Distribución de Gompertz desplazada

La distribución de Gompertz desplazada es la distribución de la mayor de dos variables aleatorias independientes , una de las cuales tiene una distribución exponencial con parámetro y la otra tiene una distribución de Gumbel con parámetros y . En su formulación original, la distribución se expresó haciendo referencia a la distribución de Gompertz en lugar de a la distribución de Gumbel, pero, dado que la distribución de Gompertz es una distribución de Gumbel invertida, el etiquetado puede considerarse preciso. Se ha utilizado como modelo de adopción de innovaciones . Fue propuesta por Bemmaor (1994). ^[1] Algunas de sus propiedades estadísticas han sido estudiadas con más profundidad por Jiménez y Jodrá (2009) ^[2] y Jiménez Torres (2014). ^[3] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle b}$

Se ha utilizado para predecir el crecimiento y el declive de las redes sociales y los servicios en línea y ha demostrado ser superior al modelo de Bass y la distribución de Weibull (Bauckhage y Kersting 2014). ^[4]

Especificación

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Gompertz desplazada es:

${\displaystyle f(x;b,\eta )=be^{-bx}e^{-\eta e^{-bx}}\left[1+\eta \left(1-e^{-bx}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0.\,}$

donde es un parámetro de escala y es un parámetro de forma . En el contexto de la difusión de innovaciones, se puede interpretar como el atractivo general de la innovación y es la propensión a adoptar en el paradigma de propensión a adoptar. Cuanto mayor es, más fuerte es el atractivo y cuanto mayor es, menor es la propensión a adoptar. ${\displaystyle b\geq 0}$ ${\displaystyle \eta \geq 0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \eta }$

La distribución se puede repararmetrizar según el paradigma de influencia externa versus interna, utilizando como coeficiente de influencia externa y como coeficiente de influencia interna. Por lo tanto: ${\displaystyle p=f(0;b,\eta )=be^{-\eta }}$ ${\displaystyle q=b-p}$

${\displaystyle f(x;p,q)=(p+q)e^{-(p+q)x}e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

${\displaystyle =(p+q)e^{-(p+q)x}{(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}\left[1+\ln(1+q/p)\left(1-e^{-(p+q)x}\right)\right]{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

Cuando , la distribución de Gompertz desplazada se reduce a una distribución exponencial. Cuando , la proporción de adoptantes es nula: la innovación es un fracaso total. El parámetro de forma de la función de densidad de probabilidad es igual a . De manera similar al modelo de Bass, la tasa de riesgo es igual a cuando es igual a ; se aproxima a medida que se acerca a . Consulte Bemmaor y Zheng ^[5] para un análisis más detallado. ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle q/p}$ ${\displaystyle z(x;p,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p+q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \infty }$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución de Gompertz desplazada es:

${\displaystyle F(x;b,\eta )=\left(1-e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}}{\text{ for }}x\geq 0.\,}$

De manera equivalente,

${\displaystyle F(x;p,q)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)e^{-\ln(1+q/p)e^{-(p+q)x}}{\text{ for }}x\geq 0.\,}$

${\displaystyle =\left(1-e^{-(p+q)x}\right){(1+q/p)^{-e^{-(p+q)x}}}{\text{ for }}x\geq 0.\,}$

Propiedades

La distribución de Gompertz desplazada está sesgada hacia la derecha para todos los valores de . Es más flexible que la distribución de Gumbel . La tasa de riesgo es una función cóncava de la cual aumenta de a : su curvatura es tanto más pronunciada cuanto mayor es. En el contexto de la difusión de innovaciones, el efecto del boca a boca (es decir, los adoptantes anteriores) sobre la probabilidad de adopción disminuye a medida que aumenta la proporción de adoptantes. (A modo de comparación, en el modelo de Bass, el efecto permanece igual a lo largo del tiempo). El parámetro captura el crecimiento de la tasa de riesgo cuando varía de a . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F(x;b,\eta )}$ ${\displaystyle be^{-\eta }}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle q=b(1-e^{-\eta })}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$

Formas

La función de densidad de Gompertz desplazada puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores del parámetro de forma : ${\displaystyle \eta }$

• ${\displaystyle 0<\eta \leq 0.5\,}$La función de densidad de probabilidad tiene su moda en 0.
• ${\displaystyle \eta >0.5\,}$La función de densidad de probabilidad tiene su moda en

${\displaystyle {\text{mode}}=-{\frac {\ln(z^{\star })}{b}}\,\qquad 0<z^{\star }<1}$

¿Dónde está la raíz más pequeña de? ${\displaystyle z^{\star }\,}$

${\displaystyle \eta ^{2}z^{2}-\eta (3+\eta )z+\eta +1=0\,,}$

cual es

${\displaystyle z^{\star }=[3+\eta -(\eta ^{2}+2\eta +5)^{1/2}]/(2\eta ).}$

Distribuciones relacionadas

Cuando varía según una distribución gamma con parámetro de forma y parámetro de escala (media = ), la distribución de es Gamma/Gompertz desplazado (G/SG). Cuando es igual a uno, el G/SG se reduce al modelo de Bass (Bemmaor 1994). El G/SG de tres parámetros ha sido aplicado por Dover, Goldenberg y Shapira (2009) ^[6] y Van den Bulte y Stremersch (2004) ^[7] entre otros en el contexto de la difusión de innovaciones. El modelo se analiza en Chandrasekaran y Tellis (2007). ^[8] De manera similar a la distribución Gompertz desplazada, el G/SG puede representarse según el paradigma de propensión a adoptar o según el paradigma de innovación-imitación. En el último caso, incluye tres parámetros: y con y . El parámetro modifica la curvatura de la tasa de riesgo expresada como una función de : cuando es menor que 0,5, disminuye hasta un mínimo antes de aumentar a un ritmo creciente a medida que aumenta, es convexa cuando es menor que uno y mayor o igual a 0,5, lineal cuando es igual a uno y cóncava cuando es mayor que uno. A continuación se presentan algunos casos especiales de la distribución G/SG en el caso de homogeneidad (en toda la población) con respecto a la probabilidad de adopción en un momento dado: ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p=f(0;b,\beta ,\alpha )=b/(1+\beta )^{\alpha }}$ ${\displaystyle q=b-p}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha <1/2)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

  ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =0)}$= Exponencial = Distribución de dos parámetros sesgada a la izquierda = Modelo de Bass = Gompertz desplazado ${\displaystyle (p+q)}$  ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)}$ ${\displaystyle (p,q)}$  ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1)}$ ${\displaystyle (p,q)}$  ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =\infty )}$ ${\displaystyle (p,q)}$ 

con:

  ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)/{(1+(q/p)(2+q/p)e^{-(p+q)x})^{1/2}}{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

Se pueden comparar los parámetros y los valores de , ya que capturan las mismas nociones. En todos los casos, la tasa de riesgo es constante o una función monótonamente creciente de (boca a boca positiva). Como la curva de difusión es cada vez más sesgada a medida que se hace grande, esperamos que disminuya a medida que aumenta el nivel de sesgo a la derecha. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle q}$

Véase también

• Distribución de Gumbel
• Distribución generalizada de valores extremos
• Modelo de mezcla
• Modelo de bajo
• Distribución de Gompertz

Referencias

1. Bemmaor, Albert C. (1994). "Modelización de la difusión de nuevos bienes duraderos: efecto boca a boca frente a heterogeneidad del consumidor". En G. Laurent, GL Lilien y B. Pras (ed.). Tradiciones de investigación en marketing . Boston: Kluwer Academic Publishers. págs. 201–223. ISBN 978-0-7923-9388-7.
2. Jiménez, Fernando; Jodrá, Pedro (2009). "Una nota sobre los momentos y la generación por computadora de la distribución Gompertz desplazada". Communications in Statistics - Theory and Methods . 38 (1): 78–89. doi :10.1080/03610920802155502. S2CID  116954940.
3. Jiménez Torres, Fernando (2014). "Estimación de los parámetros de la distribución Gompertz desplazada, utilizando métodos de mínimos cuadrados, máxima verosimilitud y momentos". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 255 (1): 867–877. doi : 10.1016/j.cam.2013.07.004 .
4. Bauckhage, Christian; Kersting, Kristian (2014). "Fuertes regularidades en el crecimiento y la disminución de la popularidad de los servicios de redes sociales". arXiv : 1406.6529 [math-ph].
5. Bemmaor, Albert C.; Zheng, Li (2018). "La difusión de las redes sociales móviles: estudio adicional" (PDF) . Revista internacional de previsión . 32 (4): 612–21. doi :10.1016/j.ijforecast.2018.04.006. S2CID  158385920.
6. Dover, Yaniv; Goldenberg, Jacob; Shapira, Daniel (2012). "Huellas de red sobre la penetración: descubrimiento de la distribución de grados a partir de datos de adopción". Marketing Science . 31 (4): 689–712. doi :10.1287/mksc.1120.0711.
7. Van den Bulte, Christophe; Stremersch, Stefan (2004). "Contagio social y heterogeneidad de ingresos en la difusión de nuevos productos: una prueba metaanalítica". Marketing Science . 23 (4): 530–544. doi :10.1287/mksc.1040.0054.
8. Chandrasekaran, Deepa; Tellis, Gerard J. (2007). "Una revisión crítica de la investigación de marketing sobre la difusión de nuevos productos". En Naresh K. Malhotra (ed.). Review of Marketing Research . Vol. 3. Armonk: ME Sharpe. págs. 39–80. ISBN 978-0-7656-1306-6.