Constante de Planck

Constante física en mecánica cuántica

La constante de Planck , o constante de Planck , denotada por , ^[1] es una constante física fundamental ^[1] de importancia fundamental en la mecánica cuántica : la energía de un fotón es igual a su frecuencia multiplicada por la constante de Planck, y la longitud de onda de una onda de materia es igual a la constante de Planck dividida por el momento de la partícula asociada. La constante de Planck reducida estrechamente relacionada , igual a y denotada por , se usa comúnmente en ecuaciones de física cuántica. ${\textstyle h}$ ${\textstyle h/(2\pi )}$ ${\textstyle \hbar }$

La constante fue postulada por Max Planck en 1900 como una constante de proporcionalidad necesaria para explicar la radiación experimental del cuerpo negro . ^[2] Planck se refirió más tarde a la constante como el "cuanto de acción ". ^[3] En 1905, Albert Einstein asoció el "cuanto" o elemento mínimo de la energía a la propia onda electromagnética. Max Planck recibió el Premio Nobel de Física de 1918 "en reconocimiento a los servicios que prestó al avance de la Física con su descubrimiento de los cuantos de energía".

En metrología , la constante de Planck se utiliza, junto con otras constantes, para definir el kilogramo , la unidad de masa del SI. ^[4] Las unidades del SI se definen de tal manera que, cuando la constante de Planck se expresa en unidades del SI, tiene el valor exacto = ${\displaystyle h}$6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ . ^{[5] [6]}

Historia

Origen de la constante

Placa en la Universidad Humboldt de Berlín : "En este edificio enseñó Max Planck, el descubridor del cuanto elemental de acción h , de 1889 a 1928".

Intensidad de la luz emitida por un cuerpo negro . Cada curva representa el comportamiento a diferentes temperaturas corporales. La constante de Planck h se utiliza para explicar la forma de estas curvas.

La constante de Planck fue formulada como parte del exitoso esfuerzo de Max Planck por producir una expresión matemática que predijera con precisión la distribución espectral observada de la radiación térmica de un horno cerrado ( radiación de cuerpo negro ). ^[7] Esta expresión matemática ahora se conoce como la ley de Planck.

En los últimos años del siglo XIX, Max Planck estaba investigando el problema de la radiación del cuerpo negro planteado por primera vez por Kirchhoff unos 40 años antes. Todo cuerpo físico emite radiación electromagnética de forma espontánea y continua . No había expresión o explicación para la forma general del espectro de emisión observado. En ese momento, la ley de Wien se ajustaba a los datos para longitudes de onda cortas y altas temperaturas, pero fallaba para longitudes de onda largas. ^{[7] : 141} También en esta época, pero sin que Planck lo supiera, Lord Rayleigh había derivado teóricamente una fórmula, ahora conocida como la ley de Rayleigh-Jeans , que podía predecir razonablemente longitudes de onda largas pero fallaba dramáticamente en longitudes de onda cortas.

Al abordar este problema, Planck planteó la hipótesis de que las ecuaciones de movimiento de la luz describen un conjunto de osciladores armónicos , uno para cada frecuencia posible. Examinó cómo variaba la entropía de los osciladores con la temperatura del cuerpo, tratando de cumplir con la ley de Wien, y pudo derivar una función matemática aproximada para el espectro del cuerpo negro, ^[2] que proporcionó una fórmula empírica simple para longitudes de onda largas.

Planck intentó encontrar una expresión matemática que pudiera reproducir la ley de Wien (para longitudes de onda cortas) y la fórmula empírica (para longitudes de onda largas). Esta expresión incluía una constante, , que se cree que es para Hilfsgrösse (variable auxiliar), ^[8] y posteriormente se la conoció como la constante de Planck. La expresión formulada por Planck mostró que la radiancia espectral por unidad de frecuencia de un cuerpo para la frecuencia ν a la temperatura absoluta T está dada por ${\displaystyle h}$

${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)d\nu ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}d\nu }$,

donde es la constante de Boltzmann , es la constante de Planck, y es la velocidad de la luz en el medio, ya sea material o vacío. ^{[9] [10] [11]} ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$

La radiancia espectral de un cuerpo, , describe la cantidad de energía que emite a diferentes frecuencias de radiación. Es la potencia emitida por unidad de área del cuerpo, por unidad de ángulo sólido de emisión, por unidad de frecuencia. La radiancia espectral también se puede expresar por unidad de longitud de onda en lugar de por unidad de frecuencia. Sustituyendo en la relación anterior obtenemos ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$

${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)d\lambda ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}d\lambda }$,

mostrando cómo la energía radiada emitida en longitudes de onda más cortas aumenta más rápidamente con la temperatura que la energía emitida en longitudes de onda más largas. ^[12]

La ley de Planck también puede expresarse en otros términos, como el número de fotones emitidos a una determinada longitud de onda o la densidad de energía en un volumen de radiación. La unidad del SI de es W · sr ⁻¹ · m ⁻² · Hz ⁻¹ , mientras que la de es W·sr ⁻¹ ·m ⁻³ . ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle B_{\lambda }}$

Planck pronto se dio cuenta de que su solución no era única. Había varias soluciones diferentes, cada una de las cuales daba un valor diferente para la entropía de los osciladores. ^{[2] Para salvar su teoría, Planck recurrió a la teoría de} la mecánica estadística , entonces controvertida , ^[2] que describió como "un acto de desesperación". ^[13] Una de sus nuevas condiciones de contorno era

interpretar U _N [ la energía vibracional de los osciladores N ] no como una cantidad continua, infinitamente divisible, sino como una cantidad discreta compuesta de un número entero de partes iguales finitas. Llamemos a cada una de esas partes el elemento de energía ε ;

—  Planck, "Sobre la ley de distribución de energía en el espectro normal" ^[2]

Con esta nueva condición, Planck había impuesto la cuantificación de la energía de los osciladores, "una suposición puramente formal... en realidad no pensé mucho en ello...", según sus propias palabras, ^[14] pero que revolucionaría la física. La aplicación de este nuevo enfoque a la ley de desplazamiento de Wien demostró que el "elemento de energía" debe ser proporcional a la frecuencia del oscilador, la primera versión de lo que ahora se denomina a veces " relación de Planck-Einstein ":

${\displaystyle E=hf.}$

Planck fue capaz de calcular el valor de a partir de datos experimentales sobre la radiación del cuerpo negro: su resultado, ${\displaystyle h}$6,55 × 10 ⁻³⁴  J⋅s , está dentro del 1,2% del valor definido actualmente. ^[2] También hizo la primera determinación de la constante de Boltzmann a partir de los mismos datos y teoría. ^[15] ${\displaystyle k_{\text{B}}}$

Las curvas de Planck observadas a diferentes temperaturas y la divergencia de la curva teórica de Rayleigh-Jeans (negra) de la curva de Planck observada a 5000 K.

Desarrollo y aplicación

El problema del cuerpo negro fue retomado en 1905, cuando Lord Rayleigh y James Jeans (juntos) y Albert Einstein demostraron de forma independiente que el electromagnetismo clásico nunca podría explicar el espectro observado. Estas pruebas se conocen comúnmente como la " catástrofe ultravioleta ", un nombre acuñado por Paul Ehrenfest en 1911. Contribuyeron en gran medida (junto con el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico ) a convencer a los físicos de que el postulado de Planck de niveles de energía cuantizados era más que un mero formalismo matemático. La primera Conferencia Solvay en 1911 se dedicó a "la teoría de la radiación y los cuantos". ^[16]

Efecto fotoeléctrico

El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones (llamados "fotoelectrones") desde una superficie cuando se proyecta luz sobre ella. Fue observado por primera vez por Alexandre Edmond Becquerel en 1839, aunque el crédito generalmente se reserva para Heinrich Hertz , ^[17] quien publicó la primera investigación exhaustiva en 1887. Otra investigación particularmente exhaustiva fue publicada por Philipp Lenard (Lénárd Fülöp) en 1902. ^[18] El artículo de 1905 de Einstein ^[19] que analiza el efecto en términos de cuantos de luz le valdría el Premio Nobel en 1921, ^[17] después de que sus predicciones hubieran sido confirmadas por el trabajo experimental de Robert Andrews Millikan . ^[20] El comité Nobel le otorgó el premio por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico, en lugar de la relatividad, tanto por un sesgo contra la física puramente teórica no basada en descubrimientos o experimentos, como por el disenso entre sus miembros en cuanto a la prueba real de que la relatividad era real. ^{[21] [22]}

Antes del artículo de Einstein, se consideraba que la radiación electromagnética, como la luz visible, se comportaba como una onda: de ahí el uso de los términos "frecuencia" y "longitud de onda" para caracterizar los diferentes tipos de radiación. La energía transferida por una onda en un tiempo determinado se llama intensidad . La luz de un foco de teatro es más intensa que la luz de una bombilla doméstica; es decir, el foco emite más energía por unidad de tiempo y por unidad de espacio (y, por lo tanto, consume más electricidad) que la bombilla común, aunque el color de la luz pueda ser muy similar. Otras ondas, como el sonido o las olas que se estrellan contra el paseo marítimo, también tienen su intensidad. Sin embargo, la explicación energética del efecto fotoeléctrico no parecía concordar con la descripción ondulatoria de la luz.

Los "fotoelectrones" emitidos como resultado del efecto fotoeléctrico tienen una cierta energía cinética , que se puede medir. Esta energía cinética (para cada fotoelectrón) es independiente de la intensidad de la luz, ^[18] pero depende linealmente de la frecuencia; ^[20] y si la frecuencia es demasiado baja (correspondiente a una energía del fotón que es menor que la función de trabajo del material), no se emiten fotoelectrones en absoluto, a menos que una pluralidad de fotones, cuya suma energética es mayor que la energía de los fotoelectrones, actúe virtualmente simultáneamente (efecto multifotón). ^[23] Suponiendo que la frecuencia es lo suficientemente alta como para causar el efecto fotoeléctrico, un aumento en la intensidad de la fuente de luz hace que se emitan más fotoelectrones con la misma energía cinética, en lugar de que se emita el mismo número de fotoelectrones con mayor energía cinética. ^[18]

La explicación de Einstein para estas observaciones fue que la luz misma está cuantizada; que la energía de la luz no se transfiere de forma continua como en una onda clásica, sino solo en pequeños "paquetes" o cuantos. El tamaño de estos "paquetes" de energía, que más tarde se denominarían fotones , debía ser el mismo que el "elemento de energía" de Planck, lo que dio lugar a la versión moderna de la relación de Planck-Einstein:

${\displaystyle E=hf.}$

El postulado de Einstein fue posteriormente demostrado experimentalmente: se demostró que la constante de proporcionalidad entre la frecuencia de la luz incidente y la energía cinética de los fotoelectrones era igual a la constante de Planck . ^[20] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h}$

Estructura atómica

Esquematización del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. La transición que se muestra del nivel n = 3 al nivel n = 2 da lugar a luz visible de longitud de onda 656 nm (roja), tal como predice el modelo.

En 1912, John William Nicholson desarrolló ^[24] un modelo atómico y descubrió que el momento angular de los electrones en el modelo estaba relacionado por h /2 π . ^{[25] [26]} El modelo atómico cuántico nuclear de Nicholson influyó en el desarrollo del modelo atómico de Niels Bohr ^{[27] [28] [26]} y Bohr lo citó en su artículo de 1913 sobre el modelo atómico de Bohr. ^[29] El modelo de Bohr fue más allá del concepto abstracto de oscilador armónico de Planck: un electrón en un átomo de Bohr solo podía tener ciertas energías definidas. ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {hcR_{\infty }}{n^{2}}},}$

donde es la velocidad de la luz en el vacío, es una constante determinada experimentalmente (la constante de Rydberg ) y . Este enfoque también le permitió a Bohr explicar la fórmula de Rydberg , una descripción empírica del espectro atómico del hidrógeno, y explicar el valor de la constante de Rydberg en términos de otras constantes fundamentales. Al discutir el momento angular de los electrones en su modelo, Bohr introdujo la cantidad , ahora conocida como la constante de Planck reducida como el cuanto de momento angular . ^[29] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,3,...\}}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}$

Principio de incertidumbre

La constante de Planck también aparece en los enunciados del principio de incertidumbre de Werner Heisenberg . Dadas numerosas partículas preparadas en el mismo estado, la incertidumbre en su posición, , y la incertidumbre en su momento, , obedecen ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}},}$

donde la incertidumbre se da como la desviación estándar del valor medido respecto de su valor esperado . Existen otros pares de variables conjugadas medibles físicamente que obedecen a una regla similar. Un ejemplo es el tiempo frente a la energía. La relación inversa entre la incertidumbre de las dos variables conjugadas obliga a un equilibrio en los experimentos cuánticos, ya que medir una cantidad con mayor precisión da como resultado que la otra cantidad se vuelva imprecisa.

Además de algunas suposiciones que fundamentan la interpretación de ciertos valores en la formulación mecánica cuántica, uno de los pilares fundamentales de toda la teoría reside en la relación de conmutación entre el operador de posición y el operador de momento : ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=-i\hbar \delta _{ij},}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Energía fotónica

La relación de Planck conecta la energía particular del fotón E con su frecuencia de onda asociada f :

${\displaystyle E=hf.}$

Esta energía es extremadamente pequeña en términos de los objetos cotidianos percibidos normalmente.

Dado que la frecuencia f , la longitud de onda λ y la velocidad de la luz c están relacionadas por , la relación también se puede expresar como ${\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}}$

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}.}$

Longitud de onda de De Broglie

En 1923, Louis de Broglie generalizó la relación de Planck-Einstein al postular que la constante de Planck representa la proporcionalidad entre el momento y la longitud de onda cuántica no solo del fotón, sino de la longitud de onda cuántica de cualquier partícula. Esto fue confirmado por experimentos poco después. Esto se mantiene en toda la teoría cuántica, incluida la electrodinámica . La longitud de onda de De Broglie λ de la partícula está dada por

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

donde p denota el momento lineal de una partícula, como un fotón o cualquier otra partícula elemental .

La energía de un fotón con frecuencia angular ω = 2 πf viene dada por

${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$

mientras que su momento lineal se relaciona con

${\displaystyle p=\hbar k,}$

donde k es un número de onda angular .

Estas dos relaciones son las partes temporal y espacial de la expresión relativista especial que utiliza 4 vectores .

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right).}$

Mecánica estadística

La mecánica estadística clásica requiere la existencia de h (pero no define su valor). ^[30] Finalmente, tras el descubrimiento de Planck, se especuló que la acción física no podía tomar un valor arbitrario, sino que estaba restringida a múltiplos enteros de una cantidad muy pequeña, el " cuanto [elemental] de acción", ahora llamado constante de Planck . ^[31] Esta fue una parte conceptual significativa de la llamada " antigua teoría cuántica " desarrollada por físicos como Bohr , Sommerfeld e Ishiwara , en la que las trayectorias de las partículas existen pero están ocultas , pero las leyes cuánticas las restringen en función de su acción. Esta visión ha sido reemplazada por la teoría cuántica completamente moderna, en la que ni siquiera existen trayectorias definidas de movimiento; en cambio, la partícula está representada por una función de onda extendida en el espacio y en el tiempo. ^{[32] : 373} Relacionado con esto está el concepto de cuantificación de energía que existía en la antigua teoría cuántica y también existe en forma alterada en la física cuántica moderna. La física clásica no puede explicar la cuantificación de la energía.

Dimensión y valor

La constante de Planck tiene las mismas dimensiones que la acción y el momento angular . En unidades del SI , la constante de Planck se expresa con la unidad julio por hercio (J⋅Hz ⁻¹ ) o julio-segundo (J⋅s).

${\displaystyle h}$=6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ ‍ [ ^5]

${\displaystyle \hbar ={h \over 2\pi }}$=1.054 571 817 ... × 10 ⁻³⁴  J⋅s ‍ [ ^33] =6,582 119 569 ... × 10 ⁻¹⁶  eV⋅s . ^[34]

Los valores anteriores se han adoptado como fijos en la revisión de 2019 del SI .

Desde 2019, el valor numérico de la constante de Planck es fijo, con una representación decimal finita . Este valor fijo se utiliza para definir la unidad de masa del SI, el kilogramo : "el kilogramo [...] se define tomando el valor numérico fijo de h como6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴ cuando se expresa en la unidad J⋅s, que es igual a kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ , donde el metro y el segundo se definen en términos de la velocidad de la luz c y la duración de la transición hiperfina del estado fundamental de un átomo de cesio-133 no perturbado Δ ν _Cs ." ^[35] Las tecnologías de metrología de masas como la balanza de Kibble miden refinando el valor del kilogramo aplicando un valor fijo de la constante de Planck.

Importancia del valor

La constante de Planck es una de las más pequeñas que se utilizan en física. Esto refleja el hecho de que, en una escala adaptada a los humanos, donde las energías son típicas del orden de kilojulios y los tiempos son típicos del orden de segundos o minutos, la constante de Planck es muy pequeña. Cuando el producto de la energía y el tiempo de un evento físico se acerca a la constante de Planck, predominan los efectos cuánticos. ^[36]

De manera equivalente, el orden de la constante de Planck refleja el hecho de que los objetos y sistemas cotidianos están compuestos por una gran cantidad de partículas microscópicas. Por ejemplo, en la luz verde (con una longitud de onda de 555  nanómetros o una frecuencia de540 THz ) cada fotón tiene una energía E = hf =3,58 × 10 ⁻¹⁹  J. Se trata de una cantidad de energía muy pequeña en términos de la experiencia cotidiana, pero la experiencia cotidiana no se ocupa de fotones individuales más que de átomos o moléculas individuales. Una cantidad de luz más típica en la experiencia cotidiana (aunque mucho mayor que la cantidad más pequeña perceptible por el ojo humano) es la energía de un mol de fotones; su energía se puede calcular multiplicando la energía del fotón por la constante de Avogadro , N _A  = 6.022 140 76 × 10 ²³  mol ⁻¹ ‍ [ ^37] , con el resultado de216 kJ , aproximadamente la energía alimentaria presente en tres manzanas. ^{[ cita requerida ]}

Constante de Planck reducida

Muchas ecuaciones en física cuántica se escriben habitualmente utilizando la constante de Planck reducida , ^{[38] : 104} igual a y denotada (pronunciada h-bar ^{[39] : 336} ). ^[40] ${\textstyle h/(2\pi )}$ ${\textstyle \hbar }$

Las ecuaciones fundamentales parecen más simples cuando se escriben usando en lugar de , y generalmente es en lugar de que da los resultados más confiables cuando se usa en estimaciones de orden de magnitud . Por ejemplo, al usar el análisis dimensional para estimar la energía de ionización de un átomo de hidrógeno, los parámetros relevantes que determinan la energía de ionización son la masa del electrón , la carga del electrón y la constante de Planck o la constante de Planck reducida : Dado que ambas constantes tienen las mismas dimensiones, ingresarán al análisis dimensional de la misma manera, pero con la estimación está dentro de un factor de dos, mientras que con el error está más cerca de . ^{[41] : 8–9} ${\textstyle \hbar }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle \hbar }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle E_{\text{i}}}$ ${\textstyle m_{\text{e}}}$ ${\textstyle e}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle \hbar }$ $${\displaystyle E_{\text{i}}\propto m_{\text{e}}e^{4}/h^{2}\ {\text{or}}\ \propto m_{\text{e}}e^{4}/\hbar ^{2}}$$ ${\textstyle \hbar }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle (2\pi )^{2}\approx 40}$

Nombres y símbolos

La constante de Planck reducida se conoce por muchos otros nombres: constante de Planck reducida ^{[42] : 5  [43] : 788} ), constante de Planck racionalizada ^{[44] : 726  [45] : 10  [46] : -} (o constante de Planck racionalizada ^{[47] : 334  [48] : ix} , ^{[49] : 112} la constante de Dirac ^{[50] : 275  [44] : 726  [51] : xv} (o constante de Dirac ^{[52] : 148  [53] : 604  [54] : 313} ), la constante de Dirac ${\textstyle h}$^{[55] [56] : xviii} (o de Dirac ${\textstyle h}$^{[57] : 17} ), la constante de Dirac ${\textstyle \hbar }$^{[58] : 187} (o de Dirac ${\textstyle \hbar }$^{[59] : 273  [60] : 14} ), y h-bar . ^{[61] : 558  [62] : 561} También es común referirse a esto como "constante de Planck" ^{[63] : 55  [a]} mientras se conserva la relación . ${\textstyle \hbar }$ ${\textstyle \hbar =h/(2\pi )}$

El símbolo más común para la constante de Planck reducida es . Sin embargo, hay algunas fuentes que la denotan con , en cuyo caso suelen referirse a ella como la "de Dirac " ^{[89] : 43  [90]} (o "de Dirac " ^{[91] : 21} ). ${\textstyle \hbar }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$

Historia

La combinación apareció en el artículo de Niels Bohr de 1913, ^{[92] : 15} donde se denotaba por . ^{[26] : 169  [b]} Durante los siguientes 15 años, la combinación continuó apareciendo en la literatura, pero normalmente sin un símbolo separado. ^{[93] : 180  [c]} Luego, en 1926, en sus artículos seminales, Schrödinger y Dirac nuevamente introdujeron símbolos especiales para ella: en el caso de Schrödinger, ^[105] y en el caso de Dirac. ^[106] Dirac continuó usándolo de esta manera hasta 1930, ^{[107] : 291} cuando introdujo el símbolo en su libro Los principios de la mecánica cuántica . ^{[107] : 291  [108]} ${\textstyle h/(2\pi )}$ ${\textstyle M_{0}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle \hbar }$

Véase también

• Portal de electrónica
• Portal de química

• Comité de Datos del Consejo Científico Internacional
• Sistema Internacional de Unidades
• Introducción a la mecánica cuántica
• Lista de científicos cuyos nombres se utilizan en constantes físicas
• Unidades de Planck
• Dualidad onda-partícula

Notas

1. Ejemplos notables de tal uso incluyen Landau y Lifshitz ^{[64] : 20} y Griffiths , ^{[65] : 3} pero hay muchos otros, p. ej. ^{[66] [67] : 449  [68] : 284  [69] : 3  [70] : 365  [71] : 14  [72] : 18  [73] : 4  [74] : 138  [75] : 251  [76] : 1  [77] : 622  [78] : xx  [79] : 20  [80] : 4  [81] : 36  [82] : 41  [83] : 199  [84] : 846  [85] [86] [87] : 25  [88] : 653}
2. Bohr denotó el momento angular del electrón alrededor del núcleo y escribió la condición de cuantificación como , donde es un entero positivo. (Véase el modelo de Bohr ). ${\textstyle M}$ ${\textstyle M=\tau M_{0}}$ ${\textstyle \tau }$
3. A continuación se muestran algunos artículos que se mencionan en ^[93] y que aparecieron sin un símbolo separado: ^{[94] : 428  [95] : 549  [96] : 508  [97] : 230  [98] : 458  [99] [100] : 276  [101] [102] [103]} . ^[104] ${\textstyle h/(2\pi )}$

Referencias

Citas

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Enlaces externos

• "El papel de la constante de Planck en la física": presentación en la 26ª reunión de la CGPM en Versalles, Francia, en noviembre de 2018, cuando se realizó la votación.
• "La constante de Planck y sus unidades" – presentación en el 35º Simposio sobre Física Química en la Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá, 3 de noviembre de 2019.