La función o curva logística generalizada es una extensión de las funciones logísticas o sigmoideas . Desarrollado originalmente para modelar el crecimiento, permite curvas en forma de S más flexibles. La función a veces recibe el nombre de curva de Richards en honor a FJ Richards , quien propuso la forma general para la familia de modelos en 1959.
Definición
La curva de Richards tiene la siguiente forma:
donde = peso, altura, talla, etc., y = tiempo. Tiene seis parámetros:
: la asíntota horizontal izquierda;
: la asíntota horizontal derecha cuando . Si y entonces se llama capacidad de carga ;
: la tasa de crecimiento;
: afecta cerca de qué asíntota se produce el máximo crecimiento.
: está relacionado con el valor
: normalmente toma un valor de 1. De lo contrario, la asíntota superior es
La ecuación también se puede escribir:
donde se puede considerar como una hora de inicio, en la cual . Incluyendo ambos y puede ser conveniente:
esta representación simplifica la configuración tanto de una hora de inicio como del valor de en ese momento.
La función logística , con tasa de crecimiento máxima en el tiempo , es el caso donde .
Ecuación diferencial logística generalizada
Un caso particular de la función logística generalizada es:
cuál es la solución de la ecuación diferencial de Richards (RDE):
con condición inicial
dónde
siempre que y
La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con ν =1, mientras que la curva de Gompertz se puede recuperar en el límite siempre que:
De hecho, para ν pequeño es
El RDE modela muchos fenómenos de crecimiento que surgen en campos como la oncología y la epidemiología.
Gradiente de función logística generalizada.
Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos determinado (ver [1] ). Para el caso donde ,
Casos especiales
Las siguientes funciones son casos específicos de las curvas de Richards:
^ Fekedulegn, Desta; Mairitin P. Mac Siurtain; Jim J. Colbert (1999). "Estimación de parámetros de modelos de crecimiento no lineales en silvicultura" (PDF) . Silva Fennica . 33 (4): 327–336. doi :10.14214/sf.653. Archivado desde el original (PDF) el 29 de septiembre de 2011 . Consultado el 31 de mayo de 2011 .
Referencias
Richards, FJ (1959). "Una función de crecimiento flexible para uso empírico". Revista de Botánica Experimental . 10 (2): 290–300. doi :10.1093/jxb/10.2.290.
Pella, JS; Tomlinson, PK (1969). "Un modelo generalizado de producción de acciones". Toro. Interamericano. tropo. Comunicación del atún . 13 : 421–496.
Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Características y derivados parciales del modelo de crecimiento forestal de Bertalanffy-Richards". Análisis no lineal: modelado y control . 9 (1): 65–73. doi :10.15388/NA.2004.9.1.15171.