Relación plástica

Número algebraico, aproximadamente 1,3247

En matemáticas, la proporción plástica es una proporción geométrica cercana a 53/40 . Su verdadero valor es la solución real de la ecuación x ³ = x + 1.

El adjetivo plástico no se refiere al material artificial, sino a las cualidades formativas y escultóricas de esta relación, como en las artes plásticas .

Los cuadrados con lados en proporción ρ forman una espiral cerrada

Definición

Tres cantidades a > b > c > 0 están en la razón plástica si

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}={\frac {b}{c}}}$.

La relación se denota comúnmente ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle \rho .}$

Deja y , entonces ${\displaystyle a=\rho \,}$ ${\displaystyle \,b=1}$

${\displaystyle \rho ^{2}=1+c\,\land \,\rho =1/c}$

${\displaystyle \implies \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$.

Se deduce que la razón plástica se encuentra como la única solución real de la ecuación cúbica. La expansión decimal de la raíz comienza como (secuencia A060006 en la OEIS ). ${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0.}$ ${\displaystyle 1.324\,717\,957\,244\,746...}$

Resolviendo la ecuación con la fórmula de Cardano ,

${\displaystyle w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)/2}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

o, usando el coseno hiperbólico , ^[2]

${\displaystyle \rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

${\displaystyle \rho }$es el punto fijo superestable de la iteración . ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1)}$

La iteración da como resultado la raíz cuadrada recíproca continua. ${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Dividiendo el trinomio definitorio por uno se obtiene , y los elementos conjugados de son ${\displaystyle x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle x-\rho }$ ${\displaystyle x^{2}+\rho x+1/\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle x_{1,2}=\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right)/2,}$

con y ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\rho \;}$ ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\rho .}$

Propiedades

Los rectángulos en proporciones de aspecto ρ , ρ ² , ρ ³ (arriba) y ρ ² , ρ , ρ ³ (fila inferior) forman mosaicos en el cuadrado.

La proporción plástica y la proporción áurea son los únicos números mórficos: números reales x > 1 para los cuales existen números naturales m y n tales que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle x+1=x^{m}}$y . ^[3] ${\displaystyle x-1=x^{-n}}$

Los números mórficos pueden servir como base para un sistema de medida.

Las propiedades de (m=3 y n=4) están relacionadas con las de (m=2 y n=1). Por ejemplo, la relación plástica satisface el radical continuo ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}$,

mientras que la proporción áurea satisface lo análogo

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

La relación plástica se puede expresar en términos de sí misma como la serie geométrica infinita.

${\displaystyle \rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}}$y ${\displaystyle \,\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},}$

en comparación con la identidad de la proporción áurea

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$y viceversa .

Además, mientras ${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.}$

Por cada número entero que se tiene ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}.\end{aligned}}}$

La solución algebraica de una ecuación quíntica reducida se puede escribir en términos de raíces cuadradas, raíces cúbicas y el radical Bring . Si entonces . Desde ${\displaystyle y=x^{5}+x}$ ${\displaystyle x=BR(y)}$ ${\displaystyle \rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\quad \rho =1/BR(1).}$

Patrón de fracción continua de unas pocas potencias bajas.

${\displaystyle \rho ^{-1}=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549}$( 25/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \rho ^{1}=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247}$( 45/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{2}=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549}$( 58/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{3}=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247}$( 79/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{4}=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796}$( 40/13 )

${\displaystyle \ \rho ^{5}=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796}$( 53/13 ) ...

${\displaystyle \ \rho ^{7}=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592}$( 93/13 ) ...

${\displaystyle \ \rho ^{9}=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635}$( 88/7 )

La relación plástica es el número de Pisot más pequeño . ^[4] Debido a que el valor absoluto de los conjugados algebraicos es menor que 1, las potencias de generan casi números enteros . Por ejemplo: después de 29 pasos de rotación, las fases del par conjugado en espiral hacia adentro, inicialmente cerca , casi se alinean con el eje imaginario. ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.}$ ${\displaystyle \pm 45\pi /58}$

El polinomio mínimo de la relación plástica tiene discriminante . El campo de clase de Hilbert de un campo cuadrático imaginario se puede formar uniendo . Con el argumento a generador para el anillo de números enteros de , se tiene el valor especial del cociente eta de Dedekind ${\displaystyle m(x)=x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle \Delta =-23}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$. ^[5]

Expresado en términos del invariante de clase Weber-Ramanujan G _n

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$. ^[6]

"Las propiedades del invariante j de Klein relacionado dan como resultado una identidad cercana" . La diferencia es <1/12659 . ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24}$

El valor singular integral elíptico ^[7] para tiene una expresión en forma cerrada ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$ ${\displaystyle r=23}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)}$

(que es menos de 1/3 de la excentricidad de la órbita de Venus).

Secuencia de Van der Laan

El corte Cordonnier de 1924. Con S ₁ = 3, S ₂ = 4, S ₃ = 5 , la media armónica deS ₂/S ₁ ,S ₁ + S ₂/S ₃ yS ₃/S ₂ es 3 / (3/4+5/7+4/5 ) ≈ ρ + 1/4922 .

En su búsqueda de una claridad perceptible, el monje y arquitecto benedictino holandés Dom Hans van der Laan (1904-1991) pidió la diferencia mínima entre dos tamaños, para que los percibamos claramente como distintos. Además, ¿cuál es la relación máxima entre dos tamaños para que aún podamos relacionarlos y percibir cercanía? Según sus observaciones, las respuestas son 1/4 y 7/1 , abarcando un único orden de tamaño . ^[8] Requiriendo continuidad proporcional, construyó una serie geométrica de ocho medidas ( tipos de tamaño ) con razón común 2/(3/4 + 1/7 ^1/7 ) ≈ ρ . Dicho de forma racional, este sistema arquitectónico de medida se construye a partir de un subconjunto de los números que llevan su nombre.

Los números de Van der Laan tienen una estrecha conexión con las secuencias de Perrin y Padovan . En combinatoria, el número de composiciones de n en las partes 2 y 3 se cuenta mediante el enésimo número de Van der Laan.

La secuencia de Van der Laan está definida por la relación de recurrencia de tercer orden

${\displaystyle V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}}$para norte > 2 ,

con valores iniciales

${\displaystyle V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1}$.

Los primeros términos son 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... (secuencia A182097 en la OEIS ). La relación límite entre términos consecutivos es la relación plástica.

Los primeros 14 índices n para los cuales es primo son n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 (secuencia A112882 en la OEIS ). ^[9] El último número tiene 154 dígitos decimales. ${\displaystyle V_{n}}$

La secuencia se puede extender a índices negativos usando

${\displaystyle V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}}$.

La función generadora de la secuencia de Van der Laan viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}}$para ^[10] ${\displaystyle x<1/\rho \;.}$

La secuencia está relacionada con sumas de coeficientes binomiales por

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}}$. ^[11]

La ecuación característica de la recurrencia es . Si las tres soluciones son raíz real y par conjugado y , los números de Van der Laan se pueden calcular con la fórmula de Binet ^[11] ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$, con reales y conjugados y las raíces de . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 23x^{3}+x-1=0}$

Dado que y , el número es el entero más cercano a , con n > 1 y 0,31062 88296 40467 07776 19027... ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$ ${\displaystyle \alpha =\rho }$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle a\,\rho ^{n+1}}$ ${\displaystyle a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=}$

Los coeficientes dan como resultado la fórmula de Binet para la secuencia relacionada . ${\displaystyle a=b=c=1}$ ${\displaystyle P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}}$

Los primeros términos son 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... (secuencia A001608 en el OEIS ).

Esta secuencia de Perrin tiene la propiedad de Fermat : si p es primo ,. Lo contrario no se cumple, pero el pequeño número de pseudoprimos hace que la secuencia sea especial. ^[12] Los únicos 7 números compuestos por debajo de 10 ⁸ que pasan la prueba son n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291. ^[13] ${\displaystyle P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid P_{n}}$

Un fractal plástico de Rauzy: la superficie combinada y las tres baldosas separadas tienen áreas en las proporciones ρ ⁵  : ρ ²  : ρ  : 1.

Los números de Van der Laan se obtienen como potencias integrales n > 2 de una matriz con valor propio real ^[10] ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}}$

El rastro de da los números de Perrin. ${\displaystyle Q^{n}}$

Alternativamente, se puede interpretar como una matriz de incidencia para un sistema D0L Lindenmayer en el alfabeto con la regla de sustitución correspondiente. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

e iniciador . La serie de palabras producida al iterar la sustitución tiene la propiedad de que el número de c, b y a son iguales a números sucesivos de Van der Laan. Sus longitudes son ${\displaystyle w_{0}=c}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle l(w_{n})=V_{n+2}.}$

Asociado a este proceso de reescritura de cadenas hay un conjunto compuesto por tres mosaicos autosimilares superpuestos llamado fractal Rauzy , que visualiza la información combinatoria contenida en una secuencia de letras de múltiples generaciones. ^[14]

Geometría

Tres particiones de un cuadrado en rectángulos semejantes, 1 = 3·1/3=2/3+ 2·1/6=1/ρ ² +1/ρ ⁴ +1/ρ ⁸ .

Hay precisamente tres formas de dividir un cuadrado en tres rectángulos similares: ^{[15] [16]}

1. La solución trivial dada por tres rectángulos congruentes con una relación de aspecto de 3:1.
2. La solución en la que dos de los tres rectángulos son congruentes y el tercero tiene el doble de longitudes de lado que los otros dos, donde los rectángulos tienen una relación de aspecto de 3:2.
3. La solución en la que los tres rectángulos son todos de diferentes tamaños y donde tienen una relación de aspecto ρ ² . Las proporciones de los tamaños lineales de los tres rectángulos son: ρ (grande:mediano); ρ ² (mediano:pequeño); y ρ ³ (grande:pequeño). El borde largo interno del rectángulo más grande (la línea de falla del cuadrado) divide dos de los cuatro bordes del cuadrado en dos segmentos, cada uno de los cuales se encuentra entre sí en la proporción ρ. El borde corto interno coincidente del rectángulo mediano y el borde largo del rectángulo pequeño dividen uno de los otros dos bordes del cuadrado en dos segmentos que se encuentran entre sí en la proporción ρ ⁴ .

El hecho de que un rectángulo de relación de aspecto ρ ² pueda usarse para disecciones de un cuadrado en rectángulos similares es equivalente a una propiedad algebraica del número ρ ² relacionada con el teorema de Routh-Hurwitz : todos sus conjugados tienen parte real positiva. ^{[17] [18]}

El circunradio del icosidodecadodecaedro chato para una unidad de longitud de borde es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}}$. ^[19]

Historia y nombres

La iglesia de la abadía de St. Benedictusberg de 1967 diseñada por Hans van der Laan.

${\displaystyle \rho }$fue estudiado por primera vez por Axel Thue en 1912 y por GH Hardy en 1919. ^[4] El estudiante de secundaria francés Gérard Cordonnier descubrió la proporción por sí mismo en 1924. En su correspondencia con Hans van der Laan unos años más tarde, la llamó El radiante número ( francés : Le nombre radiante ). Van der Laan inicialmente se refirió a él como la proporción fundamental ( holandés : De grondverhouding ), utilizando el número plástico ( holandés : Het platische getal ) a partir de la década de 1950. ^[20] En 1944, Carl Siegel demostró que ρ es el número de Pisot-Vijayaraghavan más pequeño posible y sugirió nombrarlo en honor a Thue.

A diferencia de los nombres de las proporciones áurea y plateada , van der Laan no pretendía que la palabra plástico se refiriera a una sustancia específica, sino más bien en su sentido adjetivo, es decir, algo a lo que se le puede dar una forma tridimensional. ^[21] Esto, según Richard Padovan , se debe a que las proporciones características del número,3/4y1/7, se relacionan con los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan diseñó la iglesia de la Abadía de St. Benedictusberg en 1967 con estas proporciones plásticas de números. ^[22]

El número plástico también se llama a veces número de plata, nombre que le dio Midhat J. Gazalé ^[23] y utilizado posteriormente por Martin Gardner , ^[24] pero ese nombre se usa más comúnmente para la proporción de plata 1 + √ 2 , una de las proporciones de la familia de los medios metálicos descrita por primera vez por Vera W. de Spinadel . Gardner sugirió referirse a ρ ² como "phi alta", y Donald Knuth creó una marca tipográfica especial para este nombre, una variante de la letra griega phi ("φ") con su círculo central levantado, asemejándose a la letra georgiana pari ("Ⴔ ").

Ver también

• Soluciones de ecuaciones similares a : ${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • Proporción áurea : la única solución positiva de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Proporción superáurea : la única solución real de la ecuación ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

Referencias

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A072117". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
2. Tabrizian, Peyam (2022). "¿Cuál es la proporción plástica?". YouTube . Consultado el 26 de noviembre de 2023 .
3. Aarts, enero; Fokkink, Robbert; Kruijtzer, Godfried (2001). "Números mórficos" (PDF) . Nieuw Archief voor Wiskunde . 5. 2 (1): 56–58 . Consultado el 26 de noviembre de 2023 .
4. Panju, Maysum (2011). «Una construcción sistemática de números casi enteros» (PDF) . La revisión de matemáticas de Waterloo . 1 (2): 35–43 . Consultado el 29 de noviembre de 2023 .
5. Weisstein, Eric W. "Constante plástica". MundoMatemático .
6. Función G de Ramanujan (en alemán)
7. Weisstein, Eric W. "Valor singular integral elíptico". MundoMatemático .
8. Voet, Caroline [en holandés] (2019). "1:7 y una serie de 8". La sala de estudio digital de Dom Hans van der Laan . Fundación Van der Laan . Consultado el 28 de noviembre de 2023 .
9. V _norte = Pa _{norte +3}
10. (secuencia A182097 en la OEIS )
11. (secuencia A000931 en la OEIS )
12. Adams, William; Shanks, Daniel (1982). "Pruebas de primalidad fuertes que no son suficientes". Matemáticas. comp . 39 (159). AMS: 255–300. doi : 10.2307/2007637 . JSTOR  2007637.
13. (secuencia A013998 en la OEIS )
14. Siegel, Ana; Asíwaldner, Jörg M. (2009). "Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy". Mémoires de la Société Mathématique de France . 2. 118 : 1–140. doi :10.24033/msmf.430.
15. Stewart, Ian (1996). "Cuentos de un número olvidado". Científico americano . 274 (6): 102-103. Código Bib : 1996SciAm.274f.102S. doi : 10.1038/scientificamerican0696-102. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2012.Comentarios en: Stewart, Ian (1996). "Una guía para las citas por computadora". Científico americano . 275 (5): 118. Código Bib :1996SciAm.275e.116S. doi : 10.1038/scientificamerican1196-116.
16. Spinadel, Vera W. de ; Redondo Buitrago, Antonia (2009), "Hacia el número plástico de van der Laan en el plano" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 13 (2): 163–175
17. Freiling, C.; Rinne, D. (1994), "Mosaico de un cuadrado con rectángulos similares", Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3 , MR  1295549
18. Laczkovich, M.; Szekeres, G. (1995), "Mosaicos del cuadrado con rectángulos similares", Geometría computacional y discreta , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007/BF02574063 , SEÑOR  1318796
19. Weisstein, Eric W. "Desaire icosidodecadodecaedro". MundoMatemático .
20. Voet 2016, nota 12.
21. Shannon, AG; Anderson, PG; Horadam, AF (2006). "Propiedades de los números de Cordonnier, Perrin y Van der Laan". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 37 (7): 825–831. doi :10.1080/00207390600712554. S2CID  119808971.
22. Padovan, Richard (2002), "Dom Hans van der Laan and The plastic number", Nexus IV: Arquitectura y matemáticas , Fucecchio (Florencia): Kim Williams Books: 181–193.
23. Gazalé, Midhat J. (1999). "Capítulo VII: El número de plata". Gnomon: de faraones a fractales . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 135-150.
24. Gardner, Martín (2001). "Seis desafiantes tareas de disección" (PDF) . Un entrenamiento de Gardner . Natick, MA: AK Peters. págs. 121-128.(Enlace al artículo de Quantum de 1994 sin la posdata de Gardner).

Otras lecturas

• Laan, van der, Hans (1960), Le nombre plastique, Quinze leçons sur l'ordonnance Architectonique , Leiden: Brill.
• Padovan, Richard ; Eck, Caroline van ; Scheepmaker, HJ (1994), Dom Hans van der Laan: Modern Primitive , Ámsterdam: Architectura & Natura.
• Voet, Caroline [en holandés] (2016), "Entre mirar y hacer: desentrañar el número plástico de Dom Hans van der Laan", Historias arquitectónicas , 4 (1), Londres: Red europea de historia de la arquitectura.

enlaces externos

• Rectángulo de plástico y secuencia padova en Tartapelago de Giorgio Pietrocola.
• La sala de estudio digital de Dom Hans van der Laan en los Archivos Van der Laan.
• Harriss, Edmund , "The Plastic Ratio" (video) , youtube , Brady Haran , archivado desde el original el 21 de diciembre de 2021 , consultado el 15 de marzo de 2019.