Acción (física)

Cantidad física de dimensión energía × tiempo

En física, la acción es una cantidad escalar que describe cómo cambia el equilibrio entre la energía cinética y la energía potencial de un sistema físico con la trayectoria. La acción es importante porque es una entrada al principio de acción estacionaria , un enfoque de la mecánica clásica que es más simple para múltiples objetos. ^[1] La acción y el principio variacional se utilizan en la formulación de Feynman de la mecánica cuántica ^[2] y en la relatividad general. ^[3] Para sistemas con valores pequeños de acción similares a la constante de Planck , los efectos cuánticos son significativos. ^[4]

En el caso simple de una sola partícula que se mueve con una velocidad constante (y por lo tanto experimenta un movimiento lineal uniforme ), la acción es el momento de la partícula multiplicado por la distancia que se mueve, sumados a lo largo de su trayectoria; equivalentemente, la acción es la diferencia entre la energía cinética de la partícula y su energía potencial multiplicada por la duración en la que tiene esa cantidad de energía.

Más formalmente, la acción es una función matemática que toma la trayectoria (también llamada camino o historia) del sistema como argumento y tiene un número real como resultado. Generalmente, la acción toma valores diferentes para diferentes caminos. ^[5] La acción tiene dimensiones de energía  ×  tiempo o momento  ×  longitud , y su unidad SI es el julio -segundo (como la constante de Planck h ). ^[6]

Introducción

La física introductoria suele comenzar con las leyes de movimiento de Newton , que relacionan fuerza y ​​movimiento; la acción es parte de un enfoque alternativo completamente equivalente con ventajas prácticas y educativas. ^[1] Sin embargo, el concepto tardó muchas décadas en suplantar los enfoques newtonianos y sigue siendo un desafío introducirlo a los estudiantes. ^[7]

Ejemplo sencillo

Para una trayectoria de una pelota de béisbol que se mueve en el aire sobre la Tierra, la acción se define entre dos puntos en el tiempo, y como la energía cinética (EC) menos la energía potencial (EP), integrada en el tiempo. ^[4] ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt}$

La acción equilibra la energía cinética con la energía potencial. ^[4] La energía cinética de una pelota de béisbol de masa es donde es la velocidad de la pelota; la energía potencial es donde es la constante gravitacional. Entonces la acción entre y es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (1/2)mv^{2}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle mgx}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$

El valor de la acción depende de la trayectoria que sigue la pelota de béisbol a través de y . Esto hace que la acción sea una entrada al poderoso principio de acción estacionaria para la mecánica clásica y la mecánica cuántica . Las ecuaciones de movimiento de Newton para la pelota de béisbol se pueden derivar de la acción utilizando el principio de acción estacionaria, pero las ventajas de la mecánica basada en la acción solo comienzan a aparecer en casos en los que las leyes de Newton son difíciles de aplicar. Reemplace la pelota de béisbol con un electrón: la mecánica clásica falla, pero la acción estacionaria continúa funcionando. ^[4] La diferencia de energía en la definición de acción simple, energía cinética menos energía potencial, se generaliza y se llama lagrangiano para casos más complejos. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

El cuanto de acción de Planck

La constante de Planck , escrita como o cuando incluye un factor de , se denomina cuanto de acción . ^[8] Al igual que la acción, esta constante tiene como unidad la energía multiplicada por el tiempo. Figura en todas las ecuaciones cuánticas significativas, como el principio de incertidumbre y la longitud de onda de De Broglie . Siempre que el valor de la acción se aproxima a la constante de Planck, los efectos cuánticos son significativos. ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle 1/2\pi }$

Historia

Pierre Louis Maupertuis y Leonhard Euler , que trabajaban en la década de 1740, desarrollaron las primeras versiones del principio de acción. Joseph Louis Lagrange aclaró las matemáticas cuando inventó el cálculo de variaciones . William Rowan Hamilton hizo el siguiente gran avance, al formular el principio de Hamilton en 1853. ^{[9] : 740} El principio de Hamilton se convirtió en la piedra angular del trabajo clásico con diferentes formas de acción hasta que Richard Feynman y Julian Schwinger desarrollaron los principios de acción cuántica. ^{[10] : 127}

Definiciones

Expresada en lenguaje matemático, mediante el cálculo de variaciones , la evolución de un sistema físico (es decir, cómo el sistema progresa realmente de un estado a otro) corresponde a un punto estacionario (normalmente, un mínimo) de la acción. La acción tiene las dimensiones de [energía]  ×  [tiempo] , y su unidad SI es el julio -segundo, que es idéntica a la unidad de momento angular .

En física, se utilizan habitualmente varias definiciones diferentes de "la acción". ^{[11] [12]} La acción suele ser una integral en el tiempo. Sin embargo, cuando la acción pertenece a campos , también puede estar integrada en variables espaciales. En algunos casos, la acción se integra a lo largo del camino seguido por el sistema físico.

La acción se representa típicamente como una integral en el tiempo, tomada a lo largo de la trayectoria del sistema entre el tiempo inicial y el tiempo final del desarrollo del sistema: ^[11] donde el integrando L se llama Lagrangiano . Para que la integral de acción esté bien definida, la trayectoria debe estar acotada en el tiempo y el espacio. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,}$$

Acción (funcional)

Más comúnmente, el término se utiliza para un funcional que toma una función de tiempo y (para campos ) espacio como entrada y devuelve un escalar . ^{[13] [14]} En mecánica clásica , la función de entrada es la evolución q ( t ) del sistema entre dos tiempos t ₁ y t ₂ , donde q representa las coordenadas generalizadas . La acción se define como la integral del lagrangiano L para una evolución de entrada entre los dos tiempos: donde los puntos finales de la evolución son fijos y se definen como y . Según el principio de Hamilton , la verdadera evolución q _true ( t ) es una evolución para la cual la acción es estacionaria (un mínimo, un máximo o un punto de silla ). Este principio da como resultado las ecuaciones de movimiento en mecánica lagrangiana . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

Acción abreviada (funcional)

Además de la función de acción, existe otra función llamada acción abreviada . En la acción abreviada, la función de entrada es la trayectoria seguida por el sistema físico sin tener en cuenta su parametrización por el tiempo. Por ejemplo, la trayectoria de una órbita planetaria es una elipse, y la trayectoria de una partícula en un campo gravitatorio uniforme es una parábola; en ambos casos, la trayectoria no depende de la velocidad con la que la partícula recorra la trayectoria.

La acción abreviada (a veces escrita como ) se define como la integral de los momentos generalizados, para un sistema Lagrangiano a lo largo de una trayectoria en las coordenadas generalizadas : donde y son las coordenadas inicial y final. Según el principio de Maupertuis , la trayectoria verdadera del sistema es una trayectoria para la cual la acción abreviada es estacionaria . ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q_{i}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

Función característica de Hamilton

Cuando se conserva la energía total E , la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede resolver con la separación aditiva de variables : ^{[11] : 225} donde la función independiente del tiempo W ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ) se denomina función característica de Hamilton . El significado físico de esta función se entiende tomando su derivada del tiempo total $${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

Esto se puede integrar para dar

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

que es simplemente la acción abreviada. ^{[15] : 434}

Acción de una coordenada generalizada

Una variable J _k en las coordenadas del ángulo de acción , llamada "acción" de la coordenada generalizada q _k , se define integrando un único momento generalizado alrededor de una trayectoria cerrada en el espacio de fases , correspondiente a un movimiento rotatorio u oscilante: ^{[15] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

La variable canónica correspondiente conjugada a J _k es su "ángulo" w _k , por razones que se describen más completamente en coordenadas de acción-ángulo . La integración es sólo sobre una única variable q _k y, por lo tanto, a diferencia del producto escalar integrado en la integral de acción abreviada anterior. La variable J _k es igual al cambio en S _k ( q _k ) a medida que q _k varía alrededor de la trayectoria cerrada. Para varios sistemas físicos de interés, J _k es una constante o varía muy lentamente; por lo tanto, la variable J _k se utiliza a menudo en cálculos de perturbación y en la determinación de invariantes adiabáticos . Por ejemplo, se utilizan en el cálculo de órbitas planetarias y satelitales. ^{[15] : 477}

Partícula relativista única

Cuando los efectos relativistas son significativos, la acción de una partícula puntual de masa m que recorre una línea de universo C parametrizada por el tiempo propio es ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

Si, en cambio, la partícula está parametrizada por el tiempo de coordenadas t de la partícula y el tiempo de coordenadas varía de t ₁ a t ₂ , entonces la acción se convierte en donde está el Lagrangiano ^[16] $${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$ $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$$

Principios de acción e ideas relacionadas

Las leyes físicas se expresan frecuentemente como ecuaciones diferenciales , que describen cómo las magnitudes físicas como la posición y el momento cambian continuamente con el tiempo , el espacio o una generalización de estos. Dadas las condiciones iniciales y de contorno de la situación, la "solución" de estas ecuaciones empíricas es una o más funciones que describen el comportamiento del sistema y se denominan ecuaciones de movimiento .

La acción es parte de un enfoque alternativo para hallar dichas ecuaciones de movimiento. La mecánica clásica postula que la trayectoria que sigue realmente un sistema físico es aquella en la que la acción se minimiza o, de manera más general, es estacionaria . En otras palabras, la acción satisface un principio variacional : el principio de acción estacionaria (véase también más adelante). La acción se define mediante una integral y las ecuaciones clásicas de movimiento de un sistema se pueden derivar minimizando el valor de esa integral.

El principio de acción proporciona conocimientos profundos sobre física y es un concepto importante en la física teórica moderna . A continuación se resumen varios principios de acción y conceptos relacionados.

Principio de Maupertuis

En mecánica clásica, el principio de Maupertuis (que debe su nombre a Pierre Louis Maupertuis) establece que el camino que sigue un sistema físico es el de menor longitud (con una interpretación adecuada de camino y longitud). El principio de Maupertuis utiliza la acción abreviada entre dos puntos generalizados de un camino.

Función principal de Hamilton

El principio de Hamilton establece que las ecuaciones diferenciales de movimiento de cualquier sistema físico pueden reformularse como una ecuación integral equivalente . Por lo tanto, existen dos enfoques distintos para formular modelos dinámicos.

El principio de Hamilton se aplica no sólo a la mecánica clásica de una sola partícula, sino también a campos clásicos como los campos electromagnético y gravitacional . El principio de Hamilton también se ha extendido a la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos (en particular, la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica hace uso del concepto), donde un sistema físico explora todos los caminos posibles, con la fase de la amplitud de probabilidad para cada camino determinada por la acción para el camino; la amplitud de probabilidad final suma todos los caminos utilizando su amplitud y fase complejas. ^[17]

Ecuación de Hamilton-Jacobi

La función principal de Hamilton se obtiene a partir de la función de acción fijando el tiempo inicial y el punto final inicial mientras se permite que varíen el límite de tiempo superior y el segundo punto final . La función principal de Hamilton satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi, una formulación de la mecánica clásica . Debido a una similitud con la ecuación de Schrödinger , la ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona, posiblemente, el vínculo más directo con la mecánica cuántica . ${\displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle q_{0},}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

En la mecánica lagrangiana, el requisito de que la integral de acción sea estacionaria bajo pequeñas perturbaciones es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales (llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange) que pueden obtenerse utilizando el cálculo de variaciones .

Campos clásicos

El principio de acción puede extenderse para obtener las ecuaciones de movimiento para campos como el campo electromagnético o el campo gravitacional . Las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse como condiciones de acción estacionaria .

La ecuación de Einstein utiliza la acción de Einstein-Hilbert , limitada por un principio variacional . La trayectoria (camino en el espacio-tiempo ) de un cuerpo en un campo gravitacional se puede encontrar utilizando el principio de acción. Para un cuerpo en caída libre, esta trayectoria es una geodésica .

Leyes de conservación

Las implicaciones de las simetrías en una situación física se pueden encontrar con el principio de acción, junto con las ecuaciones de Euler-Lagrange , que se derivan del principio de acción. Un ejemplo es el teorema de Noether , que establece que a toda simetría continua en una situación física corresponde una ley de conservación (y viceversa). Esta profunda conexión requiere que se suponga el principio de acción. ^[17]

Formulación integral de trayectorias de la teoría cuántica de campos

En mecánica cuántica, el sistema no sigue un único camino cuya acción es estacionaria, sino que el comportamiento del sistema depende de todos los caminos permitidos y del valor de su acción. La acción correspondiente a los distintos caminos se utiliza para calcular la integral de caminos , que da las amplitudes de probabilidad de los distintos resultados.

Aunque en mecánica clásica es equivalente a las leyes de Newton , el principio de acción es más adecuado para generalizaciones y desempeña un papel importante en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones de la ciencia física. Se entiende mejor en la mecánica cuántica, en particular en la formulación de la integral de trayectorias de Richard Feynman , donde surge de la interferencia destructiva de amplitudes cuánticas.

Extensiones modernas

El principio de acción se puede generalizar aún más. Por ejemplo, la acción no necesita ser una integral, porque son posibles acciones no locales . El espacio de configuración ni siquiera necesita ser un espacio funcional , dadas ciertas características como la geometría no conmutativa . Sin embargo, aún queda por establecer experimentalmente una base física para estas extensiones matemáticas. ^[13]

Véase también

• Cálculo de variaciones
• Derivada funcional
• Integral funcional
• Mecánica hamiltoniana
• Lagrangiano
• Mecánica lagrangiana
• Medida (física)
• Teorema de Noether
• Formulación de la integral de trayectoria
• Principio de mínima acción
• Principio de máxima entropía
• Algunas acciones:
  • Acción Nambu-Goto
  • Acción de Polyakov
  • Acción Bagger–Lambert–Gustavsson
  • Acción de Einstein-Hilbert

Referencias

1. Neuenschwander, Dwight E.; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (1 de marzo de 2006). "Acción: forzando la energía para predecir el movimiento". El profesor de física . 44 (3): 146–152. doi :10.1119/1.2173320. ISSN  0031-921X.
2. Ogborn, Jon; Taylor, Edwin F (1 de enero de 2005). "La física cuántica explica las leyes del movimiento de Newton" (PDF) . Educación en Física . 40 (1): 26–34. doi :10.1088/0031-9120/40/1/001. ISSN  0031-9120. S2CID  250809103.
3. Taylor, Edwin F. (1 de mayo de 2003). "Un llamado a la acción". American Journal of Physics . 71 (5): 423–425. doi :10.1119/1.1555874. ISSN  0002-9505.
4. "Las conferencias Feynman sobre física, vol. II, cap. 19: El principio de mínima acción". www.feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .
5. Goodman, Bernard (1993). "Acción". En Parker, SP (ed.). McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 22. ISBN 0-07-051400-3.
6. Stehle, Philip M. (1993). "Principio de mínima acción". En Parker, SP (ed.). McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 670. ISBN 0-07-051400-3.
7. Fee, Jerome (1942). "Maupertuis y el principio de mínima acción". Científico estadounidense . 30 (2): 149–158. ISSN  0003-0996. JSTOR  27825934.
8. "Conferencia Max Planck sobre el Nobel". Archivado desde el original el 14 de julio de 2023. Consultado el 14 de julio de 2023 .
9. Kline, Morris (1972). El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos . Nueva York: Oxford University Press. pp. 167-168. ISBN 0-19-501496-0.
10. Yourgrau, Wolfgang; Mandelstam, Stanley (1979). Principios variacionales en dinámica y teoría cuántica . Dover books on physics and chemistry (Republ. of the 3rd ed., publ. in 1968 ed.). Nueva York, NY: Dover Publ. ISBN 978-0-486-63773-0.
11. Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0 
12. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  
13. El camino hacia la realidad, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1 
14. TWB Kibble, Mecánica clásica , Serie de física europea, McGraw-Hill (Reino Unido), 1973, ISBN 0-07-084018-0 
15. Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2008). Mecánica clásica (3.ª ed. [Nachdr.]). San Francisco Múnich: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
16. LD Landau y EM Lifshitz (1971). La teoría clásica de campos . Addison-Wesley. Sección 8. pág. 24-25.
17. Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 

Lectura adicional

• El manual de Cambridge de fórmulas de física , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , Un "esquema" completo de 350 páginas del tema. 

Enlaces externos

• Principio de mínima acción interactiva Explicación interactiva/página web