fractal ruidoso

fractal ruidoso

En matemáticas, el fractal de Rauzy es un conjunto de fractales asociado con la sustitución de Tribonacci.

${\displaystyle s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.}$

Fue estudiado en 1981 por Gérard Rauzy, ^[1] con la idea de generalizar las propiedades dinámicas del morfismo de Fibonacci . Ese conjunto fractal se puede generalizar a otros mapas sobre un alfabeto de 3 letras, generando otros conjuntos fractales con propiedades interesantes, como el mosaico periódico del plano y la autosimilitud en tres partes homotéticas .

Definiciones

palabra tribonacci

La palabra tribonacci infinita es una palabra construida aplicando iterativamente el mapa de Tribonacci o Rauzy  : , , . ^{[2] [3]} Es un ejemplo de palabra mórfica . A partir del 1, las palabras Tribonacci son: ^[4] ${\displaystyle s(1)=12}$ ${\displaystyle s(2)=13}$ ${\displaystyle s(3)=1}$

• ${\displaystyle t_{0}=1}$
• ${\displaystyle t_{1}=12}$
• ${\displaystyle t_{2}=1213}$
• ${\displaystyle t_{3}=1213121}$
• ${\displaystyle t_{4}=1213121121312}$

Podemos demostrar que, para , ; de ahí el nombre " Tribonacci ". ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}$

construcción fractal

Construcción

Consideremos ahora el espacio de coordenadas cartesianas (x,y,z). El fractal Rauzy se construye de esta manera: ^[5] ${\displaystyle R^{3}}$

1) Interpretar la secuencia de letras de la palabra infinita de Tribonacci como una secuencia de vectores unitarios del espacio, con las siguientes reglas (1 = dirección x, 2 = dirección y, 3 = dirección z).

2) Luego, construye una "escalera" trazando los puntos alcanzados por esta secuencia de vectores (ver figura). Por ejemplo, los primeros puntos son:

• ${\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}$
• ${\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}$
• ${\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}$

etc...Cada punto se puede colorear según la letra correspondiente, para enfatizar la propiedad de autosimilitud.

3) Luego, proyectar esos puntos sobre el plano de contracción (plano ortogonal a la dirección principal de propagación de los puntos, ninguno de esos puntos proyectados escapa al infinito).

Propiedades

• Se puede revestir con tres copias de sí mismo, con área reducida por factores y con solución de : . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle k^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}}$
• Estable bajo intercambio de piezas. Podemos obtener el mismo conjunto intercambiando el lugar de las piezas.
• Conectado y simplemente conectado. No tiene agujero.
• Coloca el avión en mosaico periódicamente, mediante traducción.
• La matriz del mapa de Tribonacci tiene como polinomio característico . Sus valores propios son un número real , llamado constante de Tribonacci , un número de Pisot y dos conjugados complejos y con . ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$ ${\displaystyle \beta =1.8392}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }$
• Su límite es fractal y la dimensión de Hausdorff de este límite es igual a 1,0933, la solución de . ^[6] ${\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}$

Variantes y generalización.

Para cualquier sustitución unimodular de tipo Pisot, que verifica una condición de coincidencia (aparentemente siempre verificada), se puede construir un conjunto similar llamado "fractal Rauzy del mapa". Todos muestran autosemejanza y generan, para los ejemplos siguientes, un mosaico periódico del plano.

• 
  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
• 
  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

Ver también

• Portal de matemáticas

• Lista de fractales

Referencias

1. Rauzy, Gerard (1982). "Nombres algébriques et sustituciones" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. P. (en francés). 110 : 147-178. Zbl  0522.10032.
2. Lotario (2005) p.525
3. Pytheas Fogg (2002) p.232
4. Lotario (2005) p.546
5. Pytheas Fogg (2002) p.233
6. Messaoudi, Ali (2000). "Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe. (Límite del fractal de Rauzy y sistema de numeración complejo)" (PDF) . Acta Arith. (en francés). 95 (3): 195–224. Zbl  0968.28005.

• Arnoux, Pedro; Harriss, Edmund (agosto de 2014). "¿QUÉ ES... un Fractal Rauzy?". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 61 (7): 768–770. doi : 10.1090/noti1144 .
• Berthé, Valérie ; Siegel, Ana; Asíwaldner, Jörg (2010). "Sustituciones, fractales y mosaicos de Rauzy". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michel (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 135. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 248–323. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl  1247.37015.
• Lotario, M. (2005). Combinatoria aplicada a las palabras . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 105. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-84802-2. SEÑOR  2165687. Zbl  1133.68067.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, Anne (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1794. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl  1014.11015.

Enlaces externos

• Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy
• Sustituciones, fractales y mosaicos de Rauzy, Anne Siegel, 2009
• Fractales de Rauzy para automorfismos de grupos libres, 2006
• Sustituciones de Pisot y fractales de Rauzy
• fractales estridentes
• Vídeo numérico sobre los fractales de Rauzy y los números de Tribonacci