Número de Pisot–Vijayaraghavan

Tipo de entero algebraico

En matemáticas , un número de Pisot–Vijayaraghavan , también llamado simplemente número de Pisot o número PV , es un entero algebraico real mayor que 1, todos cuyos conjugados de Galois son menores que 1 en valor absoluto . Estos números fueron descubiertos por Axel Thue en 1912 y redescubiertos por GH Hardy en 1919 dentro del contexto de la aproximación diofántica . Se hicieron ampliamente conocidos después de la publicación de la disertación de Charles Pisot en 1938. También aparecen en el problema de unicidad para las series de Fourier . Tirukkannapuram Vijayaraghavan y Raphael Salem continuaron su estudio en la década de 1940. Los números de Salem son un conjunto de números estrechamente relacionados.

Una propiedad característica de los números PV es que sus potencias se aproximan a los números enteros a una tasa exponencial. Pisot demostró una notable recíproca : si α  > 1 es un número real tal que la secuencia

${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$

midiendo la distancia desde sus potencias consecutivas al entero más cercano es sumable al cuadrado , o ℓ ² , entonces α es un número de Pisot (y, en particular, algebraico). Basándose en esta caracterización de los números PV, Salem demostró que el conjunto S de todos los números PV es cerrado . Su elemento mínimo es una irracionalidad cúbica conocida como razón plástica . Se sabe mucho sobre los puntos de acumulación de S. El más pequeño de ellos es la proporción áurea .

Definición y propiedades

Un entero algebraico de grado n es una raíz α de un polinomio mónico irreducible P ( x ) de grado n con coeficientes enteros, su polinomio minimal . Las otras raíces de P ( x ) se denominan conjugados de α . Si α  > 1 pero todas las demás raíces de P ( x ) son números reales o complejos de valor absoluto menor que 1, de modo que se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario en el plano complejo , entonces α se denomina número de Pisot , número de Pisot–Vijayaraghavan o simplemente número PV . Por ejemplo, la proporción áurea , φ ≈ 1,618, es un entero cuadrático real que es mayor que 1, mientras que el valor absoluto de su conjugado, − φ ⁻¹ ≈ −0,618, es menor que 1. Por lo tanto, φ es un número de Pisot. Su polinomio mínimo es x ² − x − 1.

Propiedades elementales

• Todo número entero mayor que 1 es un número PV. A la inversa, todo número PV racional es un número entero mayor que 1.
• Si α es un número PV irracional cuyo polinomio mínimo termina en k , entonces α es mayor que | k  |.
• Si α es un número PV entonces también lo son sus potencias α ^k , para todos los exponentes enteros positivos k .
• Todo cuerpo de números algebraicos reales K de grado n contiene un número PV de grado n . Este número es un generador de cuerpo. El conjunto de todos los números PV de grado n en K es cerrado respecto de la multiplicación.
• Dado un límite superior M y grado n , solo hay un número finito de números PV de grado n que sean menores que M.
• Todo número PV es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno, cuyos conjugados tienen un valor absoluto menor).

Propiedades diofánticas

El principal interés en los números PV se debe al hecho de que sus potencias tienen una distribución muy "sesgada" (mod 1). Si α es un número PV y λ es cualquier entero algebraico en el campo , entonces la secuencia ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,}$

donde || x || denota la distancia desde el número real x al entero más próximo, se aproxima a 0 a una tasa exponencial. En particular, es una sucesión sumable al cuadrado y sus términos convergen a 0.

Se conocen dos enunciados inversos: caracterizan los números PV entre todos los números reales y entre los números algebraicos (pero bajo un supuesto diofántico más débil).

• Supongamos que α es un número real mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .}$

Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo ( teorema de Pisot ). ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

• Supongamos que α es un número algebraico mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .}$

Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Un antiguo problema de Pisot-Vijayaraghavan plantea la pregunta de si se puede prescindir de la suposición de que α es algebraico en la última afirmación. Si la respuesta es afirmativa, los números de Pisot se caracterizarían entre todos los números reales por la simple convergencia de || λα ⁿ || a 0 para algún real auxiliar λ . Se sabe que solo hay una cantidad contable de números α con esta propiedad. ^{[ cita requerida ]} El problema es decidir si alguno de ellos es trascendental .

Propiedades topológicas

El conjunto de todos los números de Pisot se denota S . Como los números de Pisot son algebraicos, el conjunto S es contable. Raphael Salem demostró que este conjunto es cerrado : contiene todos sus puntos límite . ^[1] Su demostración utiliza una versión constructiva de la propiedad diofántica principal de los números de Pisot: ^[2] dado un número de Pisot α , se puede elegir un número real λ de modo que 0 < λ ≤ α y

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.}$

De este modo, la norma ℓ ² de la secuencia || λα ⁿ || puede estar acotada por una constante uniforme independiente de α . En el último paso de la demostración, se invoca la caracterización de Pisot para concluir que el límite de una secuencia de números de Pisot es en sí mismo un número de Pisot.

La cerrazón de S implica que tiene un elemento mínimo . Carl Siegel demostró que es la raíz positiva de la ecuación x ³ − x − 1 = 0 ( constante plástica ) y está aislada en S. ^[3] Construyó dos secuencias de números de Pisot que convergen a la proporción áurea φ desde abajo y preguntó si φ es el punto límite más pequeño de S. Esto fue demostrado más tarde por Dufresnoy y Pisot, quienes también determinaron todos los elementos de S que son menores que φ ; no todos ellos pertenecen a las dos secuencias de Siegel. Vijayaraghavan demostró que S tiene infinitos puntos límite; de ​​hecho, la secuencia de conjuntos derivados

${\displaystyle S,S',S'',\ldots }$

no termina. Por otra parte, la intersección de estos conjuntos está vacía , lo que significa que el rango de Cantor-Bendixson de S es ω . Aún más exactamente, se ha determinado el tipo de orden de S. ^[4] ${\displaystyle S^{(\omega )}}$

El conjunto de números de Salem , denotado por T , está íntimamente relacionado con S. Se ha demostrado que S está contenido en el conjunto T' de los puntos límite de T. [ ^{5] [6]} Se ha conjeturado que la unión de S y T es cerrada. ^[7]

Irracionales cuadráticos

Si es un irracional cuadrático solo hay otro conjugado, , que se obtiene al cambiar el signo de la raíz cuadrada en de ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ to }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,}$

o desde

${\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ to }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

Aquí a y D son números enteros y en el segundo caso a es impar y D es congruente con 1 módulo 4.

Las condiciones requeridas son α  > 1 y −1 <  α'  < 1. Estas se satisfacen en el primer caso exactamente cuando a  > 0 y o , y se satisfacen en el segundo caso exactamente cuando y o . ${\displaystyle (a-1)^{2}<D<a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle (a-2)^{2}<D<a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}$

Por lo tanto, los primeros irracionales cuadráticos que son números PV son:

Potencias de los números PV

Los números de Pisot-Vijayaraghavan se pueden utilizar para generar números casi enteros : la potencia n de un número de Pisot se acerca a los números enteros a medida que n crece. Por ejemplo,

${\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.}$

Dado que y difieren sólo en ${\displaystyle 27379\,}$ ${\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,}$ ${\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}$

${\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots }$

está extremadamente cerca de

${\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .}$

En efecto

${\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.}$

Los poderes superiores proporcionan aproximaciones racionales correspondientemente mejores.

Esta propiedad se deriva del hecho de que para cada n , la suma de las n ésimas potencias de un entero algebraico x y sus conjugados es exactamente un entero; esto se desprende de una aplicación de las identidades de Newton . Cuando x es un número de Pisot, las n ésimas potencias de los otros conjugados tienden a 0 cuando n tiende a infinito. Como la suma es un entero, la distancia desde x ⁿ hasta el entero más cercano tiende a 0 a una tasa exponencial.

Números pequeños de Pisot

Dufresnoy y Pisot han determinado todos los números de Pisot que no superan la proporción áurea φ . La siguiente tabla enumera los diez números de Pisot más pequeños en orden creciente. ^[8]

Dado que estos números PV son menores que 2, todos son unidades: sus polinomios mínimos terminan en 1 o −1. Los polinomios de esta tabla, ^[9] con excepción de

${\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,}$

son factores de cualquiera de los dos

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+1}$

o

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).}$

El primer polinomio es divisible por x ²  − 1 cuando n es impar y por x  − 1 cuando n es par . Tiene otro cero real, que es un número PV. Dividir cualquiera de los polinomios por x ⁿ da expresiones que se aproximan a x ²  −  x  − 1 a medida que n crece mucho y tienen ceros que convergen a φ . Un par complementario de polinomios,

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-1}$

y

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,}$

produce números de Pisot que se aproximan a φ desde arriba.

El modelado de turbulencia bidimensional utilizando cadenas espirales logarítmicas con autosimilitud definida por un factor de escala constante se puede reproducir con algunos números de Pisot pequeños. ^[10]

Referencias

1. Salem, R. (1944). "Una clase notable de números enteros algebraicos. Prueba de una conjetura de Vijayaraghavan". Duke Math. J. 11 : 103–108. doi :10.1215/s0012-7094-44-01111-7. Zbl  0063.06657.
2. Salem (1963) pág. 13
3. Siegel, Carl Ludwig (1944). "Números enteros algebraicos cuyos conjugados se encuentran en el círculo unitario". Duke Math. J. 11 : 597–602. doi :10.1215/S0012-7094-44-01152-X. Zbl  0063.07005.
4. Boyd, David W. ; Mauldin, R. Daniel (1996). "El tipo de orden del conjunto de números de Pisot". Topología y sus aplicaciones . 69 : 115–120. doi : 10.1016/0166-8641(95)00029-1 .
5. Salem, R. (1945). "Series de potencias con coeficientes integrales". Duke Math. J. 12 : 153–172. doi :10.1215/s0012-7094-45-01213-0. Zbl  0060.21601.
6. Salem (1963) pág. 30
7. Salem (1963) pág. 31
8. Dufresnoy, J.; Pisot, cap. (1955), "Etude de sures fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés), 72 : 69–92, SEÑOR  0072902Los números más pequeños se enumeran en orden numérico en la página 92.
9. Bertin y otros, pág. 133.
10. Ö. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Modelos de cadena espiral de turbulencia bidimensional". Physical Review E . 100 . arXiv : 1903.09494 . doi :10.1103/PhysRevE.100.043113.

• MJ Bertin; A. Decomps-Guilloux; M. Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; JP Schreiber (1992). Números de Pisot y Salem . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
• Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95444-9.Zbl 1020.12001  .Cap. 3.
• Boyd, David W. (1978). "Números de Pisot y Salem en intervalos de la línea real". Math. Comp . 32 : 1244–1260. doi : 10.2307/2006349 . ISSN  0025-5718. Zbl  0395.12004.
• Cassels, JWS (1957). Introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press . Págs. 133–144.
• Hardy, GH (1919). "Un problema de aproximación diofántica". J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243.
• Ö. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Modelos de cadena espiral de turbulencia bidimensional". Physical Review E . 100 . arXiv : 1903.09494 . doi :10.1103/PhysRevE.100.043113.
• Pisot, Charles (1938). "La répartition módulo 1 et nombres algébriques". Ana. Carolina del Sur. Norma. Súper. PisaII . Ser. 7 (en francés): 205–248. Zbl  0019.15502.
• Salem, Raphaël (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Monografías matemáticas de Heath. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802.
• Martes, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Größe haben kann". Christiania Vidensk. selsk. Skrifter . 2 (20): 1–15. JFM  44.0480.04.

Enlaces externos

• Número de Pisot, Enciclopedia de Matemáticas
• Terr, David y Weisstein, Eric W. "Número de Pisot". MathWorld .