Función logística generalizada

Función matemática

A=M=0, K=C=1, B=3, ν=0,5, Q=0,5

Efecto de variar el parámetro A. Todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro B. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro C. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro K. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro Q. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de la variación del parámetro A = 0, todos los demás parámetros son 1. ${\displaystyle \nu }$

La función o curva logística generalizada es una extensión de las funciones logísticas o sigmoideas . Originalmente desarrollada para modelar el crecimiento, permite curvas en forma de S más flexibles. La función a veces se denomina curva de Richards en honor a F.  J.  Richards , quien propuso la forma general para la familia de modelos en 1959.

Definición

La curva de Richards tiene la siguiente forma:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

donde = peso, altura, talla, etc., y = tiempo. Tiene seis parámetros: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle A}$:la asíntota horizontal izquierda;
• ${\displaystyle K}$: la asíntota horizontal recta cuando . Si y entonces se llama capacidad de carga ; ${\displaystyle C=1}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle C=1}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle B}$:la tasa de crecimiento;
• ${\displaystyle \nu >0}$ :afecta cerca de qué punto se produce el crecimiento máximo asíntota.
• ${\displaystyle Q}$:está relacionado con el valor ${\displaystyle Y(0)}$
• ${\displaystyle C}$: normalmente toma un valor de 1. De lo contrario, la asíntota superior es ${\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}}$

La ecuación también se puede escribir:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

donde se puede considerar como un tiempo de inicio, en el cual . Incluir tanto como puede ser conveniente: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

Esta representación simplifica la configuración tanto de una hora de inicio como del valor en ese momento. ${\displaystyle Y}$

La función logística , con tasa de crecimiento máxima en el tiempo , es el caso donde . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q=\nu =1}$

Ecuación diferencial logística generalizada

Un caso particular de la función logística generalizada es:

${\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$

cual es la solución de la ecuación diferencial de Richards (RDE):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

con condición inicial

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

dónde

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

siempre que y ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con , mientras que la curva de Gompertz se puede recuperar en el límite siempre que: ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

De hecho, para los pequeños es ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

Los RDE modelan muchos fenómenos de crecimiento que surgen en campos como la oncología y la epidemiología.

Gradiente de la función logística generalizada

Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos dado (ver ^[1] ). Para el caso donde , ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

Casos especiales

Las siguientes funciones son casos específicos de las curvas de Richards:

• Función logística
• Curva de Gompertz
• Función de von Bertalanffy
• Curva monomolecular

Notas al pie

1. Fekedulegn, Desta; Mairitin P. Mac Siurtain; Jim J. Colbert (1999). "Estimación de parámetros de modelos de crecimiento no lineal en silvicultura" (PDF) . Silva Fennica . 33 (4): 327–336. doi :10.14214/sf.653. Archivado desde el original (PDF) el 29 de septiembre de 2011 . Consultado el 31 de mayo de 2011 .

Referencias

• Richards, FJ (1959). "Una función de crecimiento flexible para uso empírico". Journal of Experimental Botany . 10 (2): 290–300. doi :10.1093/jxb/10.2.290.
• Pella, JS; Tomlinson, PK (1969). "Un modelo generalizado de producción de stock". Boletín Interamericano del Atún Tropical . 13 : 421–496.
• Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Características y derivadas parciales del modelo de crecimiento de Bertalanffy-Richards en silvicultura". Análisis no lineal: modelado y control . 9 (1): 65–73. doi :10.15388/NA.2004.9.1.15171.