Secuencia

Lista ordenada finita o infinita de elementos

Una secuencia infinita de números reales (en azul). Esta secuencia no es ni creciente ni decreciente, ni convergente ni de Cauchy . Sin embargo, está acotada.

En matemáticas , una secuencia es una colección enumerada de objetos en la que se permiten repeticiones y el orden importa. Al igual que un conjunto , contiene miembros (también llamados elementos o términos ). El número de elementos (posiblemente infinito ) se denomina longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de una secuencia y, a diferencia de un conjunto, el orden sí importa. Formalmente, una secuencia se puede definir como una función de los números naturales (las posiciones de los elementos en la secuencia) a los elementos en cada posición. La noción de secuencia se puede generalizar a una familia indexada , definida como una función de un conjunto de índices arbitrario .

Por ejemplo, (M, A, R, Y) es una secuencia de letras con la letra 'M' en primer lugar y la 'Y' en último lugar. Esta secuencia difiere de (A, R, M, Y). Además, la secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contiene el número 1 en dos posiciones diferentes, es una secuencia válida. Las secuencias pueden ser finitas , como en estos ejemplos, o infinitas , como la secuencia de todos los números enteros positivos pares (2, 4, 6, ...).

La posición de un elemento en una secuencia es su rango o índice ; es el número natural del cual el elemento es la imagen. El primer elemento tiene índice 0 o 1, dependiendo del contexto o una convención específica. En el análisis matemático , una secuencia se denota a menudo con letras en la forma de , y , donde el subíndice n se refiere al n º elemento de la secuencia; por ejemplo, el n º elemento de la secuencia de Fibonacci generalmente se denota como . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{n}}$

En informática y ciencias de la computación , las secuencias finitas suelen denominarse cadenas , palabras o listas ; el término técnico específico se elige según el tipo de objeto que enumera la secuencia y las diferentes formas de representar la secuencia en la memoria de la computadora . Las secuencias infinitas se denominan secuencias .

La secuencia vacía ( ) está incluida en la mayoría de las nociones de secuencia. Puede excluirse según el contexto.

Ejemplos y notación

Una secuencia puede considerarse como una lista de elementos con un orden particular. ^{[1] [2]} Las secuencias son útiles en varias disciplinas matemáticas para estudiar funciones , espacios y otras estructuras matemáticas utilizando las propiedades de convergencia de las secuencias. En particular, las secuencias son la base de las series , que son importantes en ecuaciones diferenciales y análisis . Las secuencias también son de interés por derecho propio y pueden estudiarse como patrones o rompecabezas, como en el estudio de los números primos .

Existen varias formas de denotar una secuencia, algunas de las cuales son más útiles para tipos específicos de secuencias. Una forma de especificar una secuencia es enumerar todos sus elementos. Por ejemplo, los primeros cuatro números impares forman la secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación también se utiliza para secuencias infinitas. Por ejemplo, la secuencia infinita de números enteros impares positivos se escribe como (1, 3, 5, 7, ...). Debido a que la notación de secuencias con puntos suspensivos conduce a la ambigüedad, la enumeración es más útil para las secuencias infinitas habituales que se pueden reconocer fácilmente a partir de sus primeros elementos. Otras formas de denotar una secuencia se analizan después de los ejemplos.

Ejemplos

Un mosaico de cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci sucesivos en longitud.

Los números primos son los números naturales mayores que 1 que no tienen más divisores que 1 y ellos mismos. Tomándolos en su orden natural se obtiene la secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Los números primos son ampliamente utilizados en matemáticas , particularmente en teoría de números donde existen muchos resultados relacionados con ellos.

Los números de Fibonacci comprenden la secuencia de números enteros cuyos elementos son la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son 0 y 1 o 1 y 1, de modo que la secuencia es (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). ^[1]

Otros ejemplos de sucesiones son las formadas por números racionales , números reales y números complejos . La sucesión (.9, .99, .999, .9999, ...), por ejemplo, se aproxima al número 1. De hecho, todo número real puede escribirse como el límite de una sucesión de números racionales (p. ej., mediante su expansión decimal ; véase también completitud de los números reales ). Como otro ejemplo, π es el límite de la sucesión (3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...), que es creciente. Una sucesión relacionada es la sucesión de dígitos decimales de π , es decir, (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). A diferencia de la sucesión anterior, esta sucesión no tiene ningún patrón que sea fácilmente discernible por inspección.

Otros ejemplos son las secuencias de funciones , cuyos elementos son funciones en lugar de números.

La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros incluye una gran lista de ejemplos de secuencias de números enteros. ^[3]

Indexación

Otras notaciones pueden ser útiles para secuencias cuyo patrón no se puede adivinar fácilmente o para secuencias que no tienen un patrón como los dígitos de π . Una de estas notaciones es escribir una fórmula general para calcular el término n -ésimo como una función de n , encerrarlo entre paréntesis e incluir un subíndice que indique el conjunto de valores que n puede tomar. Por ejemplo, en esta notación la secuencia de números pares podría escribirse como . La secuencia de cuadrados podría escribirse como . La variable n se llama índice , y el conjunto de valores que puede tomar se llama conjunto de índices . ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

A menudo resulta útil combinar esta notación con la técnica de tratar los elementos de una secuencia como variables individuales. Esto produce expresiones como , que denota una secuencia cuyo elemento n -ésimo está dado por la variable . Por ejemplo: ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Se pueden considerar múltiples secuencias al mismo tiempo utilizando diferentes variables; por ejemplo, podría ser una secuencia diferente a . Incluso se puede considerar una secuencia de secuencias: denota una secuencia cuyo término m es la secuencia . ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Una alternativa a escribir el dominio de una secuencia en subíndice es indicar el rango de valores que puede tomar el índice enumerando sus valores legales más altos y más bajos. Por ejemplo, la notación denota la secuencia de diez términos de cuadrados . Los límites y están permitidos, pero no representan valores válidos para el índice, solo el supremo o el ínfimo de tales valores, respectivamente. Por ejemplo, la secuencia es la misma que la secuencia , y no contiene un término adicional "en el infinito". La secuencia es una secuencia bi-infinita , y también se puede escribir como . ${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$ ${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

En los casos en que se entiende el conjunto de números de indexación, a menudo se omiten los subíndices y superíndices. Es decir, simplemente se escribe para una secuencia arbitraria. A menudo, se entiende que el índice k va de 1 a ∞. Sin embargo, las secuencias se indexan con frecuencia a partir de cero, como en ${\textstyle (a_{k})}$

${\displaystyle {(a_{k})}_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

En algunos casos, los elementos de la secuencia están relacionados de forma natural con una secuencia de números enteros cuyo patrón se puede inferir fácilmente. En estos casos, el conjunto de índices puede estar implícito en una lista de los primeros elementos abstractos. Por ejemplo, la secuencia de cuadrados de números impares podría denotarse de cualquiera de las siguientes maneras.

• ${\displaystyle (1,9,25,\ldots )}$
• ${\displaystyle (a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle {(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}}$
• ${\displaystyle {\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }}$

Además, los subíndices y superíndices podrían haberse omitido en las notaciones tercera, cuarta y quinta, si se hubiera entendido que el conjunto de índices eran los números naturales . En la segunda y tercera viñetas, hay una secuencia bien definida , pero no es la misma que la secuencia denotada por la expresión. ${\textstyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty }}$

Definición de una secuencia por recursión

Las secuencias cuyos elementos están relacionados con los elementos anteriores de manera directa suelen definirse mediante recursión . Esto contrasta con la definición de secuencias de elementos como funciones de sus posiciones.

Para definir una secuencia por recursión, se necesita una regla, llamada relación de recurrencia , para construir cada elemento en función de los elementos anteriores. Además, se deben proporcionar suficientes elementos iniciales para que todos los elementos posteriores de la secuencia puedan calcularse mediante aplicaciones sucesivas de la relación de recurrencia.

La secuencia de Fibonacci es un ejemplo clásico simple, definido por la relación de recurrencia.

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

con términos iniciales y . A partir de esto, un cálculo simple muestra que los primeros diez términos de esta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$

Un ejemplo complicado de una secuencia definida por una relación de recurrencia es la secuencia de Recamán , ^[4] definida por la relación de recurrencia

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}}$

con término inicial ${\displaystyle a_{0}=0.}$

Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

donde son constantes . Existe un método general para expresar el término general de dicha secuencia como función de n ; véase Recurrencia lineal . En el caso de la secuencia de Fibonacci, se tiene y la función resultante de n viene dada por la fórmula de Binet . ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$

Una secuencia holonómica es una secuencia definida por una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

donde son polinomios en n . Para la mayoría de las sucesiones holonómicas, no existe una fórmula explícita para expresar como una función de n . Sin embargo, las sucesiones holonómicas juegan un papel importante en varias áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchas funciones especiales tienen una serie de Taylor cuya secuencia de coeficientes es holonómica. El uso de la relación de recurrencia permite un cálculo rápido de los valores de dichas funciones especiales. ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

No todas las secuencias se pueden especificar mediante una relación de recurrencia. Un ejemplo es la secuencia de números primos en su orden natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Definición formal y propiedades básicas

Hay muchas nociones diferentes de secuencias en matemáticas, algunas de las cuales ( por ejemplo , secuencia exacta ) no están cubiertas por las definiciones y notaciones que se presentan a continuación.

Definición

En este artículo, una secuencia se define formalmente como una función cuyo dominio es un intervalo de números enteros . Esta definición cubre varios usos diferentes de la palabra "secuencia", incluyendo secuencias infinitas unilaterales, secuencias bi-infinitas y secuencias finitas (ver más abajo las definiciones de este tipo de secuencias). Sin embargo, muchos autores usan una definición más restringida al requerir que el dominio de una secuencia sea el conjunto de números naturales . Esta definición más restringida tiene la desventaja de que descarta las secuencias finitas y las secuencias bi-infinitas, las cuales son usualmente llamadas secuencias en la práctica matemática estándar. Otra desventaja es que, si uno elimina los primeros términos de una secuencia, uno necesita reindexar los términos restantes para ajustarse a esta definición. En algunos contextos, para acortar la exposición, el codominio de la secuencia es fijado por el contexto, por ejemplo al requerir que sea el conjunto R de números reales, ^[5] el conjunto C de números complejos, ^[6] o un espacio topológico . ^[7]

Aunque las secuencias son un tipo de función, generalmente se distinguen de las funciones en que la entrada se escribe como un subíndice en lugar de entre paréntesis, es decir, una _n en lugar de una ( n ) . También hay diferencias terminológicas: el valor de una secuencia en la entrada más baja (a menudo 1) se llama el "primer elemento" de la secuencia, el valor en la segunda entrada más pequeña (a menudo 2) se llama el "segundo elemento", etc. Además, mientras que una función abstraída de su entrada generalmente se denota por una sola letra, por ejemplo f , una secuencia abstraída de su entrada generalmente se escribe por una notación como , o simplemente como Aquí A es el dominio, o conjunto de índices, de la secuencia. ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$ ${\textstyle (a_{n}).}$

Las sucesiones y sus límites (ver más abajo) son conceptos importantes para estudiar los espacios topológicos. Una generalización importante de las sucesiones es el concepto de redes . Una red es una función de un conjunto dirigido (posiblemente incontable ) a un espacio topológico. Las convenciones de notación para sucesiones normalmente también se aplican a las redes.

Finito e infinito

La longitud de una secuencia se define como el número de términos de la secuencia.

Una secuencia de longitud finita n también se denomina n -tupla . Las secuencias finitas incluyen la secuencia vacía  ( ) que no tiene elementos.

Normalmente, el término secuencia infinita se refiere a una secuencia que es infinita en una dirección y finita en la otra: la secuencia tiene un primer elemento, pero ningún elemento final. Una secuencia de este tipo se denomina secuencia simplemente infinita o secuencia infinita unilateral cuando es necesaria la desambiguación. Por el contrario, una secuencia que es infinita en ambas direcciones, es decir, que no tiene un primer elemento ni un elemento final, se denomina secuencia biinfinita , secuencia infinita bidireccional o secuencia doblemente infinita . Una función del conjunto Z de todos los números enteros en un conjunto, como por ejemplo la secuencia de todos los números enteros pares (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), es biinfinita. Esta secuencia podría denotarse como . ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$

Creciente y decreciente

Se dice que una sucesión es monótonamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Por ejemplo, la sucesión es monótonamente creciente si y solo si para todos Si cada término consecutivo es estrictamente mayor que (>) el término anterior, entonces la sucesión se llama estrictamente monótona creciente . Una sucesión es monótonamente decreciente si cada término consecutivo es menor o igual que el anterior, y es estrictamente monótonamente decreciente si cada uno es estrictamente menor que el anterior. Si una sucesión es creciente o decreciente, se llama sucesión monótona . Este es un caso especial de la noción más general de función monótona . ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbf {N} .}$

Los términos no decreciente y no creciente se utilizan a menudo en lugar de creciente y decreciente para evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente , respectivamente.

Encerrado

Si la sucesión de números reales ( a _n ) es tal que todos los términos son menores que algún número real M , entonces se dice que la sucesión está acotada superiormente . En otras palabras, esto significa que existe M tal que para todo n , a _n ≤ M . Cualquier M de este tipo se llama límite superior . Del mismo modo, si, para algún número real m , a _n ≥ m para todo n mayor que algún N , entonces la sucesión está acotada inferiormente y cualquier m de este tipo se llama límite inferior . Si una sucesión está acotada tanto superiormente como inferiormente, entonces se dice que la sucesión está acotada .

Subsecuencias

Una subsecuencia de una secuencia dada es una secuencia formada a partir de la secuencia dada eliminando algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes. Por ejemplo, la secuencia de números enteros pares positivos (2, 4, 6, ...) es una subsecuencia de los números enteros positivos (1, 2, 3, ...). Las posiciones de algunos elementos cambian cuando se eliminan otros elementos. Sin embargo, las posiciones relativas se conservan.

Formalmente, una subsecuencia de la secuencia es cualquier secuencia de la forma , donde es una secuencia estrictamente creciente de números enteros positivos. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$

Otros tipos de secuencias

Otros tipos de secuencias que son fáciles de definir incluyen:

• Una secuencia de números enteros es una secuencia cuyos términos son números enteros.
• Una secuencia polinómica es una secuencia cuyos términos son polinomios.
• Una secuencia de números enteros positivos a veces se denomina multiplicativa , si a _nm = a _n a _m para todos los pares n , m tales que n y m son coprimos . ^[8] En otros casos, las secuencias a menudo se denominan multiplicativas , si a _n = na ₁ para todos los n . Además, una secuencia de Fibonacci multiplicativa ^[9] satisface la relación de recursión a _n = a _{n −1} a _{n −2} .
• Una secuencia binaria es una secuencia cuyos términos tienen uno de dos valores discretos, por ejemplo, valores de base 2 (0,1,1,0, ...), una serie de lanzamientos de moneda (cara/cruz) H,T,H,H,T, ..., las respuestas a un conjunto de preguntas de Verdadero o Falso (V, F, T, T, ...), y así sucesivamente.

Límites y convergencia

La gráfica de una secuencia convergente ( a _n ) se muestra en azul. En la gráfica podemos ver que la secuencia converge al límite cero a medida que n aumenta.

Una propiedad importante de una secuencia es la convergencia . Si una secuencia converge, converge a un valor particular conocido como límite . Si una secuencia converge a un límite, entonces es convergente . Una secuencia que no converge es divergente .

De manera informal, una secuencia tiene un límite si los elementos de la secuencia se acercan cada vez más a un valor (llamado límite de la secuencia), y se vuelven y permanecen arbitrariamente cerca de , lo que significa que dado un número real mayor que cero, todos los elementos de la secuencia, excepto un número finito, tienen una distancia de menos de . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$

Por ejemplo, la secuencia que se muestra a la derecha converge al valor 0. Por otro lado, las secuencias (que comienza 1, 8, 27, ...) y (que comienza −1, 1, −1, 1, ...) son ambas divergentes. ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ ${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$

Si una secuencia converge, entonces el valor al que converge es único. Este valor se denomina límite de la secuencia. El límite de una secuencia convergente normalmente se denota por . Si es una secuencia divergente, entonces la expresión no tiene sentido. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Definición formal de convergencia

Una secuencia de números reales converge a un número real si, para todo , existe un número natural tal que para todo tenemos ^[5] ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

Si es una secuencia de números complejos en lugar de una secuencia de números reales, esta última fórmula todavía se puede utilizar para definir la convergencia, con la condición de que denote el módulo complejo, es decir . Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico , entonces la fórmula se puede utilizar para definir la convergencia, si la expresión se reemplaza por la expresión , que denota la distancia entre y . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle |a_{n}-L|}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle L}$

Aplicaciones y resultados importantes

Si y son secuencias convergentes, entonces existen los siguientes límites, y pueden calcularse de la siguiente manera: ^{[5] [10]} ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$para todos los números reales ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$, siempre que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$Para todos y ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$

Además:

• Si para todos mayor que algunos , entonces . ^[a] ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Teorema de la compresión )
  Si es una secuencia tal que para todos y , entonces es convergente, y . ${\displaystyle (c_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$
  ${\displaystyle (c_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• Si una secuencia es acotada y monótona entonces es convergente.
• Una secuencia es convergente si y sólo si todas sus subsecuencias son convergentes.

Secuencias de Cauchy

El gráfico de una secuencia de Cauchy ( X _n ), que se muestra en azul, como X _n versus n . En el gráfico, la secuencia parece converger hacia un límite a medida que la distancia entre términos consecutivos en la secuencia se hace más pequeña a medida que n aumenta. En los números reales, cada secuencia de Cauchy converge hacia algún límite.

Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos se acercan arbitrariamente entre sí a medida que n se hace muy grande. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real . Un resultado particularmente importante en el análisis real es la caracterización de Cauchy de la convergencia para secuencias :

Una secuencia de números reales es convergente (en los reales) si y sólo si es de Cauchy.

Por el contrario, existen sucesiones de Cauchy de números racionales que no son convergentes en los racionales, por ejemplo, la sucesión definida por y es de Cauchy, pero no tiene límite racional (cf. Sucesión de Cauchy § No-ejemplo: números racionales ). De manera más general, cualquier sucesión de números racionales que converge a un número irracional es de Cauchy, pero no convergente cuando se interpreta como una sucesión en el conjunto de números racionales. ${\displaystyle x_{1}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$

Los espacios métricos que satisfacen la caracterización de Cauchy de convergencia para secuencias se denominan espacios métricos completos y son particularmente útiles para el análisis.

Límites infinitos

En cálculo, es común definir la notación para secuencias que no convergen en el sentido discutido anteriormente, sino que en cambio se vuelven y permanecen arbitrariamente grandes, o se vuelven y permanecen arbitrariamente negativas. Si se vuelve arbitrariamente grande como , escribimos ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

En este caso decimos que la sucesión diverge , o que converge al infinito . Un ejemplo de una sucesión de este tipo es a _n = n .

Si se vuelve arbitrariamente negativo (es decir, negativo y grande en magnitud) como , escribimos ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

y decimos que la secuencia diverge o converge a infinito negativo .

Serie

Una serie es, informalmente hablando, la suma de los términos de una sucesión. Es decir, es una expresión de la forma o , donde es una sucesión de números reales o complejos. Las sumas parciales de una serie son las expresiones resultantes de sustituir el símbolo de infinito por un número finito, es decir, la N -ésima suma parcial de la serie es el número ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.}$

Las sumas parciales forman por sí mismas una sucesión , que se denomina sucesión de sumas parciales de la serie . Si la sucesión de sumas parciales converge, entonces decimos que la serie es convergente , y el límite se denomina valor de la serie. Se utiliza la misma notación para denotar una serie y su valor, es decir, escribimos . ${\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

Uso en otros campos de las matemáticas

Topología

Las sucesiones desempeñan un papel importante en la topología, especialmente en el estudio de los espacios métricos . Por ejemplo:

• Un espacio métrico es compacto exactamente cuando es secuencialmente compacto .
• Una función de un espacio métrico a otro espacio métrico es continua exactamente cuando toma sucesiones convergentes a sucesiones convergentes.
• Un espacio métrico es un espacio conexo si y sólo si, siempre que el espacio se divide en dos conjuntos, uno de los dos conjuntos contiene una secuencia que converge a un punto en el otro conjunto.
• Un espacio topológico es separable exactamente cuando hay una secuencia densa de puntos.

Las secuencias se pueden generalizar a redes o filtros . Estas generalizaciones permiten extender algunos de los teoremas anteriores a espacios sin métricas.

Topología del producto

El producto topológico de una secuencia de espacios topológicos es el producto cartesiano de esos espacios, dotado de una topología natural denominada topología del producto .

Más formalmente, dada una secuencia de espacios , el espacio del producto ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},}$

se define como el conjunto de todas las sucesiones tales que para cada i , es un elemento de . Las proyecciones canónicas son las funciones p _i  : X → X _i definidas por la ecuación . Entonces, la topología del producto en X se define como la topología más burda (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyecciones p _i son continuas . La topología del producto a veces se denomina topología de Tichonoff . ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}}$

Análisis

Cuando se habla de secuencias en análisis , generalmente se considerarán secuencias de la forma

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

es decir, secuencias infinitas de elementos indexados por números naturales .

Una secuencia puede comenzar con un índice diferente de 1 o 0. Por ejemplo, la secuencia definida por x _n = 1/ log ( n ) estaría definida solo para n ≥ 2. Cuando se habla de tales secuencias infinitas, normalmente es suficiente (y no cambia mucho para la mayoría de las consideraciones) suponer que los miembros de la secuencia están definidos al menos para todos los índices suficientemente grandes , es decir, mayores que algún N dado .

El tipo más elemental de sucesiones son las numéricas, es decir, las sucesiones de números reales o complejos . Este tipo se puede generalizar a sucesiones de elementos de algún espacio vectorial . En el análisis, los espacios vectoriales considerados suelen ser espacios de funciones . Incluso de forma más general, se pueden estudiar sucesiones con elementos de algún espacio topológico .

Espacios de secuencia

Un espacio de sucesiones es un espacio vectorial cuyos elementos son sucesiones infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio de funciones cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el cuerpo K , donde K es el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos. El conjunto de todas esas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las sucesiones infinitas posibles con elementos en K , y se puede convertir en un espacio vectorial mediante las operaciones de adición puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de sucesiones son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de sucesiones suelen estar equipados con una norma , o al menos con la estructura de un espacio vectorial topológico .

Los espacios de secuencias más importantes en el análisis son los espacios ℓ ^p , que consisten en las secuencias sumables de potencias p , con la norma p . Estos son casos especiales de espacios L p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias como las secuencias convergentes o las secuencias nulas forman espacios de secuencias, denotados respectivamente c y c ₀ , con la norma sup. Cualquier espacio de secuencia también puede estar equipado con la topología de convergencia puntual , bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK .

Álgebra lineal

Las sucesiones sobre un cuerpo también pueden considerarse vectores en un espacio vectorial . En concreto, el conjunto de sucesiones de valor F (donde F es un cuerpo) es un espacio de funciones (de hecho, un espacio de producto ) de funciones de valor F sobre el conjunto de números naturales.

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta emplea varios tipos de secuencias, incluidas secuencias de objetos matemáticos como grupos o anillos.

Monoide libre

Si A es un conjunto, el monoide libre sobre A (denominado A ^* , también llamado estrella de Kleene de A ) es un monoide que contiene todas las secuencias finitas (o cadenas) de cero o más elementos de A , con la operación binaria de concatenación. El semigrupo libre A ⁺ es el subsemigrupo de A ^* que contiene todos los elementos excepto la secuencia vacía.

Secuencias exactas

En el contexto de la teoría de grupos , una secuencia

${\displaystyle G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}}$

de grupos y homomorfismos de grupos se llama exacta , si la imagen (o rango ) de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}$

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para ciertas otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos .

Secuencias espectrales

En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio para calcular grupos de homología mediante aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de las secuencias exactas y, desde su introducción por Jean Leray  (1946), se han convertido en una herramienta de investigación importante, en particular en la teoría de la homotopía .

Teoría de conjuntos

Una secuencia indexada en orden ordinal es una generalización de una secuencia. Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia de elementos de X indexada en orden α es una función de α a X. En esta terminología, una secuencia indexada en orden ω es una secuencia ordinaria.

Computación

En informática , las secuencias finitas se denominan listas . Las secuencias potencialmente infinitas se denominan secuencias . Las secuencias finitas de caracteres o dígitos se denominan cadenas .

Arroyos

Las secuencias infinitas de dígitos (o caracteres ) extraídos de un alfabeto finito son de particular interés en la informática teórica . A menudo se las denomina simplemente secuencias o flujos , en contraposición a cadenas finitas . Las secuencias binarias infinitas, por ejemplo, son secuencias infinitas de bits (caracteres extraídos del alfabeto {0, 1}). El conjunto C = {0, 1} ^∞ de todas las secuencias binarias infinitas a veces se denomina espacio de Cantor .

Una secuencia binaria infinita puede representar un lenguaje formal (un conjunto de cadenas) estableciendo el  bit n de la secuencia en 1 si y solo si la  cadena n (en orden shortlex ) está en el lenguaje. Esta representación es útil en el método de diagonalización para demostraciones. ^[11]

Véase también

• Enumeración
• Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
• Relación de recurrencia
• Espacio de secuencia

Operaciones

• Producto Cauchy

Ejemplos

• Señal de tiempo discreto
• Secuencia de Farey
• Secuencia de Fibonacci
• Secuencia de mirar y decir
• Secuencia Thue-Morse
• Lista de secuencias de números enteros

Tipos

• ±1-secuencia
• Progresión aritmética
• Secuencia automática
• Secuencia de Cauchy
• Secuencia recursiva constante
• Progresión geométrica
• Progresión armónica
• Secuencia holonómica
• Secuencia regular
• Secuencia binaria pseudoaleatoria
• Secuencia aleatoria

Conceptos relacionados

• Lista (informática)
• Red (topología) (una generalización de secuencias)
• Secuencia indexada ordinalmente
• Recursión (informática)
• Conjunto (matemáticas)
• Tupla
• Permutación

Notas

1. Si las desigualdades se reemplazan por desigualdades estrictas, entonces esto es falso: Hay secuencias tales que para todo , pero . ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

Referencias

1. "Secuencias". www.mathsisfun.com . Archivado desde el original el 2020-08-12 . Consultado el 2020-08-17 .
2. Weisstein, Eric W. "Secuencia". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 25 de julio de 2020 . Consultado el 17 de agosto de 2020 .
3. Índice de OEIS Archivado el 18 de octubre de 2022 en Wayback Machine , Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros, 3 de diciembre de 2020
4. Sloane, N. J. A. (ed.). «Secuencia A005132 (secuencia de Recamán)». La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 26 de enero de 2018 .
5. Gaughan, Edward (2009). "1.1 Secuencias y convergencia". Introducción al análisis . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
6. Edward B. Saff y Arthur David Snider (2003). "Capítulo 2.1". Fundamentos del análisis complejo . Prentice Hall. ISBN 978-01-390-7874-3Archivado desde el original el 23 de marzo de 2023. Consultado el 15 de noviembre de 2015 .
7. James R. Munkres (2000). "Capítulos 1 y 2". Topología . Prentice Hall, Incorporated. ISBN 978-01-318-1629-9Archivado desde el original el 23 de marzo de 2023. Consultado el 15 de noviembre de 2015 .
8. Lando, Sergei K. (21 de octubre de 2003). "7.4 Sucesiones multiplicativas". Lecciones sobre funciones generadoras . AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
9. Falcon, Sergio (2003). "La secuencia multiplicativa de Fibonacci". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 34 (2): 310–315. doi :10.1080/0020739031000158362. S2CID  121280842.
10. Dawikins, Paul. "Series and Sequences". Notas de matemáticas en línea de Paul/Calc II (notas) . Archivado desde el original el 30 de noviembre de 2012. Consultado el 18 de diciembre de 2012 .
11. Oflazer, Kemal. "LENGUAJES FORMALES, AUTÓMATAS Y COMPUTACIÓN: DECIDABILIDAD" (PDF) . cmu.edu . Universidad Carnegie-Mellon. Archivado (PDF) desde el original el 29 de mayo de 2015 . Consultado el 24 de abril de 2015 .

Enlaces externos

• "Secuencia", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
• Revista de secuencias de números enteros (gratuita)