Mecánica cuántica relativista

Mecánica cuántica que tiene en cuenta partículas cercanas o a la velocidad de la luz.

En física , la mecánica cuántica relativista ( RQM ) es cualquier formulación covariante de Poincaré de la mecánica cuántica (QM). Esta teoría es aplicable a partículas masivas que se propagan a todas las velocidades hasta aquellas comparables a la velocidad de la luz c , y puede acomodar partículas sin masa . La teoría tiene aplicación en física de alta energía , ^[1] física de partículas y física de aceleradores , ^[2] así como física atómica , química ^[3] y física de materia condensada . ^{[4] [5]} La mecánica cuántica no relativista se refiere a la formulación matemática de la mecánica cuántica aplicada en el contexto de la relatividad galileana , más específicamente cuantificando las ecuaciones de la mecánica clásica reemplazando variables dinámicas por operadores . La mecánica cuántica relativista (RQM) es la mecánica cuántica aplicada con la relatividad especial . Aunque las formulaciones anteriores, como la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg, se formularon originalmente en un contexto no relativista, algunas de ellas (por ejemplo, el formalismo de Dirac o el formalismo de integral de trayectorias) también funcionan con la relatividad especial.  

Las características clave comunes a todos los RQM incluyen: la predicción de la antimateria , los momentos magnéticos de espín de los fermiones elementales de espín  1 ⁄ 2 , la estructura fina y la dinámica cuántica de partículas cargadas en campos electromagnéticos . ^[6] El resultado clave es la ecuación de Dirac , de la que surgen automáticamente estas predicciones. Por el contrario, en la mecánica cuántica no relativista, los términos tienen que introducirse artificialmente en el operador hamiltoniano para lograr un acuerdo con las observaciones experimentales.

La RQM más exitosa (y más utilizada) es la teoría cuántica de campos relativista (QFT), en la que las partículas elementales se interpretan como cuantos de campo . Una consecuencia única de la QFT que se ha probado frente a otras RQM es la falla en la conservación del número de partículas, por ejemplo en la creación y aniquilación de materia . ^[7]

El trabajo de Paul Dirac entre 1927 y 1933 dio forma a la síntesis de la relatividad especial y la mecánica cuántica. ^[8] Su trabajo fue instrumental, ya que formuló la ecuación de Dirac y también originó la electrodinámica cuántica , ambas exitosas en la combinación de las dos teorías. ^[9]

En este artículo, las ecuaciones están escritas en notación de cálculo vectorial 3D y utilizan sombreros para los operadores (no necesariamente en la literatura), y donde se pueden recolectar componentes de espacio y tiempo, también se muestra la notación de índice tensorial (usada frecuentemente en la literatura), además se utiliza la convención de suma de Einstein . Aquí se utilizan unidades del SI ; las unidades gaussianas y las unidades naturales son alternativas comunes. Todas las ecuaciones están en la representación de posición; para la representación de momento, las ecuaciones tienen que ser transformadas de Fourier – vea espacio de posición y momento .

Combinando la relatividad especial y la mecánica cuántica

Un enfoque consiste en modificar la imagen de Schrödinger para que sea coherente con la relatividad especial. ^[2]

Un postulado de la mecánica cuántica es que la evolución temporal de cualquier sistema cuántico está dada por la ecuación de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$

utilizando un operador hamiltoniano adecuado Ĥ correspondiente al sistema. La solución es una función de onda de valor complejo ψ ( r , t ) , una función del vector de posición 3D r de la partícula en el tiempo t , que describe el comportamiento del sistema.

Cada partícula tiene un número cuántico de espín no negativo s . El número 2 s es un entero, impar para los fermiones y par para los bosones . Cada s tiene 2 s + 1 números cuánticos de proyección z ; σ  =  s , s  − 1, ... , − s  + 1, − s . ^[a] Esta es una variable discreta adicional que requiere la función de onda; ψ ( r ,  t ,  σ ) .

Históricamente, a principios de la década de 1920, Pauli , Kronig , Uhlenbeck y Goudsmit fueron los primeros en proponer el concepto de espín. La inclusión del espín en la función de onda incorpora el principio de exclusión de Pauli (1925) y el teorema más general de estadística de espín (1939) debido a Fierz , derivado por Pauli un año después. Esta es la explicación de una amplia gama de comportamientos y fenómenos de partículas subatómicas : desde las configuraciones electrónicas de los átomos, los núcleos (y, por lo tanto, todos los elementos de la tabla periódica y su química ), hasta las configuraciones de quarks y la carga de color (de ahí las propiedades de los bariones y mesones ).

Una predicción fundamental de la relatividad especial es la relación energía-momento relativista ; para una partícula de masa en reposo m , y en un marco de referencia particular con energía E y 3- momento p con magnitud en términos del producto escalar , es: ^[10] ${\displaystyle p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}$

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.}$

Estas ecuaciones se utilizan junto con los operadores de energía y momento , que son respectivamente:

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,,}$

para construir una ecuación de onda relativista (RWE): una ecuación diferencial parcial consistente con la relación energía-momento, y se resuelve para ψ para predecir la dinámica cuántica de la partícula. Para que el espacio y el tiempo se coloquen en pie de igualdad, como en la relatividad, los órdenes de las derivadas parciales del espacio y el tiempo deben ser iguales, e idealmente lo más bajos posible, de modo que no sea necesario especificar valores iniciales de las derivadas. Esto es importante para las interpretaciones de probabilidad, ejemplificadas a continuación. El orden más bajo posible de cualquier ecuación diferencial es el primero (las derivadas de orden cero no formarían una ecuación diferencial).

La imagen de Heisenberg es otra formulación de la mecánica cuántica, en cuyo caso la función de onda ψ es independiente del tiempo y los operadores A ( t ) contienen la dependencia del tiempo, gobernada por la ecuación de movimiento:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A={\frac {1}{i\hbar }}[A,{\hat {H}}]+{\frac {\partial }{\partial t}}A\,,}$

Esta ecuación también es verdadera en RQM, siempre que se modifiquen los operadores de Heisenberg para que sean consistentes con SR. ^{[11] [12]}

Históricamente, alrededor de 1926, Schrödinger y Heisenberg demuestran que la mecánica ondulatoria y la mecánica matricial son equivalentes, lo que luego fue ampliado por Dirac utilizando la teoría de la transformación .

Un enfoque más moderno para los RWE, introducido por primera vez durante la época en que los RWE se estaban desarrollando para partículas de cualquier espín, es aplicar representaciones del grupo de Lorentz .

Espacio y tiempo

En la mecánica clásica y la mecánica cuántica no relativista, el tiempo es una cantidad absoluta en la que todos los observadores y partículas siempre pueden estar de acuerdo, y que "se mueve" en un segundo plano independientemente del espacio. Por lo tanto, en la mecánica cuántica no relativista se tiene para un sistema de muchas partículas ψ ( r ₁ , r ₂ , r ₃ , ..., t , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ...) .

En la mecánica relativista , las coordenadas espaciales y el tiempo de coordenadas no son absolutos; dos observadores cualesquiera que se muevan uno con respecto al otro pueden medir diferentes ubicaciones y tiempos de eventos . Las coordenadas de posición y tiempo se combinan naturalmente en una posición espacio-temporal de cuatro dimensiones X = ( ct , r ) correspondiente a los eventos, y la energía y el 3-momento se combinan naturalmente en el cuatri-momento P = ( E / c , p ) de una partícula dinámica, medida en algún marco de referencia , cambia de acuerdo con una transformación de Lorentz a medida que se mide en un marco diferente impulsado y/o rotado con respecto al marco original en consideración. Los operadores derivados, y por lo tanto los operadores de energía y 3-momento, también son no invariantes y cambian bajo las transformaciones de Lorentz.

Bajo una transformación de Lorentz ortócrona adecuada ( r , t ) → Λ( r , t ) en el espacio de Minkowski , todos los estados cuánticos de una partícula ψ _σ se transforman localmente bajo alguna representación D del grupo de Lorentz : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

donde D (Λ) es una representación de dimensión finita, en otras palabras, una matriz cuadrada de (2 s + 1)×(2 s + 1) . Nuevamente, ψ se considera como un vector columna que contiene componentes con los (2 s + 1) valores permitidos de σ . Se suprimen los números cuánticos s y σ , así como otras etiquetas, continuas o discretas, que representan otros números cuánticos. Un valor de σ puede aparecer más de una vez según la representación.

Hamiltonianos relativistas y no relativistas

El hamiltoniano clásico para una partícula en un potencial es la energía cinética p · p /2 m más la energía potencial V ( r , t ) , con el operador cuántico correspondiente en la imagen de Schrödinger :

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)}$

y sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger anterior se obtiene una ecuación QM no relativista para la función de onda: el procedimiento es una sustitución directa de una expresión simple. Por el contrario, esto no es tan fácil en RQM; la ecuación de energía-momento es cuadrática en energía y momento, lo que genera dificultades. Plantear ingenuamente:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {E}}={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\quad \Rightarrow \quad i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\,\psi }$

no es útil por varias razones. La raíz cuadrada de los operadores no se puede utilizar tal como está; tendría que expandirse en una serie de potencias antes de que el operador de momento, elevado a una potencia en cada término, pudiera actuar sobre ψ . Como resultado de la serie de potencias, las derivadas de espacio y tiempo son completamente asimétricas : orden infinito en las derivadas de espacio pero solo de primer orden en la derivada de tiempo, lo cual es poco elegante y difícil de manejar. Nuevamente, está el problema de la no invariancia del operador de energía, equiparado a la raíz cuadrada que tampoco es invariante. Otro problema, menos obvio y más grave, es que se puede demostrar que no es local e incluso puede violar la causalidad : si la partícula está localizada inicialmente en un punto r ₀ de modo que ψ ( r ₀ , t = 0) es finito y cero en el resto del mundo, entonces en cualquier momento posterior la ecuación predice la deslocalización ψ ( r , t ) ≠ 0 en todas partes, incluso para | r | > ct , lo que significa que la partícula podría llegar a un punto antes que un pulso de luz. Esto debería solucionarse con la restricción adicional ψ ( | r | > ct , t ) = 0 . ^[15]

También existe el problema de incorporar el espín en el hamiltoniano, que no es una predicción de la teoría no relativista de Schrödinger. Las partículas con espín tienen un momento magnético de espín correspondiente cuantizado en unidades de μ _B , el magnetón de Bohr : ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-{\frac {g\mu _{B}}{\hbar }}{\hat {\mathbf {S} }}\,,\quad \left|{\boldsymbol {\mu }}_{S}\right|=-g\mu _{B}\sigma \,,}$

donde g es el factor g (de espín) de la partícula y S el operador de espín , por lo que interactúan con los campos electromagnéticos . Para una partícula en un campo magnético B aplicado externamente , el término de interacción ^[18]

${\displaystyle {\hat {H}}_{B}=-\mathbf {B} \cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}}$

debe añadirse al hamiltoniano no relativista anterior. Por el contrario, un hamiltoniano relativista introduce el espín automáticamente como un requisito para hacer cumplir la relación relativista entre energía y momento. ^[19]

Los hamiltonianos relativistas son análogos a los de la mecánica cuántica no relativista en el siguiente sentido: hay términos que incluyen masa en reposo y términos de interacción con campos aplicados externamente, similares al término clásico de energía potencial, así como términos de momento como el término clásico de energía cinética. Una diferencia clave es que los hamiltonianos relativistas contienen operadores de espín en forma de matrices , en las que la multiplicación de matrices se ejecuta sobre el índice de espín σ , por lo que en general un hamiltoniano relativista:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}(\mathbf {r} ,t,{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {S} }})}$

es una función del espacio, del tiempo y de los operadores de momento y de espín.

Las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac para partículas libres

Sustituir los operadores de energía y momento directamente en la relación energía-momento puede parecer atractivo a primera vista para obtener la ecuación de Klein-Gordon : ^[20]

${\displaystyle {\hat {E}}^{2}\psi =c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

y fue descubierta por muchas personas debido a la forma sencilla de obtenerla, en particular por Schrödinger en 1925 antes de que encontrara la ecuación no relativista que lleva su nombre, y por Klein y Gordon en 1927, quienes incluyeron interacciones electromagnéticas en la ecuación. Esta es relativistamente invariante , pero esta ecuación por sí sola no es una base suficiente para RQM por al menos dos razones: una es que los estados de energía negativa son soluciones, ^{[2] [21]} otra es la densidad (dada a continuación), y esta ecuación tal como está solo es aplicable a partículas sin espín. Esta ecuación se puede factorizar en la forma: ^{[22] [23]}

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\left({\hat {E}}+c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}\right)\psi =0\,,}$

donde α = ( α ₁ , α ₂ , α ₃ ) y β no son simplemente números o vectores, sino matrices hermíticas de 4 × 4 que se requieren para anticonmutar para i ≠ j :

${\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i},\quad \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,,}$

y eleva al cuadrado la matriz identidad :

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I\,,}$

de modo que los términos con derivadas mixtas de segundo orden se cancelan mientras que las derivadas de segundo orden puramente en el espacio y el tiempo permanecen. El primer factor:

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\psi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}}$

es la ecuación de Dirac . El otro factor también es la ecuación de Dirac, pero para una partícula de masa negativa . ^[22] Cada factor es relativistamente invariante. El razonamiento se puede hacer al revés: proponer el hamiltoniano en la forma anterior, como hizo Dirac en 1928, luego premultiplicar la ecuación por el otro factor de operadores E + c α · p + βmc ² , y la comparación con la ecuación de KG determina las restricciones en α y β . La ecuación de masa positiva puede seguir utilizándose sin pérdida de continuidad. Las matrices que multiplican ψ sugieren que no es una función de onda escalar como se permite en la ecuación de KG, sino que debe ser una entidad de cuatro componentes. La ecuación de Dirac todavía predice soluciones de energía negativa, ^{[6] [24]} por lo que Dirac postuló que los estados de energía negativa siempre están ocupados, porque según el principio de Pauli , las transiciones electrónicas de niveles de energía positivos a negativos en los átomos estarían prohibidas. Consulte el mar de Dirac para obtener más detalles.

Densidades y corrientes

En mecánica cuántica no relativista, el módulo cuadrado de la función de onda ψ da la función de densidad de probabilidad ρ = | ψ | ² . Esta es la interpretación de Copenhague , alrededor de 1927. En mecánica cuántica relativista, si bien ψ ( r , t ) es una función de onda, la interpretación de probabilidad no es la misma que en la mecánica cuántica no relativista. Algunas ecuaciones cuánticas relativistas no predicen una densidad de probabilidad ρ o una corriente de probabilidad j (que en realidad significa densidad de corriente de probabilidad ) porque no son funciones definidas positivas del espacio y el tiempo. La ecuación de Dirac sí lo hace: ^[25]

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi ,\quad \mathbf {j} =\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\boldsymbol {\gamma }}\psi \quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi }$

donde la daga denota el adjunto hermítico (los autores suelen escribir ψ = ψ ^† γ ⁰ para el adjunto de Dirac ) y J ^μ es la probabilidad de cuatro corrientes , mientras que la ecuación de Klein–Gordon no lo hace: ^[26]

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,,\quad \mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

donde ∂ ^μ es el gradiente cuádruple . Dado que los valores iniciales de ψ y ∂ ψ /∂ t pueden elegirse libremente, la densidad puede ser negativa.

En cambio, lo que a primera vista parece una "densidad de probabilidad" y una "corriente de probabilidad" debe reinterpretarse como densidad de carga y densidad de corriente cuando se multiplica por la carga eléctrica . Entonces, la función de onda ψ no es una función de onda en absoluto, sino que se reinterpreta como un campo . ^[15] La densidad y la corriente de carga eléctrica siempre satisfacen una ecuación de continuidad :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,}$

Como la carga es una cantidad que se conserva , la densidad de probabilidad y la corriente también satisfacen una ecuación de continuidad porque la probabilidad se conserva, pero esto solo es posible en ausencia de interacciones.

Espín y partículas que interactúan electromagnéticamente

Incluir interacciones en RWE es generalmente difícil. El acoplamiento mínimo es una forma sencilla de incluir la interacción electromagnética. Para una partícula cargada de carga eléctrica q en un campo electromagnético, dada por el potencial vectorial magnético A ( r , t ) definido por el campo magnético B = ∇ × A , y el potencial escalar eléctrico ϕ ( r , t ) , esto es: ^[27]

${\displaystyle {\hat {E}}\rightarrow {\hat {E}}-q\phi \,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \quad \rightleftharpoons \quad {\hat {P}}_{\mu }\rightarrow {\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu }}$

donde P _μ es el cuadri-momento que tiene un operador de cuadri-momento correspondiente y A _μ el cuadri-potencial . En lo que sigue, el límite no relativista se refiere a los casos límite:

${\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}\,,\quad \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,,}$

es decir, la energía total de la partícula es aproximadamente la energía en reposo para potenciales eléctricos pequeños, y el momento es aproximadamente el momento clásico.

Girar 0

En RQM, la ecuación KG admite la prescripción de acoplamiento mínimo;

${\displaystyle {({\hat {E}}-q\phi )}^{2}\psi =c^{2}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })}{({\hat {P}}^{\mu }-qA^{\mu })}-{(mc)}^{2}\right]\psi =0.}$

En el caso en que la carga es cero, la ecuación se reduce trivialmente a la ecuación KG libre, por lo que a continuación se supone una carga distinta de cero. Esta es una ecuación escalar que es invariante bajo la representación escalar unidimensional irreducible (0,0) del grupo de Lorentz. Esto significa que todas sus soluciones pertenecerán a una suma directa de representaciones (0,0) . Las soluciones que no pertenecen a la representación irreducible (0,0) tendrán dos o más componentes independientes . Tales soluciones no pueden, en general, describir partículas con espín distinto de cero, ya que los componentes de espín no son independientes. Para ello, se deberá imponer otra restricción, por ejemplo, la ecuación de Dirac para el espín  .1/2⁠ , ver más abajo. Por lo tanto, si un sistema satisface solo la ecuación KG , solo puede interpretarse como un sistema con espín cero.

El campo electromagnético se trata de manera clásica según las ecuaciones de Maxwell y la partícula se describe mediante una función de onda, la solución de la ecuación de KG. La ecuación, tal como está, no siempre es muy útil, porque las partículas sin espín masivas, como los mesones π , experimentan la interacción fuerte mucho más intensa además de la interacción electromagnética. Sin embargo, describe correctamente a los bosones sin espín cargados en ausencia de otras interacciones.

La ecuación KG es aplicable a bosones cargados sin espín en un potencial electromagnético externo. ^[2] Como tal, la ecuación no se puede aplicar a la descripción de átomos, ya que el electrón es un espín  .1/2⁠ partícula. En el límite no relativista la ecuación se reduce a la ecuación de Schrödinger para una partícula cargada sin espín en un campo electromagnético: ^[18]

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi ={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}+q\phi .}$

Girar⁠1/2⁠

De manera no relativista, el espín fue introducido fenomenológicamente en la ecuación de Pauli por Pauli en 1927 para partículas en un campo electromagnético :

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\left[{\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}\right]\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}+q\phi }$

por medio de las matrices de Pauli 2 × 2 , y ψ no es simplemente una función de onda escalar como en la ecuación de Schrödinger no relativista, sino un campo de espinor de dos componentes :

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow }\\\psi _{\downarrow }\end{pmatrix}}}$

donde los subíndices ↑ y ↓ se refieren al "spin up" ( σ = + ⁠1/2⁠ ) ​​y "espín hacia abajo" ( σ = − ⁠1/2⁠ ) ​​estados. ^[b]

En RQM, la ecuación de Dirac también puede incorporar un acoplamiento mínimo, reescrito desde arriba;

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}-mc^{2}\right]\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma ^{\mu }({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })-mc^{2}\right]\psi =0}$

y fue la primera ecuación en predecir con precisión el espín, una consecuencia de las matrices gamma 4 × 4 γ ⁰ = β , γ = ( γ ₁ , γ ₂ , γ ₃ ) = β α = ( βα ₁ , βα ₂ , βα ₃ ) . Hay una matriz identidad 4 × 4 que premultiplica el operador de energía (incluido el término de energía potencial), convencionalmente no escrito para simplificar y aclarar (es decir, tratado como el número 1). Aquí ψ es un campo de espinores de cuatro componentes, que se divide convencionalmente en dos espinores de dos componentes en la forma: ^[c]

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{+\uparrow }\\\psi _{+\downarrow }\\\psi _{-\uparrow }\\\psi _{-\downarrow }\end{pmatrix}}}$

El 2-espinor ψ ₊ corresponde a una partícula con 4-momento ( E , p ) y carga q y dos estados de espín ( σ = ± ⁠1/2⁠ , como antes). El otro 2-espinor ψ ₋ corresponde a una partícula similar con los mismos estados de masa y espín, pero4-momento negativo −( E , p ) ycarga negativa − q , es decir, estados de energía negativos, momento invertido en el tiempo y carga negada . Esta fue la primera interpretación y predicción de una partícula y su correspondiente antipartícula . Véase espinor y bispinor de Dirac para una descripción más detallada de estos espinores. En el límite no relativista, la ecuación de Dirac se reduce a la ecuación de Pauli (véase la ecuación de Dirac para saber cómo). Cuando se aplica a un átomo o ion de un electrón, fijando A = 0 y ϕ en el potencial electrostático apropiado, los términos relativistas adicionales incluyen la interacción espín-órbita , la relación giromagnética del electrón y el término de Darwin . En la mecánica cuántica ordinaria, estos términos deben introducirse a mano y tratarse utilizando la teoría de perturbaciones . Las energías positivas explican con precisión la estructura fina.

Dentro de RQM, para partículas sin masa la ecuación de Dirac se reduce a:

${\displaystyle \left({\frac {\hat {E}}{c}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{+}=0\,,\quad \left({\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{-}=0\quad \rightleftharpoons \quad \sigma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }\psi _{+}=0\,,\quad \sigma _{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi _{-}=0\,,}$

la primera de las cuales es la ecuación de Weyl , una simplificación considerable aplicable para neutrinos sin masa . ^[28] Esta vez hay una matriz identidad 2 × 2 que premultiplica el operador de energía convencionalmente no escrito. En RQM es útil tomar esto como la matriz de Pauli cero σ ₀ que se acopla al operador de energía (derivada del tiempo), así como las otras tres matrices se acoplan al operador de momento (derivadas espaciales).

Las matrices de Pauli y gamma se introdujeron aquí, en física teórica, más que en matemáticas puras . Tienen aplicaciones para los cuaterniones y para los grupos de Lie SO(2) y SO(3) , porque satisfacen las importantes relaciones de conmutador [ , ] y anticonmutador [ , ] ₊ respectivamente:

${\displaystyle \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,,\quad \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]_{+}=2\delta _{ab}\sigma _{0}}$

donde ε _abc es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Las matrices gamma forman bases en el álgebra de Clifford y tienen una conexión con los componentes de la métrica de Minkowski del espacio-tiempo plano η ^αβ en la relación de anticonmutación:

${\displaystyle \left[\gamma ^{\alpha },\gamma ^{\beta }\right]_{+}=\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }+\gamma ^{\beta }\gamma ^{\alpha }=2\eta ^{\alpha \beta }\,,}$

(Esto puede extenderse al espacio-tiempo curvo introduciendo vierbeins , pero no es el tema de la relatividad especial).

En 1929, se descubrió que la ecuación de Breit describía dos o más partículas de espín masivas que interactuaban electromagnéticamente  .1/2⁠ fermiones a correcciones relativistas de primer orden; uno de los primeros intentos de describir un sistema cuántico relativista de múltiples partículas . Sin embargo, esto es solo una aproximación, y el hamiltoniano incluye numerosas sumas largas y complicadas.

Helicidad y quiralidad

El operador de helicidad se define por;

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {\hat {\mathbf {p} }}{|\mathbf {p} |}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}}$

donde p es el operador de momento, S el operador de espín para una partícula de espín s , E es la energía total de la partícula y m ₀ su masa en reposo. La helicidad indica las orientaciones de los vectores de momento de espín y traslación. ^[29] La helicidad depende del marco debido al 3-momento en la definición, y está cuantizada debido a la cuantización de espín, que tiene valores positivos discretos para la alineación paralela y valores negativos para la alineación antiparalela.

Una ocurrencia automática en la ecuación de Dirac (y la ecuación de Weyl) es la proyección del espín  ⁠1/2⁠ operador en el momento 3 (por c ), σ · c p , que es la helicidad (para el espín  ⁠1/2⁠ caso) veces . ${\displaystyle {\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}$

Para partículas sin masa la helicidad se simplifica a:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}}$

Giros más altos

La ecuación de Dirac sólo puede describir partículas de espín  .1/2⁠ . Más allá de la ecuación de Dirac, los RWE se han aplicado a partículas libres de varios espines. En 1936, Dirac extendió su ecuación a todos los fermiones, tres años después Fierz y Pauli derivaron la misma ecuación. ^[30] Las ecuaciones de Bargmann-Wigner se encontraron en 1948 utilizando la teoría de grupos de Lorentz, aplicables a todas las partículas libres con cualquier espín. ^{[31] [32]} Considerando la factorización de la ecuación KG anterior, y más rigurosamente mediante la teoría de grupos de Lorentz , se hace evidente introducir el espín en forma de matrices.

Las funciones de onda son campos de espinores multicomponentes , que pueden representarse como vectores columna de funciones del espacio y del tiempo:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

donde la expresión de la derecha es el conjugado hermítico . Para una partícula masiva de espín s , hay 2 componentes s + 1 para la partícula y otros 2 s + 1 para la antipartícula correspondiente (hay 2 valores σ posibles de s + 1 en cada caso), formando en conjunto un campo de espinores de 2(2 s + 1) componentes:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{+,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{-,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }{\begin{bmatrix}{\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

donde el subíndice + indica la partícula y el subíndice − la antipartícula. Sin embargo, para partículas sin masa de espín s , solo hay campos de espinor de dos componentes; uno es para la partícula en un estado de helicidad correspondiente a + s y el otro para la antipartícula en el estado de helicidad opuesto correspondiente a − s :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}}$

Según la relación energía-momento relativista, todas las partículas sin masa viajan a la velocidad de la luz, por lo que las partículas que viajan a la velocidad de la luz también se describen mediante espinores de dos componentes. Históricamente, Élie Cartan encontró la forma más general de espinores en 1913, antes de los espinores revelados en los RWE posteriores al año 1927.

Para las ecuaciones que describen partículas de espín superior, la inclusión de interacciones no es ni de lejos un acoplamiento mínimo tan simple, sino que conduce a predicciones incorrectas y a autoinconsistencias. ^[33] Para espines mayores que ⁠es/2⁠ , el RWE no está fijado por la masa, el espín y la carga eléctrica de la partícula; los momentos electromagnéticos ( momentos dipolares eléctricos y momentos dipolares magnéticos ) permitidos por el número cuántico de espín son arbitrarios. (Teóricamente, la carga magnética también contribuiría). Por ejemplo, el espín  ⁠1/2⁠ Este caso solo permite un dipolo magnético, pero para partículas de espín 1 también son posibles los cuadrupolos magnéticos y los dipolos eléctricos. ^[28] Para más información sobre este tema, véase la expansión multipolar y (por ejemplo) Cédric Lorcé (2009). ^{[34] [35]}

Operador de velocidad

El operador de velocidad de Schrödinger/Pauli se puede definir para una partícula masiva utilizando la definición clásica p = m v , y sustituyendo los operadores cuánticos de la forma habitual: ^[36]

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{m}}{\hat {\mathbf {p} }}}$

que tiene valores propios que toman cualquier valor. En RQM, la teoría de Dirac, es:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {r} }}\right]}$

que deben tener valores propios entre ± c . Véase la transformación de Foldy–Wouthuysen para obtener más información teórica.

Lagrangianos cuánticos relativistas

Los operadores hamiltonianos en la imagen de Schrödinger son un enfoque para formar las ecuaciones diferenciales para ψ . Una alternativa equivalente es determinar un lagrangiano (que en realidad significa densidad lagrangiana ) y luego generar la ecuación diferencial mediante la ecuación de Euler-Lagrange de teoría de campos :

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,}$

En algunos RWE, se puede encontrar un lagrangiano mediante inspección. Por ejemplo, el lagrangiano de Dirac es: ^[37]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(\gamma ^{\mu }P_{\mu }-mc)\psi }$

y el lagrangiano de Klein-Gordon es:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\psi ^{*}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}\psi ^{*}\psi \,.}$

Esto no es posible para todos los RWE; y es una de las razones por las que el enfoque teórico de grupos de Lorentz es importante y atractivo: la invariancia fundamental y las simetrías en el espacio y el tiempo se pueden utilizar para derivar RWE utilizando representaciones de grupo apropiadas. El enfoque lagrangiano con interpretación de campo de ψ es el tema de la QFT en lugar de la RQM: la formulación de la integral de trayectoria de Feynman utiliza lagrangianos invariantes en lugar de operadores hamiltonianos, ya que estos últimos pueden volverse extremadamente complicados, véase (por ejemplo) Weinberg (1995). ^[38]

Momento angular cuántico relativista

En la mecánica cuántica no relativista, el operador de momento angular se forma a partir de la definición clásica de pseudovector L = r × p . En la mecánica cuántica retórica, los operadores de posición y momento se insertan directamente donde aparecen en el tensor de momento angular relativista orbital definido a partir de la posición y el momento de cuatro dimensiones de la partícula, equivalente a un bivector en el formalismo del álgebra exterior : ^{[39] [d]}

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} \,,}$

que son seis componentes en total: tres son los momentos angulares triorbitales no relativistas; M ¹² = L ³ , M ²³ = L ¹ , M ³¹ = L ² , y los otros tres M ⁰¹ , M ⁰² , M ⁰³ son impulsos del centro de masa del objeto giratorio. Se debe agregar un término relativista-cuántico adicional para partículas con espín. Para una partícula de masa en reposo m , el tensor de momento angular total es:

${\displaystyle J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}+{\frac {1}{m^{2}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }W_{\gamma }p_{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {J} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} +{\frac {1}{m^{2}}}\star (\mathbf {W} \wedge \mathbf {P} )}$

donde la estrella denota el dual de Hodge , y

${\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }M^{\beta \gamma }p^{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {W} =\star (\mathbf {M} \wedge \mathbf {P} )}$

es el pseudovector de Pauli–Lubanski . ^[40] Para más información sobre el espín relativista, véase (por ejemplo) Troshin & Tyurin (1994). ^[41]

Precesión de Thomas e interacciones espín-órbita

En 1926 se descubre la precesión de Thomas : correcciones relativistas al espín de partículas elementales con aplicación en la interacción espín-órbita de los átomos y la rotación de objetos macroscópicos. ^{[42] [43]} En 1939 Wigner derivó la precesión de Thomas.

En el electromagnetismo clásico y la relatividad especial , un electrón que se mueve con una velocidad v a través de un campo eléctrico E pero no de un campo magnético B , experimentará en su propio marco de referencia un campo magnético transformado de Lorentz B′ :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.}$

En el límite no relativista v << c :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\,,}$

Por lo tanto, el hamiltoniano de interacción de espín no relativista se convierte en: ^[44]

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,,}$

donde el primer término ya es la interacción del momento magnético no relativista, y el segundo término la corrección relativista de orden ( v/c )² , pero esto no concuerda con los espectros atómicos experimentales por un factor de 1 ⁄ 2 . L. Thomas señaló que hay un segundo efecto relativista: un componente de campo eléctrico perpendicular a la velocidad del electrón causa una aceleración adicional del electrón perpendicular a su velocidad instantánea, por lo que el electrón se mueve en una trayectoria curva. El electrón se mueve en un marco de referencia giratorio , y esta precesión adicional del electrón se llama precesión de Thomas . Se puede demostrar ^[45] que el resultado neto de este efecto es que la interacción espín-órbita se reduce a la mitad, como si el campo magnético experimentado por el electrón tuviera solo la mitad del valor, y la corrección relativista en el hamiltoniano fuera:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{2c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,.}$

En el caso de RQM, el factor de 1 ⁄ 2 se predice mediante la ecuación de Dirac. ^[44]

Historia

Los eventos que llevaron a la RQM y la establecieron, y la continuación más allá en la electrodinámica cuántica (QED), se resumen a continuación [ver, por ejemplo, R. Resnick y R. Eisberg (1985), ^[46] y PW Atkins (1974) ^[47] ]. Más de medio siglo de investigación experimental y teórica desde la década de 1890 hasta la década de 1950 en la nueva y misteriosa teoría cuántica tal como estaba surgiendo reveló que una serie de fenómenos no pueden explicarse solo por la QM. Se encontró que la SR, encontrada a principios del siglo XX, era un componente necesario , lo que llevó a la unificación: RQM. Las predicciones teóricas y los experimentos se centraron principalmente en la física atómica recién descubierta , la física nuclear y la física de partículas ; al considerar la espectroscopia , la difracción y dispersión de partículas, y los electrones y núcleos dentro de los átomos y las moléculas. Numerosos resultados se atribuyen a los efectos del espín.

Descripción relativista de partículas en fenómenos cuánticos

Albert Einstein explicó en 1905 el efecto fotoeléctrico , una descripción de la luz como fotones en forma de partículas . En 1916, Sommerfeld explicó la estructura fina , la división de las líneas espectrales de los átomos debido a correcciones relativistas de primer orden. El efecto Compton de 1923 proporcionó más evidencia de que la relatividad especial sí se aplica; en este caso a una descripción de la dispersión fotón-electrón en forma de partículas. De Broglie extiende la dualidad onda-partícula a la materia : las relaciones de De Broglie , que son consistentes con la relatividad especial y la mecánica cuántica. En 1927, Davisson y Germer y, por separado, G. Thomson difractan con éxito los electrones, lo que proporciona evidencia experimental de la dualidad onda-partícula.

Experimentos

• 1897 JJ Thomson descubre el electrón y mide su relación masa/carga . Descubrimiento del efecto Zeeman : la división de una línea espectral en varios componentes en presencia de un campo magnético estático.
• 1908 Millikan mide la carga del electrón y encuentra evidencia experimental de su cuantificación, en el experimento de la gota de aceite .
• La dispersión de partículas alfa de 1911 en el experimento Geiger-Marsden , dirigido por Rutherford , mostró que los átomos poseen una estructura interna: el núcleo atómico . ^[48]
• 1913 Se descubre el efecto Stark : división de líneas espectrales debido a un campo eléctrico estático (compárese con el efecto Zeeman).
• Experimento de Stern-Gerlach de 1922 : evidencia experimental del espín y su cuantificación.
• 1924 Stoner estudia la división de los niveles de energía en los campos magnéticos .
• 1932 Descubrimiento experimental del neutrón por Chadwick y de los positrones por Anderson , confirmando la predicción teórica de los positrones.
• 1958 Descubrimiento del efecto Mössbauer : emisión y absorción resonante y sin retroceso de radiación gamma por núcleos atómicos unidos en un sólido, útil para mediciones precisas del corrimiento al rojo gravitacional y la dilatación del tiempo , y en el análisis de momentos electromagnéticos nucleares en interacciones hiperfinas . ^[49]

No localidad cuántica y localidad relativista

En 1935, Einstein, Rosen y Podolsky publicaron un artículo ^[50] sobre el entrelazamiento cuántico de partículas, cuestionando la no localidad cuántica y la aparente violación de la causalidad sostenida en la RS: las partículas pueden parecer interactuar instantáneamente a distancias arbitrarias. Esto era un concepto erróneo ya que la información no se transfiere y no puede transferirse en los estados entrelazados; más bien, la transmisión de información está en proceso de medición por dos observadores (un observador tiene que enviar una señal al otro, que no puede exceder c ). La MQ no viola la RS. ^{[51] [52]} En 1959, Bohm y Aharonov publican un artículo ^[53] sobre el efecto Aharonov-Bohm , cuestionando el estado de los potenciales electromagnéticos en la MQ. Las formulaciones del tensor de campo EM y del potencial EM de 4 son aplicables en la RS, pero en la MQ los potenciales entran en el hamiltoniano (ver arriba) e influyen en el movimiento de partículas cargadas incluso en regiones donde los campos son cero. En 1964, el teorema de Bell se publicó en un artículo sobre la paradoja EPR, ^[54] que mostraba que la mecánica cuántica no puede derivarse de teorías locales de variables ocultas si se quiere mantener la localidad.

El turno del cordero

En 1947 se descubrió el desplazamiento de Lamb: una pequeña diferencia en los niveles de hidrógeno ² S _{1 ⁄ 2} y ² P _{1 ⁄ 2} , debido a la interacción entre el electrón y el vacío. Lamb y Retherford miden experimentalmente las transiciones de radiofrecuencia estimuladas de los niveles de hidrógeno ² S _{1 ⁄ 2} y ² P _{1 ⁄ 2} mediante radiación de microondas . ^[55] Bethe presenta una explicación del desplazamiento de Lamb . A principios de los años 50 se publicaron artículos sobre el efecto. ^[56]

Desarrollo de la electrodinámica cuántica

• 1927 Dirac establece el campo de la QED, acuñando también el término "electrodinámica cuántica". ^[57]
• 1943 Tomonaga comienza a trabajar en la renormalización , influyente en la QED.
• 1947 Schwinger calcula el momento magnético anómalo del electrón . Kusch mide el momento magnético anómalo del electrón, confirmando una de las grandes predicciones de la QED.

Véase también

Notas al pie

1. Otras notaciones comunes incluyen m _s y s _z etc., pero esto abarrotaría las expresiones con subíndices innecesarios. Los subíndices σ que etiquetan los valores de espín no deben confundirse con los índices tensoriales ni con las matrices de Pauli .
2. Esta notación de espín no es necesariamente estándar; la literatura generalmente escribe o etc., pero en el contexto del espín  ⁠ ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\chi \\\eta \end{pmatrix}}}$1/2⁠ , esta identificación informal se hace comúnmente.
3. Nuevamente, esta notación no es necesariamente estándar, la literatura más avanzada generalmente escribe

   ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}}$etc.,

   pero aquí mostramos informalmente la correspondencia de los estados de energía, helicidad y espín.
4. Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras latinas en esta definición, aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.

Referencias

1. Perkins, DH (2000). Introducción a la física de altas energías. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62196-0.
2. Martin, BR; Shaw, G. (3 de diciembre de 2008). Física de partículas . Manchester Physics Series (3.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
3. Reiher, M.; Wolf, A. (2009). Química cuántica relativista. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-62749-3.
4. Strange, P. (1998). Mecánica cuántica relativista: con aplicaciones en materia condensada y física atómica. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56583-7.
5. Mohn, P. (2003). Magnetismo en el estado sólido: una introducción. Serie Springer en Solid-State Sciences Series. Vol. 134. Springer. p. 6. ISBN 978-3-540-43183-1.
6. Martin, BR; Shaw, G. (3 de diciembre de 2008). Física de partículas . Manchester Physics Series (3.ª ed.). John Wiley & Sons. págs. 5-6. ISBN 978-0-470-03294-7.
7. Messiah, A. (1981). Mecánica cuántica. Vol. 2. North-Holland Publishing Company. pág. 875. ISBN 978-0-7204-0045-8.
8. Schweber, Silvan S. (1994). QED y los hombres que la crearon: Dyson, Feynman, Schwinger y Tomonaga . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pág. 573. ISBN 978-0-691-21328-6.
9. Bhaumik, Mani L. (2022). "Cómo las contribuciones fundamentales de Dirac allanan el camino para comprender los diseños más profundos de la naturaleza". Quanta . 8 (1): 88–100. arXiv : 2209.03937 . doi :10.12743/quanta.v8i1.96. S2CID  212835814.
10. Forshaw, JR; Smith, AG (2009). Dinámica y relatividad . Manchester Physics Series. John Wiley & Sons. págs. 258-259. ISBN 978-0-470-01460-8.
11. Greiner, W. (2000). Mecánica cuántica relativista. Ecuaciones de onda (3.ª ed.). Springer. pág. 70. ISBN 978-3-540-67457-3.
12. Wachter, A. (2011). "Mecánica cuántica relativista". Springer. pág. 34. ISBN 978-90-481-3645-2.
13. Weinberg, S. (1964). "Reglas de Feynman para cualquier espín" (PDF) . Phys. Rev . 133 (5B): B1318–B1332. Código Bibliográfico :1964PhRv..133.1318W. doi :10.1103/PhysRev.133.B1318. Archivado desde el original (PDF) el 2020-12-04 . Consultado el 2014-08-24 .; Weinberg, S. (1964). "Reglas de Feynman para cualquier espín. II. Partículas sin masa" (PDF) . Phys. Rev . 134 (4B): B882–B896. Código Bibliográfico :1964PhRv..134..882W. doi :10.1103/PhysRev.134.B882. Archivado desde el original (PDF) el 2022-03-09 . Consultado el 2013-04-14 .
    ; Weinberg, S. (1969). "Reglas de Feynman para cualquier espín. III" (PDF) . Phys. Rev . 181 (5): 1893–1899. Código Bibliográfico :1969PhRv..181.1893W. doi :10.1103/PhysRev.181.1893. Archivado desde el original (PDF) el 2022-03-25 . Consultado el 2013-04-14 .
    
14. Masakatsu, K. (2012). "Problema de superradiancia de bosones y fermiones para agujeros negros rotatorios en la formulación de Bargmann-Wigner". arXiv : 1208.0644 [gr-qc].
15. Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. págs. 1193–1194. ISBN 978-0-07-051400-3.
16. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 274. ISBN 978-0-471-87373-0.
17. Landau, LD; Lifshitz, EM (1981). Teoría no relativista de la mecánica cuántica. Vol. 3. Elsevier. p. 455. ISBN 978-0-08-050348-6.
18. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica Cuántica . Esquemas de Shaum (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 181.ISBN​ 978-0-07-162358-2.
19. Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pág. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
20. Wachter, A. (2011). "Mecánica cuántica relativista". Springer. pág. 5. ISBN 978-90-481-3645-2.
21. Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pág. 415. ISBN 978-0-13-146100-0.
22. Penrose, R. (2005). El camino hacia la realidad . Vintage Books. págs. 620–621. ISBN 978-0-09-944068-0.
23. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas (1.ª ed.). Prentice Hall. pág. 634. ISBN 978-0-582-44401-0.
24. Grandy, WT (1991). Mecánica cuántica relativista de leptones y campos. Springer. pág. 54. ISBN 978-0-7923-1049-5.
25. Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pág. 423. ISBN 978-0-13-146100-0.
26. McMahon, D. (2008). Teoría cuántica de campos . Desmitificada. McGraw Hill. pág. 114. ISBN 978-0-07-154382-8.
27. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas (1.ª ed.). Prentice Hall. pp. 632–635. ISBN 978-0-582-44401-0.
28. Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. pág. 1194. ISBN 978-0-07-051400-3..
29. Labelle, P. (2010). Supersimetría . Desmitificada. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4.
30. Esposito, S. (2011). "En busca de una ecuación: Dirac, Majorana y los otros". Anales de Física . 327 (6): 1617–1644. arXiv : 1110.6878 . Código Bibliográfico :2012AnPhy.327.1617E. doi :10.1016/j.aop.2012.02.016. S2CID  119147261.
31. Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas". Proc. Natl. Sci. USA . 34 (5): 211–23. Bibcode :1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID  16578292. 
32. Wigner, E. (1937). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bibliográfico :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. S2CID  121773411. Archivado desde el original (PDF) el 2015-10-04 . Consultado el 2013-04-14 .
33. Jaroszewicz, T.; Kurzepa, PS (1992). "Geometría de la propagación espaciotemporal de partículas giratorias". Anales de Física . 216 (2): 226–267. Código Bibliográfico :1992AnPhy.216..226J. doi :10.1016/0003-4916(92)90176-M.
34. Lorcé, Cédric (2009). "Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: Parte 1 − Corriente electromagnética y descomposición multipolar". arXiv : 0901.4199 [hep-ph].
35. Lorcé, Cédric (2009). "Propiedades electromagnéticas para partículas de espín arbitrario: Parte 2 − Momentos naturales y densidades de carga transversal". Physical Review D . 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Código Bibliográfico :2009PhRvD..79k3011L. doi :10.1103/PhysRevD.79.113011. S2CID  17801598.
36. Strange, P. (1998). Mecánica cuántica relativista: con aplicaciones en materia condensada y física atómica. Cambridge University Press. pág. 206. ISBN 978-0-521-56583-7.
37. Labelle, P. (2010). Supersimetría . Desmitificada. McGraw-Hill. pág. 14. ISBN 978-0-07-163641-4.
38. Weinberg, S. (1995). La teoría cuántica de campos. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7.
39. Penrose, R. (2005). El camino hacia la realidad . Vintage Books. págs. 437, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0.
40. Ryder, LH (1996). Teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 62. ISBN 978-0-521-47814-4.
41. Troshin, SM; Tyurin, NE (1994). Fenómenos de espín en interacciones de partículas. World Scientific. Bibcode :1994sppi.book.....T. ISBN 978-981-02-1692-4.
42. Misner, CW ; Thorne, KS ; Wheeler, JA (15 de septiembre de 1973). Gravitación . Macmillan. pág. 1146. ISBN. 978-0-7167-0344-0.
43. Ciufolini, I.; Matzner, RRA (2010). Relatividad general y John Archibald Wheeler. Springer. pág. 329. ISBN 978-90-481-3735-0.
44. Kroemer, H. (2003). "El factor de precesión de Thomas en la interacción espín-órbita" (PDF) . American Journal of Physics . 72 (1): 51–52. arXiv : physics/0310016 . Bibcode :2004AmJPh..72...51K. doi :10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
45. Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. pág. 548. ISBN 978-0-471-30932-1.
46. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. págs. 57, 114–116, 125–126, 272. ISBN 978-0-471-87373-0.
47. Atkins, PW (1974). Quanta: un manual de conceptos . Oxford University Press. págs. 168-169, 176, 263, 228. ISBN. 978-0-19-855493-6.
48. Krane, KS (1988). Introducción a la física nuclear . John Wiley & Sons. págs. 396–405. ISBN 978-0-471-80553-3.
49. Krane, KS (1988). Introducción a la física nuclear . John Wiley & Sons. págs. 361–370. ISBN 978-0-471-80553-3.
50. Einstein, A.; Podolsky, B.; Rosen, N. (1935). "¿Puede considerarse completa la descripción mecánico-cuántica de la realidad física?" (PDF) . Phys. Rev . 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
51. Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pág. 192. ISBN 978-0-13-146100-0.
52. Penrose, R. (2005). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-09-944068-0. Capítulo 23 : El mundo cuántico entrelazado
53. Aharonov, Y.; Bohm, D. (1959). "Significado de los potenciales electromagnéticos en la teoría cuántica". Physical Review . 115 (3): 485–491. Bibcode :1959PhRv..115..485A. doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
54. Bell, John (1964). "Sobre la paradoja de Einstein Podolsky-Rosen" (PDF) . Física . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
55. Lamb, Willis E. ; Retherford, Robert C. (1947). "Estructura fina del átomo de hidrógeno mediante un método de microondas". Physical Review . 72 (3): 241–243. Bibcode :1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
56. , WE Jr. y Retherford, RC (1950). "Estructura fina del átomo de hidrógeno. Parte I". Phys. Rev. 79 (4): 549–572. Código Bibliográfico :1950PhRv...79..549L. doi :10.1103/PhysRev.79.549.
    Lamb, WE Jr. y Retherford, RC (1951). "Estructura fina del átomo de hidrógeno. Parte II". Phys. Rev . 81 (2): 222–232. Código Bibliográfico :1951PhRv...81..222L. doi :10.1103/PhysRev.81.222.Lamb, WE Jr. (1952). "Estructura fina del átomo de hidrógeno. III". Phys. Rev . 85 (2): 259–276. Bibcode :1952PhRv...85..259L. doi :10.1103/PhysRev.85.259. PMID  17775407.
    Lamb, WE Jr. y Retherford, RC (1952). "Estructura fina del átomo de hidrógeno. IV". Phys. Rev . 86 (6): 1014–1022. Bibcode :1952PhRv...86.1014L. doi :10.1103/PhysRev.86.1014. PMID  17775407.
    Triebwasser, S.; Dayhoff, ES y Lamb, WE Jr. (1953). "Estructura fina del átomo de hidrógeno. V". Phys. Rev . 89 (1): 98–106. Código Bibliográfico :1953PhRv...89...98T. doi :10.1103/PhysRev.89.98.
57. Dirac, Paul (1 de marzo de 1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de la radiación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 114 (767): 243–265. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . ISSN  0950-1207.

Libros seleccionados

• Dirac, PAM (1981). Principios de mecánica cuántica (4.ª ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0-19-852011-5.
• Dirac, PAM (1964). Lecciones sobre mecánica cuántica. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41713-4.
• Thaller, B. (2010). La ecuación de Dirac. Springer. ISBN 978-3-642-08134-7.
• Pauli, W. (1980). Principios generales de la mecánica cuántica. Springer. ISBN 978-3-540-09842-3.
• Merzbacher, E. (1998). Mecánica cuántica (3.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Messiah, A. (1961). Mecánica cuántica . Vol. 1. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-59766-7.
• Bjorken, JD; Drell, SD (1964). Mecánica cuántica relativista (física pura y aplicada) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-005493-6.
• Feynman, RP; Leighton, RB; Sands, M. (1965). Feynman Lectures on Physics. Vol. 3. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02118-9.
• Schiff, LI (1968). Mecánica cuántica (3.ª ed.). McGraw-Hill.
• Dyson, F. (2011). Mecánica cuántica avanzada (2.ª ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4383-40-0.
• Clifton, RK (2011). Perspectivas sobre la realidad cuántica: no relativista, relativista y de teoría de campos. Springer. ISBN 978-90-481-4643-7.
• Tannoudji, C .; Diu, B.; Laloë, F. (1977). Mecánica Cuántica . vol. 1. Wiley VCH. ISBN 978-0-471-16433-3.
• Tannoudji, C .; Diu, B.; Laloë, F. (1977). Mecánica Cuántica . vol. 2. Wiley VCH. ISBN 978-0-471-16435-7.
• Rae, AIM (2008). Mecánica cuántica. Vol. 2 (5.ª ed.). Taylor & Francis. ISBN 978-1-58488-970-0.
• Pilkuhn, H. (2005). Mecánica cuántica relativista. Textos y monografías de la serie Física (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-540-28522-9.
• Parthasarathy, R. (2010). Mecánica cuántica relativista. Alpha Science International. ISBN 978-1-84265-573-3.
• Kaldor, U.; Wilson, S. (2003). Química teórica y física de elementos pesados ​​y superpesados. Springer. ISBN 978-1-4020-1371-3.
• Thaller, B. (2005). Mecánica cuántica visual avanzada. Springer. Bibcode :2005avqm.book.....T. ISBN 978-0-387-27127-9.
• Breuer, HP; Petruccione, F. (2000). Medición cuántica relativista y decoherencia. Springer. ISBN 978-3-540-41061-4. Mecánica cuántica relativista.
• Shepherd, PJ (2013). Un curso de física teórica. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-51692-8.
• Bethe, HA ; Jackiw, RW (1997). Mecánica cuántica intermedia . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-32831-8.
• Heitler, W. (1954). La teoría cuántica de la radiación (3.ª ed.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-64558-2.
• Gottfried, K.; Yan, T. (2003). Mecánica cuántica: fundamentos (2.ª ed.). Springer. pág. 245. ISBN 978-0-387-95576-6.
• Schwabl, F. (2010). Mecánica cuántica. Springer. pág. 220. ISBN 978-3-540-71933-5.
• Sachs, RG (1987). La física de la inversión del tiempo (2.ª ed.). University of Chicago Press. pág. 280. ISBN 978-0-226-73331-9.estructura hiperfina en mecánica cuántica relativista.

Teoría de grupos en la física cuántica

• Weyl, H. (1950). La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Courier Dover Publications. pág. 203. ISBN 9780486602691. momentos magnéticos en la mecánica cuántica relativista.
• Tung, WK (1985). Teoría de grupos en física. World Scientific. ISBN 978-9971-966-56-0.
• Heine, V. (1993). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-67585-5.

Artículos seleccionados

• Dirac, PAM (1932). "Mecánica cuántica relativista". Actas de la Royal Society A . 136 (829): 453–464. Bibcode :1932RSPSA.136..453D. doi : 10.1098/rspa.1932.0094 .
• Pauli, W. (1945). "Principio de exclusión y mecánica cuántica" (PDF) .
• Antoine, JP (2004). "Mecánica cuántica relativista". J. Phys. A . 37 (4): 1465. Bibcode :2004JPhA...37.1463P. CiteSeerX  10.1.1.499.2793 . doi :10.1088/0305-4470/37/4/B01.
• Henneaux, M.; Teitelboim, C. (1982). "Mecánica cuántica relativista de partículas supersimétricas". Vol. 143.
• Fanchi, JR (1986). "Parametrización de la mecánica cuántica relativista". Phys. Rev. A . 34 (3): 1677–1681. Bibcode :1986PhRvA..34.1677F. doi :10.1103/PhysRevA.34.1677. PMID  9897446.
• Ord, GN (1983). "Espacio-tiempo fractal: un análogo geométrico de la mecánica cuántica relativista". J. Phys. A . 16 (9): 1869–1884. Bibcode :1983JPhA...16.1869O. doi :10.1088/0305-4470/16/9/012.
• Coester, F.; Polyzou, WN (1982). "Mecánica cuántica relativista de partículas con interacciones directas". Phys. Rev. D . 26 (6): 1348–1367. Bibcode :1982PhRvD..26.1348C. doi :10.1103/PhysRevD.26.1348.
• Mann, RB; Ralph, TC (2012). "Información cuántica relativista". Clase. Quantum Grav . 29 (22): 220301. Bibcode :2012CQGra..29v0301M. doi :10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Low, SG (1997). "Mecánica cuántica relativista canónica: representaciones del grupo unitario semidirecto de Heisenberg, U(1,3) *s H(1,3)". J. Math. Phys . 38 (22): 2197–2209. arXiv : physics/9703008 . Código Bibliográfico :2012CQGra..29v0301M. doi :10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Fronsdal, C.; Lundberg, LE (1997). "Mecánica cuántica relativista de dos partículas en interacción". Phys. Rev. D . 1 (12): 3247–3258. arXiv : physics/9703008 . Código Bibliográfico :1970PhRvD...1.3247F. doi :10.1103/PhysRevD.1.3247.
• Bordovitsyn, VA; Myagkii, AN (2004). "Movimiento espín-orbital y precesión de Thomas en las teorías clásica y cuántica" (PDF) . American Journal of Physics . 72 (1): 51–52. arXiv : physics/0310016 . Bibcode :2004AmJPh..72...51K. doi :10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
• Rȩbilas, K. (2013). "Comentario sobre 'Análisis elemental de la combinación relativista especial de velocidades, rotación de Wigner y precesión de Thomas'"". Eur. J. Phys . 34 (3): L55–L61. Código Bibliográfico :2013EJPh...34L..55R. doi :10.1088/0143-0807/34/3/L55. S2CID  122527454.
• Corben, HC (1993). "Factores de 2 en momentos magnéticos, acoplamiento espín-órbita y precesión de Thomas". Am. J. Phys . 61 (6): 551. Bibcode :1993AmJPh..61..551C. doi :10.1119/1.17207.

Lectura adicional

Mecánica cuántica relativista y teoría de campos

• Ohlsson, T. (2011). Física cuántica relativista: de la mecánica cuántica avanzada a la teoría cuántica de campos introductoria. Cambridge University Press. pág. 10. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Aitchison, IJR; Hey, AJG (2002). Teorías de calibre en física de partículas: de la mecánica cuántica relativista a la QED. Vol. 1 (3.ª ed.). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8775-3.
• Griffiths, D. (2008). Introducción a las partículas elementales. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-61847-7.
• Capri, Anton Z. (2002). Mecánica cuántica relativista e introducción a la teoría cuántica de campos. World Scientific. Bibcode :2002rqmi.book.....C. ISBN 978-981-238-137-8.
• Wu, Ta-you ; Hwang, WY Pauchy (1991). Mecánica cuántica relativista y campos cuánticos. World Scientific. ISBN 978-981-02-0608-6.
• Nagashima, Y. (2010). Física de partículas elementales, Teoría cuántica de campos . Vol. 1. ISBN 978-3-527-40962-4.
• Bjorken, JD; Drell, SD (1965). Campos cuánticos relativistas (Física pura y aplicada) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-005494-3.
• Weinberg, S. (1996). La teoría cuántica de campos . Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55002-4.
• Weinberg, S. (2000). La teoría cuántica de campos . Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66000-6.
• Gross, F. (2008). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-61734-0.
• Nazarov, YV; Danon, J. (2013). Mecánica cuántica avanzada: una guía práctica. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76150-5.
• Bogolubov, NN (1989). Principios generales de la teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Springer. pág. 272. ISBN 978-0-7923-0540-8.
• Mandl, F.; Shaw, G. (2010). Teoría cuántica de campos (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49683-0.
• Lindgren, I. (2011). Teoría relativista de muchos cuerpos: un nuevo enfoque teórico de campos. Serie Springer sobre física atómica, óptica y del plasma. Vol. 63. Springer. ISBN 978-1-4419-8309-1.
• Grant, IP (2007). Teoría cuántica relativista de átomos y moléculas. Física atómica, óptica y del plasma. Springer. ISBN 978-0-387-34671-7.

Teoría cuántica y aplicaciones en general

• Aruldhas, G.; Rajagopal, P. (2005). Física moderna. PHI Learning Pvt. Ltd., pág. 395. ISBN 978-81-203-2597-5.
• Hummel, RE (2011). Propiedades electrónicas de los materiales. Springer. pág. 395. ISBN 978-1-4419-8164-6.
• Pavia, DL (2005). Introducción a la espectroscopia (4.ª ed.). Cengage Learning. pág. 105. ISBN 978-0-495-11478-9.
• Mizutani, U. (2001). Introducción a la teoría electrónica de los metales. Cambridge University Press. pág. 387. ISBN 978-0-521-58709-9.
• Choppin, GR (2002). Radioquímica y química nuclear (3.ª ed.). Butterworth-Heinemann. pág. 308. ISBN 978-0-7506-7463-8.
• Sitenko, AG (1990). Teoría de las reacciones nucleares. World Scientific. pág. 443. ISBN 978-9971-5-0482-3.
• Nolting, W.; Ramakanth, A. (2008). Teoría cuántica del magnetismo. Springer. ISBN 978-3-540-85416-6.
• Luth, H. (2013). Física cuántica en el nanomundo. Textos de posgrado en física. Springer. p. 149. ISBN 978-3-642-31238-0.
• Sattler, KD (2010). Manual de nanofísica: nanomateriales funcionales. CRC Press. págs. 40–43. ISBN 978-1-4200-7553-3.
• Kuzmany, H. (2009). Espectroscopia de estado sólido. Springer. pág. 256. ISBN 978-3-642-01480-2.
• Reid, JM (1984). El núcleo atómico (2.ª ed.). Manchester University Press. ISBN 978-0-7190-0978-5.
• Schwerdtfeger, P. (2002). Teoría relativista de la estructura electrónica. Fundamentos. Química teórica y computacional. Vol. 11. Elsevier. p. 208. ISBN 978-0-08-054046-7.
• Piela, L. (2006). Ideas de química cuántica. Elsevier. pág. 676. ISBN 978-0-08-046676-7.
• Kumar, M. (2009). Quantum (libro) . ISBN 978-1-84831-035-3.

Enlaces externos

• Pfeifer, W. (2008) [2004]. Mecánica cuántica relativista, una introducción.
• Lukačević, Igor (2013). "Mecánica cuántica relativista (apuntes de clase)" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de agosto de 2014.
• "Mecánica cuántica relativista" (PDF) . Laboratorio Cavendish . Universidad de Cambridge .
• Miller, David J. (2008). «Relativistic Quantum Mechanics» (PDF) . Universidad de Glasgow . Archivado desde el original (PDF) el 19 de diciembre de 2020. Consultado el 17 de noviembre de 2020 .
• Swanson, DG (2007). "Fundamentos y aplicaciones de la mecánica cuántica" . Alabama, EE. UU.: Taylor & Francis. pág. 160.
• Calvert, JB (2003). "El electrón como partícula y la precesión de Thomas".
• Arteha, SN "El giro y la precesión de Thomas".