número de salem

Tipo de entero algebraico

Gráfico de las raíces del polinomio de Lehmer , con el número de Salem correspondiente cerca en oro. ${\displaystyle x=1.17628}$

En matemáticas , un número de Salem es un entero algebraico real cuyas raíces conjugadas tienen todas un valor absoluto no mayor que 1, y al menos una de las cuales tiene un valor absoluto exactamente 1. Los números de Salem son de interés en la aproximación diofántica y el análisis armónico . Llevan el nombre de Raphaël Salem . ${\displaystyle \alpha >1}$

Propiedades

Debido a que tiene una raíz de valor absoluto 1, el polinomio mínimo de un número de Salem debe ser un polinomio recíproco . Esto implica que también es una raíz y que todas las demás raíces tienen un valor absoluto exactamente uno. Como consecuencia α debe ser una unidad en el anillo de los enteros algebraicos, siendo de norma 1. ${\displaystyle 1/\alpha }$

Cada número de Salem es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno, todos cuyos conjugados tienen un valor absoluto menor).

Relación con los números de Pisot-Vijayaraghavan

El número de Salem más pequeño conocido es la raíz real más grande del polinomio de Lehmer (llamado así en honor a Derrick Henry Lehmer ).

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

que es aproximadamente : se conjetura que de hecho es el número de Salem más pequeño y la medida de Mahler más pequeña posible de un polinomio no ciclotómico irreducible . ^[1] ${\displaystyle x=1.17628}$

El polinomio de Lehmer es un factor del polinomio de grado más corto -12,

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$

cuyas doce raíces satisfacen la relación ^[2]

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$

Los números de Salem se pueden construir a partir de números de Pisot-Vijayaraghavan . Recordemos que la más pequeña de estas últimas es la raíz real única del polinomio cúbico ,

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

conocida como relación plástica y aproximadamente igual a 1,324718. Esto se puede utilizar para generar una familia de números de Salem, incluido el más pequeño encontrado hasta ahora. El enfoque general es tomar el polinomio mínimo de un número de Pisot-Vijayaraghavan y su polinomio recíproco , y resolver la ecuación, ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P^{*}(x)}$

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)}$

para un número entero por encima de un límite. Restar un lado del otro, factorizar y descartar factores triviales dará como resultado el polinomio mínimo de ciertos números de Salem. Por ejemplo, usando el caso negativo de lo anterior, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}$

entonces para , esto se factoriza como, ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}$

donde la decic es el polinomio de Lehmer. Usar valores más altos producirá una familia con una raíz que se acercará a la proporción plástica. Esto se puede entender mejor si se analizan las raíces de ambos lados. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}$

así que a medida que sube, se acercará a la solución de . Si se utiliza el caso positivo, entonces se aproxima a la relación plástica desde la dirección opuesta. Usando el polinomio mínimo del siguiente número más pequeño de Pisot-Vijayaraghavan se obtiene ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),}$

que para factores como ${\displaystyle n=7}$

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0,}$

un decic no generado en el anterior y tiene la raíz que es el quinto número de Salem más pequeño conocido. As , esta familia a su vez tiende hacia la raíz real más grande de . ${\displaystyle x=1.216391\ldots }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1=0}$

Referencias

1. Borwein (2002) p.16
2. D. Bailey y D. Broadhurst, Una escalera de polilogaritmos de orden decimoséptimo

• Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS de Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.Cap. 3.
• Boyd, David (2001) [1994], "Número de Salem", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• MJ Mossinghoff. "Pequeños números de Salem" . Consultado el 7 de enero de 2016 .
• Salem, R. (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Monografías de matemáticas de salud. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802.