Anillo cerrado real

En matemáticas , un anillo cerrado real ( RCR ) es un anillo conmutativo A que es un subanillo de un producto de campos cerrados reales , que está cerrado bajo funciones semialgebraicas continuas definidas sobre los números enteros .

Ejemplos de anillos cerrados reales.

Dado que la definición rigurosa de un anillo cerrado real es de naturaleza técnica, es conveniente ver primero una lista de ejemplos destacados. Los siguientes anillos son todos anillos cerrados reales:

• campos cerrados reales . Estos son exactamente los verdaderos anillos cerrados que son los campos .
• el anillo de todas las funciones continuas de valor real en un espacio X completamente regular . Además, el anillo de todas las funciones continuas acotadas con valores reales en X es real cerrado.
• Subanillos convexos de campos cerrados reales. Se trata precisamente de esos anillos cerrados reales que también son anillos de valoración y que fueron estudiados inicialmente por Cherlin y Dickmann (utilizaron el término "anillo cerrado real" para lo que ahora se llama "anillo de valoración cerrado real").
• el anillo A de todas las funciones semialgebraicas continuas en un conjunto semialgebraico de un campo cerrado real (con valores en ese campo). Además, el subanillo de todas las funciones acotadas (en cualquier sentido) en A es real cerrado.
• (generalizando el ejemplo anterior) el anillo de todas las funciones definibles continuas (acotadas) en un conjunto definible S de una expansión arbitraria de primer orden M de un campo cerrado real (con valores en M ). Además, el anillo de todas las funciones definibles (limitadas) está realmente cerrado. ${\displaystyle S\to M}$
• Los anillos cerrados reales son precisamente los anillos de secciones globales de espacios cerrados reales afines (una generalización de los espacios semialgebraicos ) y en este contexto fueron inventados por Niels Schwartz a principios de los años 1980.

Definición

Un anillo cerrado real es un anillo unital conmutativo reducido A que tiene las siguientes propiedades:

1. El conjunto de cuadrados de A es el conjunto de elementos no negativos de orden parcial ≤ en A y ( A ,≤) es un anillo f .
2. Condición de convexidad: para todo a ,  b en A , si 0 ≤ a ≤ b , entonces b  |  un ² .
3. Para cada ideal primo p de A , el anillo de clase de residuo A / p está integralmente cerrado y su campo de fracciones es un campo real cerrado.

El enlace a la definición al principio de este artículo se encuentra en la sección sobre propiedades algebraicas a continuación.

El cierre real de un anillo conmutativo.

Cada anillo unital conmutativo R tiene un llamado cierre real rcl( R ) y este es único hasta un homomorfismo de anillo único sobre R . Esto significa que rcl( R ) es un anillo cerrado real y hay un homomorfismo de anillo (no necesariamente inyectivo ) tal que para cada homomorfismo de anillo con algún otro anillo cerrado real A , hay un homomorfismo de anillo único con . ${\displaystyle r:R\to rcl(R)}$ ${\displaystyle f:R\to A}$ ${\displaystyle g:rcl(R)\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ r}$

Por ejemplo, el cierre real del anillo polinomial es el anillo de funciones semialgebraicas continuas . ${\displaystyle \mathbb {R} [T_{1},...,T_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Un anillo arbitrario R es semi-real (es decir, −1 no es una suma de cuadrados en R ) si y sólo si el cierre real de R no es el anillo nulo.

El cierre real de un campo ordenado , en general, no es el cierre real del campo subyacente. Por ejemplo, el cierre real del subcampo ordenado de es el campo de los números algebraicos reales , mientras que el cierre real del campo es el anillo (correspondiente a los dos órdenes de ). De manera más general, el cierre real de un campo F es un cierto producto subdirecto de los cierres reales de los campos ordenados ( F , P ), donde P atraviesa los ordenamientos de F . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{alg}\times \mathbb {R} _{alg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

Propiedades algebraicas

• La categoría RCR de anillos cerrados reales que tiene anillos cerrados reales como objetos y homomorfismos de anillos como morfismos tiene las siguientes propiedades:

1. Los productos arbitrarios , los límites directos y los límites inversos (en la categoría de anillos unitales conmutativos) de anillos cerrados reales son nuevamente cerrados reales. La suma de fibras de dos anillos cerrados reales B , C sobre algún anillo cerrado real A existe en RCR y es el cierre real del producto tensorial de B y C sobre A.
2. RCR tiene límites y colimits arbitrarios .
3. RCR es una variedad en el sentido del álgebra universal (pero no una subvariedad de anillos conmutativos).

• Para un anillo cerrado real A , el homomorfismo natural de A con respecto al producto de todos sus campos residuales es un isomorfismo en un subanillo de este producto que está cerrado bajo funciones semialgebraicas continuas definidas sobre los números enteros. Por el contrario, todo subanillo de un producto de campos reales cerrados con esta propiedad es real cerrado.
• Si I es un ideal radical de un anillo cerrado real A , entonces también el anillo de clase de residuo A / I es real cerrado. Si I y J son ideales radicales de un anillo cerrado real, entonces la suma I  +  J es nuevamente un ideal radical.
• Todas las localizaciones clásicas S ⁻¹ A de un anillo real cerrado A son reales cerradas. La cáscara epimórfica y el anillo completo de cocientes de un anillo cerrado real son nuevamente cerrados reales.
• El anillo holomorfismo (real) H ( A ) de un anillo cerrado real A vuelve a ser realmente cerrado. Por definición, H ( A ) consta de todos los elementos f en A con la propiedad −N  ≤  f  ≤  N para algún número natural N . Aplicado a los ejemplos anteriores, esto significa que los anillos de funciones continuas acotadas (semialgebraicas/definibles) son todos realmente cerrados.
• El mapa de soporte del espectro real de un anillo cerrado real a su espectro de Zariski , que envía un orden P a su soporte, es un homeomorfismo . En particular, el espectro de Zariski de todo anillo cerrado real A es un sistema de raíces (en el sentido de la teoría de grafos ) y por lo tanto A es también un anillo de Gel'fand (es decir, todo ideal primo de A está contenido en un ideal máximo único de A). ). La comparación del espectro de Zariski de A con el espectro de Zariski de H ( A ) conduce a un homeomorfismo entre los espectros máximos de estos anillos, generalizando el teorema de Gel'fand-Kolmogorov para anillos de funciones continuas con valores reales. ${\displaystyle P\cap -P}$
• El mapa natural r de un anillo arbitrario R a su cierre real rcl( R ) como se explicó anteriormente, induce un homeomorfismo desde el espectro real de rcl( R ) al espectro real de R .
• Resumiendo y fortaleciendo significativamente las dos propiedades anteriores, lo siguiente es cierto: El mapa natural r desde un anillo arbitrario R hasta su cierre real rcl( R ) induce una identificación del esquema afín de rcl( R ) con el espacio cerrado real afín de r .
• Cada anillo cerrado real local es un anillo henseliano (pero en general los dominios cerrados reales locales no son anillos de valoración).

Propiedades teóricas del modelo.

La clase de anillos cerrados reales es axiomatizable e indecidible de primer orden . La clase de todos los anillos de valoración reales cerrados es decidible (por Cherlin-Dickmann) y la clase de todos los campos reales cerrados es decidible (por Tarski). Después de nombrar una relación radical definible, los anillos cerrados reales tienen un compañero modelo , a saber, los anillos cerrados reales regulares de von Neumann .

Comparación con caracterizaciones de campos cerrados reales.

Hay muchas caracterizaciones diferentes de campos cerrados reales . Por ejemplo, en términos de maximalidad (con respecto a extensiones algebraicas): un campo cerrado real es un campo máximamente ordenable; o bien, un campo cerrado real (junto con su orden único) es un campo ordenado al máximo. Otra caracterización dice que el teorema del valor intermedio se cumple para todos los polinomios en una variable en el campo (ordenado). En el caso de los anillos conmutativos, todas estas propiedades pueden (y son) analizadas en la literatura. Todos ellos conducen a diferentes clases de anillos que lamentablemente también se denominan "realmente cerrados" (porque una cierta caracterización de los campos reales cerrados se ha extendido a los anillos). Ninguno de ellos conduce a la clase de anillos cerrados reales y ninguno de ellos permite una noción satisfactoria de una operación de cierre. Un punto central en la definición de anillos cerrados reales es la globalización de la noción de un campo cerrado real a anillos cuando estos anillos se representan como anillos de funciones en algún espacio (típicamente, el espectro real del anillo).

Referencias

• Cherlin, Gregorio. Anillos de funciones continuas: problemas de decisión Teoría de modelos de álgebra y aritmética (Proc. Conf., Karpacz, 1979), págs. 44–91, Lecture Notes in Math., 834, Springer, Berlín, 1980.
• Cherlin, Gregory(1-RTG2); Dickmann, Max A. Anillos cerrados reales. II. Teoría de modelos. Ana. Pura aplicación. Lógica 25 (1983), núm. 3, 213–231.
• A. Prestel, N. Schwartz. Teoría de modelos de anillos cerrados reales. Teoría de la valoración y sus aplicaciones, vol. Yo (Saskatoon, SK, 1999), 261–290, Fields Inst. Comun., 32 años, Amer. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, 2002.
• Schwartz, Niels. La teoría básica de los espacios cerrados reales. Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense 1989 ( ISBN  0821824600 )
• Schwartz, Niels; Madden, James J. Anillos de funciones semialgebraicas y reflectores de anillos parcialmente ordenados. Apuntes de conferencias sobre matemáticas, 1712. Springer-Verlag, Berlín, 1999
• Schwartz, Niels. Anillos cerrados reales. Álgebra y orden (Luminy-Marseille, 1984), 175–194, Res. Exp. Math., 14, Heldermann, Berlín, 1986
• Schwartz, Niels. Anillos de funciones continuas como anillos cerrados reales. Estructuras algebraicas ordenadas (Curaçao, 1995), 277–313, Kluwer Acad. Publicado, Dordrecht, 1997.
• Tressl, Marcus. Anillos cerrados súper reales. Fundamenta Mathematicae 194 (2007), núm. 2, 121–177.