Campo realmente cerrado

Campo no algebraicamente cerrado cuya extensión por sqrt(–1) es algebraicamente cerrado

En matemáticas , un cuerpo real cerrado es un cuerpo F que tiene las mismas propiedades de primer orden que el cuerpo de números reales . Algunos ejemplos son el cuerpo de números reales, el cuerpo de números algebraicos reales y el cuerpo de números hiperreales .

Definición

Un campo cerrado real es un campo F en el que cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes es verdadera:

1. F es elementalmente equivalente a los números reales. En otras palabras, tiene las mismas propiedades de primer orden que los reales: cualquier oración en el lenguaje de primer orden de los cuerpos es verdadera en F si y solo si es verdadera en los números reales.
2. Hay un orden total en F que lo convierte en un cuerpo ordenado tal que, en este ordenamiento, cada elemento positivo de F tiene una raíz cuadrada en F y cualquier polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F.
3. F es un cuerpo formalmente real tal que todo polinomio de grado impar con coeficientes en F tiene al menos una raíz en F , y para cada elemento a de F hay b en F tal que a  =  b ² o a  = − b ² .
4. F no es algebraicamente cerrado , pero su cierre algebraico es una extensión finita .
5. F no es algebraicamente cerrado, pero la extensión del campo sí lo es. ${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$
6. Hay un ordenamiento en F que no se extiende a un ordenamiento en ninguna extensión algebraica propia de F.
7. F es un campo formalmente real tal que ninguna extensión algebraica propia de F es formalmente real. (En otras palabras, el campo es máximo en un cierre algebraico con respecto a la propiedad de ser formalmente real).
8. Hay un ordenamiento en F que lo convierte en un campo ordenado tal que, en este ordenamiento, el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios sobre F con grado ≥ 0.
9. F es un campo ordenado débilmente o-mínimo . ^[1]

Ejemplos de campos cerrados reales

• el campo de los números algebraicos reales
• el campo de los números computables
• el campo de los números definibles
• el campo de los números reales
• El campo de la serie de Puiseux con coeficientes reales
• El campo Levi-Civita
• los campos de números hiperreales
• Los campos de números suprareales
• el campo de los números surrealistas (esta es una clase propiamente dicha , no un conjunto )

Cierre real

Si F es un cuerpo ordenado, el teorema de Artin-Schreier establece que F tiene una extensión algebraica, llamada clausura real K de F , tal que K es un cuerpo real cerrado cuyo ordenamiento es una extensión del ordenamiento dado en F , y es único hasta un isomorfismo único de cuerpos idénticos en F ^[2] (nótese que todo homomorfismo de anillo entre cuerpos reales cerrados automáticamente preserva el orden , porque x  ≤  y si y solo si ∃ z  : y  =  x  +  z ² ). Por ejemplo, la clausura real del cuerpo ordenado de números racionales es el cuerpo de números algebraicos reales. El teorema recibe su nombre de Emil Artin y Otto Schreier , quienes lo demostraron en 1926. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

Si ( F , P ) es un cuerpo ordenado, y E es una extensión de Galois de F , entonces por el lema de Zorn hay una extensión de cuerpo ordenado maximal ( M , Q ) con M un subcuerpo de E que contiene a F y el orden en M que extiende a P . Este M , junto con su ordenante Q , se llama el cierre real relativo de ( F , P ) en E . Llamamos a ( F , P ) cerrado real relativo a E si M es simplemente F . Cuando E es el cierre algebraico de F el cierre real relativo de F en E es en realidad el cierre real de F descrito anteriormente. ^[3]

Si F es un cuerpo (no se supone ningún ordenamiento compatible con las operaciones de cuerpo, ni se supone que F sea ordenable), entonces F todavía tiene una clausura real, que puede no ser ya un cuerpo, sino sólo un anillo cerrado real . Por ejemplo, la clausura real del cuerpo es el anillo (las dos copias corresponden a los dos ordenamientos de ). Por otra parte, si se considera como un subcuerpo ordenado de , su clausura real es de nuevo el cuerpo . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

Decidibilidad y eliminación de cuantificadores

El lenguaje de los cuerpos reales cerrados incluye símbolos para las operaciones de adición y multiplicación, las constantes 0 y 1, y la relación de orden ≤ (así como la igualdad, si esta no se considera un símbolo lógico). En este lenguaje, la teoría (de primer orden) de los cuerpos reales cerrados, , consta de todas las oraciones que se siguen de los siguientes axiomas: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• los axiomas de los campos ordenados ;
• el axioma que afirma que todo número positivo tiene una raíz cuadrada;
• para cada número impar , el axioma que afirma que todos los polinomios de grado tienen al menos una raíz. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Todos estos axiomas se pueden expresar en lógica de primer orden (es decir, la cuantificación abarca solo los elementos del cuerpo). Nótese que es solo el conjunto de todas las oraciones de primer orden que son verdaderas acerca del cuerpo de números reales. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Tarski demostró que es completa , lo que significa que cualquier oración - puede probarse como verdadera o falsa a partir de los axiomas anteriores. Además, es decidible , lo que significa que existe un algoritmo para determinar la verdad o falsedad de cualquier oración de ese tipo. Esto se hizo mostrando la eliminación de cuantificadores : existe un algoritmo que, dada cualquier fórmula - , que puede contener variables libres , produce una fórmula equivalente sin cuantificadores en las mismas variables libres, donde equivalente significa que las dos fórmulas son verdaderas para exactamente los mismos valores de las variables. La prueba de Tarski utiliza una generalización del teorema de Sturm . Dado que la verdad de las fórmulas sin cuantificadores sin variables libres se puede verificar fácilmente, esto produce el procedimiento de decisión deseado. Estos resultados se obtuvieron alrededor de  1930 y se publicaron en 1948. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

El teorema de Tarski-Seidenberg extiende este resultado al siguiente teorema de proyección . Si R es un cuerpo real cerrado, una fórmula con n variables libres define un subconjunto de R ⁿ , el conjunto de los puntos que satisfacen la fórmula. Tal subconjunto se llama conjunto semialgebraico . Dado un subconjunto de k variables, la proyección de R ⁿ a R ^k es la función que asigna cada n -tupla a la k -tupla de los componentes correspondientes al subconjunto de variables. El teorema de proyección afirma que una proyección de un conjunto semialgebraico es un conjunto semialgebraico, y que existe un algoritmo que, dada una fórmula sin cuantificadores que define un conjunto semialgebraico, produce una fórmula sin cuantificadores para su proyección.

De hecho, el teorema de proyección es equivalente a la eliminación del cuantificador, ya que la proyección de un conjunto semialgebraico definido por la fórmula p ( x , y ) se define por

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

donde x e y representan respectivamente el conjunto de variables eliminadas y el conjunto de variables mantenidas.

La decidibilidad de una teoría de primer orden de los números reales depende en gran medida de las operaciones y funciones primitivas que se consideren (aquí, la suma y la multiplicación). La adición de otros símbolos de funciones, por ejemplo, el seno o la función exponencial , puede proporcionar teorías indecidibles; véase el teorema de Richardson y la decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales .

Además, la completitud y decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales (mediante la adición y la multiplicación) contrasta marcadamente con los resultados de Gödel y Turing sobre la incompletitud e indecidibilidad de la teoría de primer orden de los números naturales (mediante la adición y la multiplicación). No hay contradicción, ya que la afirmación " x es un número entero" no puede formularse como una fórmula de primer orden en el lenguaje . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Complejidad de tomar decisionescfm

El algoritmo original de Tarski para la eliminación de cuantificadores tiene una complejidad computacional no elemental , lo que significa que no hay torre

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

Puede limitar el tiempo de ejecución del algoritmo si n es el tamaño de la fórmula de entrada. La descomposición algebraica cilíndrica , introducida por George E. Collins , proporciona un algoritmo de complejidad mucho más práctico.

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

donde n es el número total de variables (libres y acotadas), d es el producto de los grados de los polinomios que aparecen en la fórmula y O ( n ) es la notación O grande .

Davenport y Heintz (1988) demostraron que esta complejidad del peor caso es casi óptima para la eliminación de cuantificadores al producir una familia Φ _n de fórmulas de longitud O ( n ) , con n cuantificadores, y que involucran polinomios de grado constante, de modo que cualquier fórmula sin cuantificadores equivalente a Φ _n debe involucrar polinomios de grado y longitud donde es una notación Omega grande . Esto muestra que tanto la complejidad temporal como la complejidad espacial de la eliminación de cuantificadores son intrínsecamente doblemente exponenciales . ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}},}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Para el problema de decisión, Ben-Or, Kozen y Reif (1986) afirmaron haber demostrado que la teoría de campos cerrados reales es decidible en el espacio exponencial y, por lo tanto, en el tiempo doblemente exponencial, pero su argumento (en el caso de más de una variable) generalmente se considera defectuoso; véase Renegar (1992) para una discusión.

Para fórmulas puramente existenciales, es decir, fórmulas de la forma

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

donde ⋈ representa <, > o  = , la complejidad es menor. Basu y Roy (1996) proporcionaron un algoritmo de buen comportamiento para decidir la verdad de dicha fórmula existencial con complejidad de s ^{k +1} d ^{O ( k )} operaciones aritméticas y espacio polinomial .

Propiedades del pedido

Una propiedad de importancia crucial de los números reales es que se trata de un cuerpo arquimediano , es decir, tiene la propiedad arquimediana de que para cualquier número real, existe un entero mayor que él en valor absoluto . Nótese que esta afirmación no se puede expresar en el lenguaje de primer orden de los cuerpos ordenados, ya que no es posible cuantificar sobre números enteros en ese lenguaje.

Existen cuerpos reales cerrados que no son arquimedianos ; por ejemplo, cualquier cuerpo de números hiperreales es real cerrado y no arquimediano. Estos cuerpos contienen elementos infinitamente grandes (mayores que cualquier entero) e infinitesimales (positivos pero menores que cualquier racional positivo).

La propiedad de Arquímedes está relacionada con el concepto de cofinalidad . Un conjunto X contenido en un conjunto ordenado F es cofinal en F si para cada y en F hay un x en X tal que y < x . En otras palabras, X es una sucesión no acotada en F. La cofinalidad de F es la cardinalidad del conjunto cofinal más pequeño, es decir, el tamaño de la cardinalidad más pequeña que da una sucesión no acotada. Por ejemplo, los números naturales son cofinales en los reales, y por lo tanto la cofinalidad de los reales es . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Tenemos por tanto los siguientes invariantes que definen la naturaleza de un campo cerrado real F :

• La cardinalidad de F .
• La cofinalidad de F .

A esto podemos añadir:

• El peso de F , que es el tamaño mínimo de un subconjunto denso de F.

Estos tres números cardinales nos dicen mucho sobre las propiedades de orden de cualquier cuerpo cerrado real, aunque puede resultar difícil descubrir cuáles son, especialmente si no estamos dispuestos a invocar la hipótesis generalizada del continuo . También hay propiedades particulares que pueden o no cumplirse:

• Un cuerpo F está completo si no existe ningún cuerpo ordenado K que contenga adecuadamente a F tal que F sea denso en K . Si la cofinalidad de F es κ , esto es equivalente a decir que las secuencias de Cauchy indexadas por κ son convergentes en F .
• Un cuerpo ordenado F tiene la propiedad de conjunto eta η _α , para el número ordinal α , si para dos subconjuntos cualesquiera L y U de F de cardinalidad menor que tal que cada elemento de L es menor que cada elemento de U , hay un elemento x en F con x mayor que cada elemento de L y menor que cada elemento de U . Esto está estrechamente relacionado con la propiedad teórica de modelos de ser un modelo saturado ; dos cuerpos reales cerrados cualesquiera son η _α si y solo si están -saturados, y además dos cuerpos reales cerrados η _α ambos de cardinalidad son isomorfos de orden . ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

La hipótesis del continuo generalizado

Las características de los cuerpos cerrados reales se vuelven mucho más simples si estamos dispuestos a asumir la hipótesis generalizada del continuo . Si la hipótesis del continuo se cumple, todos los cuerpos cerrados reales con cardinalidad del continuo y que tienen la propiedad η ₁ son isomorfos de orden. Este cuerpo único Ϝ se puede definir por medio de una ultrapotencia , como , donde M es un ideal maximal que no conduce a un cuerpo isomorfo de orden a . Este es el cuerpo de números hiperreales más comúnmente usado en el análisis no estándar , y su unicidad es equivalente a la hipótesis del continuo. (Incluso sin la hipótesis del continuo tenemos que si la cardinalidad del continuo es entonces tenemos un cuerpo único η β de tamaño .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

Además, no necesitamos ultrapotencias para construir Ϝ , podemos hacerlo de manera mucho más constructiva como el subcuerpo de series con un número contable de términos distintos de cero del cuerpo de series de potencias formales en un grupo divisible abeliano totalmente ordenado G que es un grupo de cardinalidad η 1 (Alling 1962). ${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ϝ sin embargo no es un cuerpo completo; si tomamos su completitud, terminamos con un cuerpo Κ de cardinalidad mayor. Ϝ tiene la cardinalidad del continuo, que por hipótesis es , Κ tiene cardinalidad , y contiene a Ϝ como un subcuerpo denso. No es una ultrapotencia pero es un cuerpo hiperreal, y por lo tanto un cuerpo adecuado para los usos del análisis no estándar. Puede verse como el análogo de dimensión superior de los números reales; con cardinalidad en lugar de , cofinalidad en lugar de , y peso en lugar de , y con la propiedad η ₁ en lugar de la propiedad η ₀ (lo que simplemente significa que entre dos números reales cualesquiera podemos encontrar otro). ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Geometría euclidiana elemental

Los axiomas de Tarski son un sistema axiomático para la parte de primer orden ("elemental") de la geometría euclidiana . Utilizando esos axiomas, se puede demostrar que los puntos de una línea forman un cuerpo real cerrado R, y se pueden introducir coordenadas de modo que el plano euclidiano se identifique con R ² . Empleando la decidibilidad de la teoría de cuerpos reales cerrados, Tarski demostró entonces que la teoría elemental de la geometría euclidiana es completa y decidible. ^[4]

Notas

1. D. Macpherson y otros (1998)
2. Rajwade (1993) págs. 222-223
3. Efrat (2006) pág. 177
4. McNaughton, Robert (1953). "Revisión: Un método de decisión para álgebra elemental y geometría por A. Tarski" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 59 (1): 91–93. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

Referencias

• Alling, Norman L. (1962), "Sobre la existencia de cuerpos reales cerrados que son η _α -conjuntos de potencia ℵ _α .", Trans. Amer. Math. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR  0146089
• Basu, Saugata, Richard Pollack y Marie-Françoise Roy (2003) "Algoritmos en geometría algebraica real" en Algoritmos y computación en matemáticas . Springer. ISBN 3-540-33098-4 (versión en línea) 
• Michael Ben-Or, Dexter Kozen y John Reif, La complejidad del álgebra y la geometría elementales , Journal of Computer and Systems Sciences 32 (1986), n.º 2, págs. 251-264.
• Caviness, BF y Jeremy R. Johnson, eds. (1998) Eliminación de cuantificadores y descomposición algebraica cilíndrica . Springer. ISBN 3-211-82794-3 
• Chen Chung Chang y Howard Jerome Keisler (1989) Teoría de modelos . Holanda Septentrional.
• Dales, HG y W. Hugh Woodin (1996) Campos superreales . Oxford Univ. Press.
• Davenport, James H. ; Heintz, Joos (1988). "La eliminación del cuantificador real es doblemente exponencial". J. Symb. Comput . 5 (1–2): 29–35. doi : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Zbl  0663.03015.
• Efrat, Ido (2006). Valuaciones, ordenamientos y teoría K de Milnor . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 124. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN . 0-8218-4041-X.Zbl 1103.12002  .
• Macpherson, D., Marker, D. y Steinhorn, C., Estructuras débilmente o-mínimas y campos cerrados reales , Trans. of the American Math. Soc., Vol. 352, No. 12, 1998.
• Mishra, Bhubaneswar (1997) "Geometría algebraica real computacional", en Handbook of Discrete and Computational Geometry . CRC Press. Edición de 2004, pág. 743. ISBN 1-58488-301-4 
• Rajwade, AR (1993). Squares . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022  .
• Renegar, James (1992). "Sobre la complejidad computacional y la geometría de la teoría de primer orden de los números reales. Parte I: Introducción. Preliminares. La geometría de los conjuntos semialgebraicos. El problema de decisión para la teoría existencial de los números reales". Journal of Symbolic Computation . 13 (3): 255–299. doi : 10.1016/S0747-7171(10)80003-3 .
• Passmore, Grant (2011). Procedimientos de decisión combinados para aritmética no lineal, real y compleja (PDF) (PhD). Universidad de Edimburgo .
• Alfred Tarski (1951) Un método de decisión para álgebra elemental y geometría . Univ. de California Press.
• Erdös, P.; Gillman, L.; Henriksen, M. (1955), "Un teorema de isomorfismo para campos realmente cerrados", Ann. of Math. , 2, 61 (3): 542–554, doi :10.2307/1969812, JSTOR  1969812, MR  0069161

Enlaces externos

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• Servidor de preimpresiones de Model Theory