Ecuación de Pauli

Ecuación mecánica cuántica del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético

En mecánica cuántica , la ecuación de Pauli o ecuación de Schrödinger-Pauli es la formulación de la ecuación de Schrödinger para partículas de espín 1/2 , que tiene en cuenta la interacción del espín de la partícula con un campo electromagnético externo . Es el límite no relativista de la ecuación de Dirac y se puede utilizar cuando las partículas se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz , de modo que se pueden despreciar los efectos relativistas. Fue formulada por Wolfgang Pauli en 1927. ^[1] En su forma linealizada se conoce como ecuación de Lévy-Leblond .

Ecuación

Para una partícula de masa y carga eléctrica , en un campo electromagnético descrito por el potencial vectorial magnético y el potencial escalar eléctrico , la ecuación de Pauli se lee: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

Ecuación de Pauli (general)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

Aquí se encuentran los operadores de Pauli reunidos en un vector para mayor comodidad, y es el operador de momento en la representación de posición. El estado del sistema (escrito en notación de Dirac ) se puede considerar como una función de onda de espinor de dos componentes o como un vector de columna (después de la elección de la base): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$.

El operador hamiltoniano es una matriz 2 × 2 debido a los operadores de Pauli .

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

La sustitución en la ecuación de Schrödinger da la ecuación de Pauli. Este hamiltoniano es similar al hamiltoniano clásico para una partícula cargada que interactúa con un campo electromagnético. Véase la fuerza de Lorentz para obtener detalles de este caso clásico. El término de energía cinética para una partícula libre en ausencia de un campo electromagnético es simplemente donde es el momento cinético , mientras que en presencia de un campo electromagnético implica el acoplamiento mínimo , donde ahora es el momento cinético y es el momento canónico . ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Los operadores de Pauli se pueden eliminar del término de energía cinética utilizando la identidad vectorial de Pauli :

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

Nótese que, a diferencia de un vector, el operador diferencial tiene un producto vectorial distinto de cero consigo mismo. Esto se puede ver considerando el producto vectorial aplicado a una función escalar : ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi }$

¿Dónde está el campo magnético? ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Para la ecuación completa de Pauli, se obtiene entonces ^[2]

Ecuación de Pauli (forma estándar)

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

para los cuales sólo se conocen unos pocos resultados analíticos, por ejemplo, en el contexto de la cuantificación de Landau con campos magnéticos homogéneos o para un campo magnético idealizado, similar al de Coulomb, no homogéneo. ^[3]

Campos magnéticos débiles

Para el caso en el que el campo magnético es constante y homogéneo, se puede expandir utilizando el calibre simétrico , donde es el operador de posición y A es ahora un operador. Obtenemos ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$ ${\textstyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

donde es el operador de momento angular de la partícula y descuidamos los términos en el campo magnético al cuadrado . Por lo tanto, obtenemos ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ ${\textstyle B^{2}}$

Ecuación de Pauli (campos magnéticos débiles)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

donde es el espín de la partícula. El factor 2 delante del espín se conoce como factor g de Dirac . El término en , tiene la forma que es la interacción habitual entre un momento magnético y un campo magnético, como en el efecto Zeeman . ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Para un electrón con carga en un campo magnético isótropo constante, se puede reducir aún más la ecuación utilizando el momento angular total y el teorema de Wigner-Eckart . Así, encontramos ${\textstyle -e}$ ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

donde es el magnetón de Bohr y es el número cuántico magnético relacionado con . El término se conoce como factor g de Landé y se expresa aquí como ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ ${\textstyle m_{j}}$ ${\textstyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle g_{J}}$

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[a]

donde el número cuántico orbital está relacionado con y el número cuántico orbital total está relacionado con . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J^{2}}$

De la ecuación de Dirac

La ecuación de Pauli se puede inferir del límite no relativista de la ecuación de Dirac , que es la ecuación cuántica relativista de movimiento para partículas de espín 1/2. ^[4]

Derivación

La ecuación de Dirac se puede escribir como: $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

donde y son espinores de dos componentes , formando un bispinor . ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

Utilizando el siguiente ansatz: con dos nuevos espinores , la ecuación se convierte en $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \psi ,\chi }$ $${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

En el límite no relativista, las energías cinética y electrostática son pequeñas con respecto a la energía en reposo , lo que conduce a la ecuación de Lévy-Leblond . ^[5] Por lo tanto ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$ ${\displaystyle mc^{2}}$ $${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

Insertando en el componente superior de la ecuación de Dirac, encontramos la ecuación de Pauli (forma general): $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

De una transformación de Foldy-Wouthuysen

La derivación rigurosa de la ecuación de Pauli se deriva de la ecuación de Dirac en un campo externo y de la realización de una transformación de Foldy-Wouthuysen ^[4] considerando términos de hasta orden . De manera similar, se pueden determinar correcciones de orden superior a la ecuación de Pauli que dan lugar a términos de interacción de espín-órbita y de Darwin , al expandir hasta orden . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$

Acoplamiento Pauli

La ecuación de Pauli se deriva al requerir un acoplamiento mínimo , que proporciona un factor g g = 2. La mayoría de las partículas elementales tienen factores g anómalos , diferentes de 2. En el dominio de la teoría cuántica de campos relativista , se define un acoplamiento no mínimo, a veces llamado acoplamiento de Pauli, para agregar un factor anómalo.

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

donde es el operador de cuatro momentos , es el cuatro-potencial electromagnético , es proporcional al momento dipolar magnético anómalo , es el tensor electromagnético y son las matrices de espín de Lorentz y el conmutador de las matrices gamma . ^{[7] [8]} En el contexto de la mecánica cuántica no relativista, en lugar de trabajar con la ecuación de Schrödinger, el acoplamiento de Pauli es equivalente a usar la ecuación de Pauli (o postular la energía de Zeeman ) para un factor g arbitrario . ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Véase también

• Física semiclásica
• Física atómica, molecular y óptica
• Contracción grupal
• Descomposición de Gordon

Notas al pie

1. La fórmula que se utiliza aquí es para una partícula con espín 1/2, con un factor g y un factor g orbital . De manera más general, se expresa mediante: donde es el número cuántico de espín relacionado con . ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}$ ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

Referencias

1. Pauli, Wolfgang (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik (en alemán). 43 (9–10): 601–623. Código bibliográfico : 1927ZPhy...43..601P. doi :10.1007/BF01397326. ISSN  0044-3328. S2CID  128228729.
2. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas (1.ª ed.). Prentice Hall. pág. 638. ISBN 0-582-44401-2.
3. Sidler, Dominik; Rokaj, Vasil; Ruggenthaler, Michael; Rubio, Angel (26 de octubre de 2022). "Clase de niveles de Landau distorsionados y fases Hall en un gas de electrones bidimensional sujeto a un campo magnético no homogéneo". Physical Review Research . 4 (4): 043059. Bibcode :2022PhRvR...4d3059S. doi :10.1103/PhysRevResearch.4.043059. hdl : 10810/58724 . ISSN  2643-1564. S2CID  253175195.
4. Greiner, Walter (6 de diciembre de 2012). Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de onda. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.
5. Greiner, Walter (4 de octubre de 2000). Mecánica cuántica: una introducción. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67458-0.
6. Fröhlich, Jürg; Studer, Urban M. (1993-07-01). "Invariancia de calibre y álgebra actual en la teoría de muchos cuerpos no relativista". Reseñas de Física Moderna . 65 (3): 733–802. Bibcode :1993RvMP...65..733F. doi :10.1103/RevModPhys.65.733. ISSN  0034-6861.
7. Das, Ashok (2008). Conferencias sobre teoría cuántica de campos. World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.
8. Barut, AO; McEwan, J. (enero de 1986). "Los cuatro estados del neutrino sin masa con acoplamiento de Pauli por invariancia de espín-calibre". Letters in Mathematical Physics . 11 (1): 67–72. Bibcode :1986LMaPh..11...67B. doi :10.1007/BF00417466. ISSN  0377-9017. S2CID  120901078.

Libros

• Schwabl, Franz (2004). Mecánica cuántica I. Saltador. ISBN 978-3540431060.
• Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene . Saltador. ISBN 978-3540259046.
• Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Frank Laloé (2006). Mecánica Cuántica 2 . Wiley, J. ISBN 978-0471569527.