística generalizada para pronosticar la población infectada por Covid-19". arXiv : 2004.02406 [q-bio.PE].
22. Postnikov, Eugene B. (junio de 2020). "Estimación de la dinámica de COVID-19 "a ojo de buen cubero": ¿el modelo SIR más simple proporciona parámetros cuantitativos y predicciones?". Chaos, Solitons & Fractals . 135 : 109841. Bibcode :2020CSF...13509841P. doi :10.1016/j.chaos.2020.109841. PMC 7252058 . PMID  32501369. 
23. Saito, Takesi (junio de 2020). "Una curva logística en el modelo SIR y su aplicación a las muertes por COVID-19 en Japón". medRxiv 10.1101/2020.06.25.20139865v2 . 
24. Reiser, Paul A. (2020). "Modelo SIR modificado que genera una solución logística". arXiv : 2006.01550 [q-bio.PE].
25. Lee, Se Yoon; Lei, Bowen; Mallick, Bani (2020). "Estimación de curvas de propagación de COVID-19 integrando datos globales y tomando prestada información". PLOS ONE . ​​15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Código Bibliográfico :2020PLoSO..1536860L. doi : 10.1371/journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID  32726361. 
26. Yin, Xi; Zelenay, Piotr (13 de julio de 2018). "Modelos cinéticos para los mecanismos de degradación de catalizadores ORR sin PGM". Transacciones ECS . 85 (13): 1239–1250. doi :10.1149/08513.1239ecst. OSTI  1471365. S2CID  103125742.
27. Tanalikhit, Pattarapon; Worakitthamrong, Thanabodi; Chaidet, Nattanon; Kanchanapusakit, Wittaya (24-25 de mayo de 2021). "Medición del gradiente del índice de refracción de una solución de azúcar". Journal of Physics: Conference Series . 2145 (1): 012072. Bibcode :2021JPhCS2145a2072T. doi : 10.1088/1742-6596/2145/1/012072 . S2CID  245811843.
28. López-Arias, T; Calzà, G; Gratton, LM; Oss, S (2009). "Espejismos en una botella". Educación Física . 44 (6): 582. Bibcode :2009PhyEd..44..582L. doi :10.1088/0031-9120/44/6/002. S2CID  59380632.
29. Bod, Hay, Jennedy (eds.) 2003, págs. 147-156
30. Recopilación de datos sobre producción de cultivos y profundidad del nivel freático en el suelo de varios autores. En línea: [1]
31. Recopilación de datos sobre producción de cultivos y salinidad del suelo de diversos autores. En línea: [2]
32. Rocha, Leno S.; Rocha, Frederico SA; Souza, Thársis TP (5 de octubre de 2017). "¿Es el sector público de su país un prestatario de difusión? Evidencia empírica de Brasil". PLOS ONE . ​​12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode :2017PLoSO..1285257R. doi : 10.1371/journal.pone.0185257 . ISSN  1932-6203. PMC 5628819 . PMID  28981532. 
33. Ayres, Robert (febrero de 1989). «Transformaciones tecnológicas y ondas largas» (PDF) . Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados . Archivado desde el original (PDF) el 1 de marzo de 2012. Consultado el 6 de noviembre de 2010 .
34. Marchetti, Cesare (1996). "Ondas largas generalizadas: ¿es ciclotímica la sociedad?" (PDF) . Aspen Global Change Institute . Archivado desde el original (PDF) el 5 de marzo de 2012.
35. Marchetti, Cesare (1988). "Kondratiev Revisited-After One Cycle" (PDF) . Cesare Marchetti . Archivado desde el original (PDF) el 9 de marzo de 2012 . Consultado el 6 de noviembre de 2010 .
36. Grübler, Arnulf (1990). El ascenso y la caída de las infraestructuras: dinámica de la evolución y el cambio tecnológico en el transporte (PDF) . Heidelberg y Nueva York: Physica-Verlag.
37. Pérez, Carlota (2002). Revoluciones tecnológicas y capital financiero: la dinámica de las burbujas y las épocas doradas . Reino Unido: Edward Elgar Publishing Limited. ISBN 1-84376-331-1.
38. Link, SW; Heath, RA (1975). "Una teoría secuencial de la discriminación psicológica". Psychometrika . 40 (1): 77–105. doi :10.1007/BF02291481.
39. Link, SW (1978). "La teoría del juicio relativo de la función psicométrica". Atención y rendimiento VII . Taylor & Francis. págs. 619–630. ISBN 9781003310228.
40. SW Link, La teoría ondulatoria de la diferencia y la similitud (libro), Taylor y Francis, 1992

• Cramer, JS (2002). Los orígenes de la regresión logística (PDF) (Informe técnico). Vol. 119. Tinbergen Institute. págs. 167–178. doi :10.2139/ssrn.360300.
  • Publicado como: Cramer, JS (2004). "Los orígenes tempranos del modelo logit". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia Parte C: Estudios de Historia y Filosofía de las Ciencias Biológicas y Biomédicas . 35 (4): 613–626. doi :10.1016/j.shpsc.2004.09.003.
• Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer (2003). Lingüística probabilística. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8.
• Gershenfeld, Neil A. (1999). La naturaleza del modelado matemático. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57095-4.
• Kingsland, Sharon E. (1995). Modelado de la naturaleza: episodios en la historia de la ecología de poblaciones . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-43728-0.
• Weisstein, Eric W. "Ecuación logística". MathWorld .

Enlaces externos

• LJ Linacre, ¿Por qué una ojiva logística y no una curva autocatalítica?, consultado el 12 de septiembre de 2009.
• https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
• Weisstein, Eric W. "Función sigmoidea". MathWorld .
• Experimentos en línea con JSXGraph
• Las eses están en todas partes.
• Viendo la curva S en todo.
• Crecimiento logarítmico restringido con inyección