Función modular Weber

En matemáticas , las funciones modulares de Weber son una familia de tres funciones f , f ₁ y f ₂ , ^{[nota 1]} estudiadas por Heinrich Martin Weber .

Definición

Sea donde τ es un elemento del semiplano superior . Entonces las funciones de Weber son ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

Estas son también las definiciones del artículo de Duke "Fracciones continuas y funciones modulares" . ^{[nota 2]} La función es la función Dedekind eta y debe interpretarse como . Las descripciones como cocientes implican inmediatamente ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle (e^{2\pi i\tau })^{\alpha }}$ ${\displaystyle e^{2\pi i\tau \alpha }}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}.}$

La transformación τ  → –1/ τ fija f e intercambia f ₁ y f ₂ . Entonces, el grupo SL ₂ ( Z ) actúa sobre el espacio vectorial complejo tridimensional con base f , f ₁ y f _{2 .}

Producto infinito alternativo

Alternativamente, sea el nombre , ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

La forma del producto infinito ha cambiado ligeramente. Pero dado que los cocientes eta siguen siendo los mismos, siempre que el segundo use el nomo . La utilidad de la segunda forma es mostrar conexiones y notación consistente con las funciones G y g de Ramanujan y las funciones theta de Jacobi , las cuales usan convencionalmente el nomo. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Relación con las funciones Ramanujan G y g

Aún empleando el nombre , defina las funciones G y g de Ramanujan como ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

Los cocientes eta hacen inmediatamente evidente su conexión con las dos primeras funciones de Weber. En el nombre, asume Entonces, ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-n}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&={\mathfrak {f}}(q)={\mathfrak {f}}(\tau ),\\2^{1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{aligned}}}$

Ramanujan encontró muchas relaciones entre y lo que implica relaciones similares entre y . Por ejemplo, su identidad, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$

${\displaystyle (G_{n}^{8}-g_{n}^{8})(G_{n}\,g_{n})^{8}={\tfrac {1}{4}},}$

conduce a

${\displaystyle {\big [}{\mathfrak {f}}^{8}(q)-{\mathfrak {f}}_{1}^{8}(q){\big ]}{\big [}{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{\big ]}^{8}.}$

Para muchos valores de n , Ramanujan también tabuló para n impar y para n par . Esto proporciona automáticamente muchas evaluaciones explícitas de y . Por ejemplo, usando , que son algunos de los discriminantes libres de cuadrados con clase número 2, ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$ ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-5}},\,{\sqrt {-13}},\,{\sqrt {-37}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{5}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{13}&=\left({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{37}&=\left(6+{\sqrt {37}}\right)^{1/4},\end{aligned}}}$

y se puede obtener fácilmente de ellos, así como de los ejemplos más complicados que se encuentran en los Cuadernos de Ramanujan. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau )=2^{1/4}G_{n}}$

Relación con las funciones theta de Jacobi

El argumento de las funciones theta clásicas de Jacobi es tradicionalmente el nomo ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[2pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

Dividiéndolos por y teniendo en cuenta que son solo cuadrados de las funciones de Weber ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {-\pi i}{\,12}}\eta (\tau +1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{aligned}}}$

con funciones theta de subíndice par enumeradas deliberadamente en primer lugar. Utilizando la conocida identidad de Jacobi con subíndices pares en el LHS,

${\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4};}$

por lo tanto,

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{8}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{8}={\mathfrak {f}}(q)^{8}.}$

Relación con la función j

Las tres raíces de la ecuación cúbica.

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}}$

donde j ( τ ) es la función j están dadas por . Además, dado que, ${\displaystyle x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}}$

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q){\Big )}^{8}}}}$

y usando las definiciones de las funciones de Weber en términos de las funciones theta de Jacobi, más el hecho de que , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2}$

${\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}}\right)^{3}}$

desde y tienen las mismas fórmulas en términos de la función eta de Dedekind . ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

Ver también

• Serie Ramanujan-Sato, nivel 4

Referencias

• Duke, William (2005), Fracciones continuas y funciones modulares (PDF) , Bull. América. Matemáticas. Soc. 42
• Weber, Heinrich Martin (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (en alemán), vol. 3 (3.ª ed.), Nueva York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4
• Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), "Sobre los valores singulares de las funciones modulares de Weber", Matemáticas de la Computación , 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5 , SEÑOR  1415803

Notas

1. f , f ₁ y f ₂ no son funciones modulares (según la definición de Wikipedia), pero cada función modular es una función racional en f , f ₁ y f ₂ . Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares".
2. https://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf Fracciones continuas y funciones modulares , W. Duke, págs. 22-23