número algebraico

Número complejo que es raíz de un polinomio distinto de cero en una variable con coeficientes racionales

La raíz cuadrada de 2 es un número algebraico igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1.

Un número algebraico es un número que es raíz de un polinomio distinto de cero en una variable con coeficientes enteros (o, equivalentemente, racionales ). Por ejemplo, la proporción áurea , , es un número algebraico, porque es raíz del polinomio x ² − x − 1 . Es decir, es un valor de x para el cual el polinomio se evalúa como cero. Como otro ejemplo, el número complejo es algebraico porque es raíz de x ⁴ + 4 . ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle 1+i}$

Todos los números enteros y racionales son algebraicos, al igual que todas las raíces de números enteros . Los números reales y complejos que no son algebraicos, como π y e , se denominan números trascendentales .

El conjunto de números algebraicos es contablemente infinito y tiene medida cero en la medida de Lebesgue como un subconjunto de los números complejos incontables . En ese sentido, casi todos los números complejos son trascendentales .

Ejemplos

• Todos los números racionales son algebraicos. Cualquier número racional, expresado como el cociente de un número entero a y un número natural (distinto de cero) b , satisface la definición anterior, porque x =a/bes la raíz de un polinomio distinto de cero, es decir, bx − a . ^[1]
• Los números irracionales cuadráticos , soluciones irracionales de un polinomio cuadrático ax ² + bx + c con coeficientes enteros a , b y c , son números algebraicos. Si el polinomio cuadrático es mónico ( a = 1 ), las raíces se califican además como números enteros cuadráticos .
  • Los enteros gaussianos , números complejos a + bi para los cuales a y b son números enteros, también son números enteros cuadráticos. Esto se debe a que a + bi y a − bi son las dos raíces de la cuadrática x ² − 2 ax + a ² + b ² .
• Se puede construir un número construible a partir de una unidad de longitud determinada usando una regla y un compás. Incluye todas las raíces irracionales cuadráticas, todos los números racionales y todos los números que pueden formarse a partir de ellos utilizando las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. (Al designar direcciones cardinales para +1, −1, + i y − i , los números complejos como los que se consideran construibles). ${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• Cualquier expresión formada a partir de números algebraicos utilizando cualquier combinación de operaciones aritméticas básicas y extracción de raíces n -ésimas da otro número algebraico.
• Raíces polinómicas que no se pueden expresar en términos de operaciones aritméticas básicas y extracción de n -ésimas raíces (como las raíces de x ⁵ − x + 1 ). Esto sucede con muchos , pero no con todos, los polinomios de grado 5 o superior.
• Valores de funciones trigonométricas de múltiplos racionales de π (excepto cuando no están definidos): por ejemplo, cosπ/7, porque3 π/7, y porque5 π/7satisfacer 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0 . Este polinomio es irreducible sobre los racionales y por eso los tres cosenos son números algebraicos conjugados . Asimismo, broncearse3 π/dieciséis, bronceado7 π/dieciséis, bronceado11 π/dieciséisy bronceado15 π/dieciséissatisfacen el polinomio irreducible x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , y también lo son los enteros algebraicos conjugados . Este es el equivalente de los ángulos que, medidos en grados, tienen números racionales. ^{[ cita necesaria ]}
• Algunos números irracionales, pero no todos, son algebraicos:
  • Los números y son algebraicos ya que son raíces de polinomios x ² − 2 y 8 x ³ − 3 , respectivamente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • La proporción áurea φ es algebraica ya que es una raíz del polinomio x ² − x − 1 .
  • Los números π y e no son números algebraicos (ver el teorema de Lindemann-Weierstrass ). ^[2]

Propiedades

Números algebraicos en el plano complejo coloreados por grado (naranja brillante/rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4)

• Si un polinomio con coeficientes racionales se multiplica por el mínimo común denominador , el polinomio resultante con coeficientes enteros tiene las mismas raíces. Esto muestra que un número algebraico se puede definir de manera equivalente como una raíz de un polinomio con coeficientes enteros o racionales.
• Dado un número algebraico, existe un polinomio mónico único con coeficientes racionales de menor grado que tiene el número como raíz. Este polinomio se llama polinomio mínimo . Si su polinomio mínimo tiene grado n , entonces se dice que el número algebraico es de grado n . Por ejemplo, todos los números racionales tienen grado 1, y un número algebraico de grado 2 es un irracional cuadrático .
• Los números algebraicos son densos en los reales . Esto se desprende del hecho de que contienen números racionales, que son densos en los propios reales.
• El conjunto de números algebraicos es contable (enumerable), ^{[3] [4]} y por lo tanto su medida de Lebesgue como subconjunto de los números complejos es 0 (esencialmente, los números algebraicos no ocupan espacio en los números complejos). Es decir, "casi todos" los números reales y complejos son trascendentales.
• Todos los números algebraicos son computables y por tanto definibles y aritméticos .
• Para los números reales a y b , el número complejo a + bi es algebraico si y sólo si tanto a como b son algebraicos. ^[5]

Campo

Números algebraicos coloreados por grado (azul = 4, cian = 3, rojo = 2, verde = 1). El círculo unitario es negro.

The sum, difference, product and quotient (if the denominator is nonzero) of two algebraic numbers is again algebraic, as can be demonstrated by using the resultant, and algebraic numbers thus form a field^[6] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (sometimes denoted by ${\displaystyle \mathbb {A} }$, but that usually denotes the adele ring). Every root of a polynomial equation whose coefficients are algebraic numbers is again algebraic. That can be rephrased by saying that the field of algebraic numbers is algebraically closed. In fact, it is the smallest algebraically-closed field containing the rationals and so it is called the algebraic closure of the rationals.

Related fields

Numbers defined by radicals

Any number that can be obtained from the integers using a finite number of additions, subtractions, multiplications, divisions, and taking (possibly complex) nth roots where n is a positive integer are algebraic. The converse, however, is not true: there are algebraic numbers that cannot be obtained in this manner. These numbers are roots of polynomials of degree 5 or higher, a result of Galois theory (see Quintic equations and the Abel–Ruffini theorem). For example, the equation:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

has a unique real root that cannot be expressed in terms of only radicals and arithmetic operations.

Closed-form number

Algebraic numbers are all numbers that can be defined explicitly or implicitly in terms of polynomials, starting from the rational numbers. One may generalize this to "closed-form numbers", which may be defined in various ways. Most broadly, all numbers that can be defined explicitly or implicitly in terms of polynomials, exponentials, and logarithms are called "elementary numbers", and these include the algebraic numbers, plus some transcendental numbers. Most narrowly, one may consider numbers explicitly defined in terms of polynomials, exponentials, and logarithms – this does not include all algebraic numbers, but does include some simple transcendental numbers such as e or ln 2.

Algebraic integers

Algebraic numbers colored by leading coefficient (red signifies 1 for an algebraic integer)

Un número entero algebraico es un número algebraico que es raíz de un polinomio con coeficientes enteros con coeficiente principal 1 (un polinomio mónico ). Ejemplos de números enteros algebraicos son y Por lo tanto, los números enteros algebraicos constituyen un superconjunto propio de los números enteros , ya que estos últimos son las raíces de polinomios mónicos x − k para todos . En este sentido, los números enteros algebraicos son para los números algebraicos lo que los enteros son para los números racionales . ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 2-6i,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

La suma, diferencia y producto de números enteros algebraicos son nuevamente números enteros algebraicos, lo que significa que los números enteros algebraicos forman un anillo . El nombre entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los números enteros, y porque los enteros algebraicos en cualquier campo numérico son en muchos sentidos análogos a los números enteros. Si K es un campo numérico, su anillo de números enteros es el subanillo de números enteros algebraicos en K , y con frecuencia se denota como O _K. Estos son los ejemplos prototípicos de dominios de Dedekind .

clases especiales

• solución algebraica
• entero gaussiano
• Entero de Eisenstein
• Número irracional cuadrático
• Unidad fundamental
• Raíz de la unidad
• período gaussiano
• Número de Pisot-Vijayaraghavan
• número de salem

Notas

1. Algunos de los siguientes ejemplos provienen de Hardy & Wright (1972, págs. 159–160, 178–179)
2. Además, el teorema de Liouville se puede utilizar para "producir tantos ejemplos de números trascendentales como queramos", cf. Hardy y Wright (1972, pág. 161 y siguientes)
3. Hardy y Wright 1972, pág. 160, 2008:205.
4. Niven 1956, Teorema 7.5.
5. Niven 1956, Corolario 7.3.
6. Niven 1956, pág. 92.

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, señor  1129886
• Hardy, Godfrey Harold ; Wright, Edward M. (1972), Introducción a la teoría de números (5ª ed.), Oxford: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990) [1ª ed. 1982], Introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.), Berlín: Springer, doi :10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, señor  1070716
• Lang, Serge (2002) [1ª ed. 1965], Álgebra (3ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556
• Niven, Ivan M. (1956), Números irracionales , Asociación Matemática de América
• Ore, Øystein (1948), La teoría de números y su historia , Nueva York: McGraw-Hill