Punto de ramificación

Punto de interés para funciones complejas de múltiples valores

En el campo matemático del análisis complejo , un punto de ramificación de una función multivaluada es un punto tal que si la función es -valuada (tiene valores) en ese punto, todos sus vecindarios contienen un punto que tiene más de valores. ^[1] Las funciones multivaluadas se estudian rigurosamente utilizando superficies de Riemann , y la definición formal de puntos de ramificación emplea este concepto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los puntos de ramificación se dividen en tres grandes categorías: puntos de ramificación algebraicos, puntos de ramificación trascendentales y puntos de ramificación logarítmicos. Los puntos de ramificación algebraicos surgen más comúnmente de funciones en las que hay una ambigüedad en la extracción de una raíz, como resolver la ecuación para como una función de . Aquí el punto de ramificación es el origen, porque la continuación analítica de cualquier solución alrededor de un bucle cerrado que contenga el origen dará como resultado una función diferente: hay una monodromía no trivial . A pesar del punto de ramificación algebraico, la función está bien definida como una función de múltiples valores y, en un sentido apropiado, es continua en el origen. Esto contrasta con los puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos, es decir, puntos en los que una función de múltiples valores tiene una monodromía no trivial y una singularidad esencial . En la teoría de funciones geométricas , el uso no calificado del término punto de ramificación generalmente significa el primer tipo más restrictivo: los puntos de ramificación algebraicos. ^[2] En otras áreas de análisis complejo, el término no calificado también puede referirse a los puntos de ramificación más generales del tipo trascendental. ${\displaystyle w^{2}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

Puntos de ramificación algebraica

Sea un conjunto abierto conexo en el plano complejo y una función holomorfa . Si no es constante, entonces el conjunto de los puntos críticos de , es decir, los ceros de la derivada , no tiene punto límite en . Por lo tanto, cada punto crítico de se encuentra en el centro de un disco que no contiene ningún otro punto crítico de en su clausura. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ ${\displaystyle f}$

Sea el límite de , tomado con su orientación positiva. El número de vueltas de con respecto al punto es un entero positivo llamado índice de ramificación de . Si el índice de ramificación es mayor que 1, entonces se llama punto de ramificación de , y el valor crítico correspondiente se llama punto de ramificación (algebraico) . De manera equivalente, es un punto de ramificación si existe una función holomorfa definida en un entorno de tal que para el entero . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ ${\displaystyle f(\gamma )}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$ ${\displaystyle k>1}$

Por lo general, no nos interesamos por ella misma, sino por su función inversa . Sin embargo, la inversa de una función holomorfa en la vecindad de un punto de ramificación no existe propiamente, y por eso nos vemos obligados a definirla en un sentido de múltiples valores como una función analítica global . Es habitual abusar del lenguaje y referirse a un punto de ramificación de como un punto de ramificación de la función analítica global . Son posibles definiciones más generales de puntos de ramificación para otros tipos de funciones analíticas globales de múltiples valores, como las que se definen implícitamente . A continuación, se proporciona un marco unificador para tratar estos ejemplos en el lenguaje de las superficies de Riemann . En particular, en esta imagen más general, los polos de orden mayor que 1 también pueden considerarse puntos de ramificación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

En términos de la función analítica global inversa , los puntos de ramificación son aquellos puntos alrededor de los cuales hay monodromía no trivial. Por ejemplo, la función tiene un punto de ramificación en . La función inversa es la raíz cuadrada , que tiene un punto de ramificación en . De hecho, al dar la vuelta al bucle cerrado , se empieza en y . Pero después de dar la vuelta al bucle hasta , se tiene . Por lo tanto, hay monodromía alrededor de este bucle que encierra el origen. ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle z_{0}=0}$ ${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$ ${\displaystyle w_{0}=0}$ ${\displaystyle w=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle e^{i0/2}=1}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$

Puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos

Supongamos que g es una función analítica global definida en un disco perforado alrededor de z ₀ . Entonces g tiene un punto de ramificación trascendental si z ₀ es una singularidad esencial de g tal que la continuación analítica de un elemento de función una vez alrededor de alguna curva cerrada simple que rodea el punto z ₀ produce un elemento de función diferente. ^[3]

Un ejemplo de un punto de ramificación trascendental es el origen de la función multivaluada

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

Para algún entero k  > 1. Aquí el grupo de monodromía para un circuito alrededor del origen es finito. La continuación analítica alrededor de k circuitos completos devuelve la función al original.

Si el grupo de monodromía es infinito, es decir, es imposible volver al elemento de función original por continuación analítica a lo largo de una curva con un número de vueltas distinto de cero alrededor de z ₀ , entonces el punto z ₀ se llama punto de ramificación logarítmica . ^[4] Esto se llama así porque el ejemplo típico de este fenómeno es el punto de ramificación del logaritmo complejo en el origen. Yendo una vez en sentido antihorario alrededor de una curva cerrada simple que rodea el origen, el logaritmo complejo se incrementa en 2 π i . Rodeando un bucle con número de vueltas w , el logaritmo se incrementa en 2 π i w y el grupo de monodromía es el grupo cíclico infinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los puntos de ramificación logarítmicos son casos especiales de puntos de ramificación trascendentales.

No existe una noción correspondiente de ramificación para los puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos, ya que la superficie de Riemann que cubre asociada no puede continuarse analíticamente hasta una cobertura del propio punto de ramificación. Por lo tanto, dichas coberturas siempre están sin ramificar.

Ejemplos

• 0 es un punto de ramificación de la función raíz cuadrada . Supóngase que w  =  z ^1/2 , y que z empieza en 4 y se mueve a lo largo de un círculo de radio 4 en el plano complejo centrado en 0. La variable dependiente w cambia mientras depende de z de manera continua. Cuando z ha hecho un círculo completo, yendo de 4 de nuevo a 4 de nuevo, w habrá hecho un semicírculo, yendo de la raíz cuadrada positiva de 4, es decir, de 2, a la raíz cuadrada negativa de 4, es decir, −2.
• 0 es también un punto de ramificación del logaritmo natural . Como e ⁰ es lo mismo que e ^{2 π i} , tanto 0 como 2 π i están entre los valores múltiples de ln(1). A medida que z se mueve a lo largo de un círculo de radio 1 centrado en 0, w = ln( z ) va de 0 a 2 π i .
• En trigonometría , dado que tan( π /4) y tan (5 π /4) son ambos iguales a 1, los dos números π /4 y 5 π /4 están entre los valores múltiplos de arctan(1). Las unidades imaginarias i y − i son puntos de ramificación de la función arcotangente arctan( z ) = (1/2 i )log[( i  −  z )/( i  +  z )]. Esto se puede ver observando que la derivada ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 +  z ^{2 ) tiene} polos simples en esos dos puntos, ya que el denominador es cero en esos puntos.
• Si la derivada ƒ  ' de una función ƒ tiene un polo simple en un punto a , entonces ƒ tiene un punto de ramificación logarítmico en a . La inversa no es cierta, ya que la función ƒ ( z ) = z ^α para α irracional tiene un punto de ramificación logarítmico, y su derivada es singular sin ser un polo.

Cortes de ramas

En términos generales, los puntos de ramificación son los puntos en los que se unen las distintas capas de una función de valores múltiples. Las ramas de la función son las distintas capas de la función. Por ejemplo, la función w  =  z ^1/2 tiene dos ramas: una en la que la raíz cuadrada entra con un signo más y la otra con un signo menos. Un corte de rama es una curva en el plano complejo tal que es posible definir una única rama analítica de una función de valores múltiples en el plano menos esa curva. Los cortes de rama se toman habitualmente, aunque no siempre, entre pares de puntos de ramificación.

Los cortes de rama permiten trabajar con una colección de funciones de un solo valor, "pegadas" entre sí a lo largo del corte de rama en lugar de una función de múltiples valores. Por ejemplo, para hacer que la función

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

En el caso de una función univalente, se hace un corte de rama a lo largo del intervalo [0, 1] en el eje real, conectando los dos puntos de ramificación de la función. La misma idea se puede aplicar a la función √ z ; pero en ese caso hay que percibir que el punto en el infinito es el 'otro' punto de ramificación apropiado al que conectarse desde 0, por ejemplo a lo largo de todo el eje real negativo.

El mecanismo de corte de rama puede parecer arbitrario (y lo es); pero es muy útil, por ejemplo, en la teoría de funciones especiales. Una explicación invariante del fenómeno de la rama se desarrolla en la teoría de superficies de Riemann (de la que es históricamente el origen), y de manera más general en la teoría de ramificación y monodromía de funciones algebraicas y ecuaciones diferenciales .

Logaritmo complejo

Un gráfico de la parte imaginaria de múltiples valores de la función logaritmo complejo, que muestra las ramas. A medida que un número complejo z gira alrededor del origen, la parte imaginaria del logaritmo sube o baja. Esto hace que el origen sea un punto de ramificación de la función.

El ejemplo típico de un corte de rama es el logaritmo complejo. Si un número complejo se representa en forma polar z  =  r e ^{i θ} , entonces el logaritmo de z es

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

Sin embargo, hay una ambigüedad obvia en la definición del ángulo θ : sumando a θ cualquier múltiplo entero de 2 π se obtendrá otro ángulo posible. Una rama del logaritmo es una función continua L ( z ) que da un logaritmo de z para todo z en un conjunto abierto conexo en el plano complejo. En particular, existe una rama del logaritmo en el complemento de cualquier rayo desde el origen hasta el infinito: un corte de rama . Una elección común de corte de rama es el eje real negativo, aunque la elección es en gran medida una cuestión de conveniencia.

El logaritmo tiene una discontinuidad de salto de 2 π i al cruzar el corte de la rama. El logaritmo se puede hacer continuo pegando juntas una cantidad contable de copias, llamadas láminas , del plano complejo a lo largo del corte de la rama. En cada lámina, el valor del logaritmo difiere de su valor principal en un múltiplo de 2 π i. Estas superficies se pegan entre sí a lo largo del corte de la rama de la manera única para hacer que el logaritmo sea continuo. Cada vez que la variable gira alrededor del origen, el logaritmo se mueve a una rama diferente.

Continuo de polos

Una razón por la que los cortes de rama son características comunes del análisis complejo es que un corte de rama puede considerarse como una suma de infinitos polos dispuestos a lo largo de una línea en el plano complejo con residuos infinitesimales. Por ejemplo,

${\displaystyle f_{a}(z)={1 \over z-a}}$

es una función con un polo simple en z  =  a . Integrando sobre la ubicación del polo:

${\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over z-a}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)}$

define una función u ( z ) con un corte de −1 a 1. El corte de la rama se puede mover, ya que la línea de integración se puede desplazar sin alterar el valor de la integral siempre que la línea no pase por el punto z .

Superficies de Riemann

El concepto de punto de ramificación se define para una función holomorfa ƒ: X  →  Y desde una superficie de Riemann compacta y conexa X hasta una superficie de Riemann compacta Y (normalmente la esfera de Riemann ). A menos que sea constante, la función ƒ será una función de recubrimiento sobre su imagen en todos los puntos excepto en un número finito de puntos. Los puntos de X donde ƒ no es una función de recubrimiento son los puntos de ramificación de ƒ, y la imagen de un punto de ramificación bajo ƒ se denomina punto de ramificación.

Para cualquier punto P  ∈  X y Q  = ƒ( P ) ∈  Y , existen coordenadas locales holomorfas z para X cerca de P y w para Y cerca de Q en términos de las cuales la función ƒ( z ) está dada por

${\displaystyle w=z^{k}}$

para un entero k . Este entero se llama índice de ramificación de P . Normalmente, el índice de ramificación es uno. Pero si el índice de ramificación no es igual a uno, entonces P es por definición un punto de ramificación y Q es un punto de ramificación.

Si Y es simplemente la esfera de Riemann y Q está en la parte finita de Y , entonces no hay necesidad de seleccionar coordenadas especiales. El índice de ramificación se puede calcular explícitamente a partir de la fórmula integral de Cauchy . Sea γ un bucle rectificable simple en X alrededor de P . El índice de ramificación de ƒ en P es

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

Esta integral es el número de veces que ƒ(γ) gira alrededor del punto Q. Como se indicó anteriormente, P es un punto de ramificación y Q es un punto de ramificación si e _P  > 1.

Geometría algebraica

En el contexto de la geometría algebraica , la noción de puntos de ramificación se puede generalizar a aplicaciones entre curvas algebraicas arbitrarias . Sea ƒ: X  →  Y un morfismo de curvas algebraicas. Al retrotraer funciones racionales en Y a funciones racionales en X , K ( X ) es una extensión de campo de K ( Y ). El grado de ƒ se define como el grado de esta extensión de campo [ K ( X ): K ( Y )], y se dice que ƒ es finito si el grado es finito.

Supongamos que ƒ es finito. Para un punto P  ∈  X , el índice de ramificación e _P se define de la siguiente manera. Sea Q  = ƒ( P ) y sea t un parámetro uniformizador local en P ; es decir, t es una función regular definida en un entorno de Q con t ( Q ) = 0 cuya diferencial es distinta de cero. Al retirar t por ƒ se define una función regular en X . Entonces

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

donde v _P es la valoración en el anillo local de funciones regulares en P . Es decir, e _P es el orden en el que se anula en P . Si e _P  > 1, entonces se dice que ƒ está ramificado en P . En ese caso, Q se denomina punto de ramificación. ${\displaystyle t\circ f}$

Notas

1. Das, Shantanu (2011), "Conceptos de comprensión de las diferintegraciones fraccionales", Cálculo fraccional funcional , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 213-269, doi :10.1007/978-3-642-20545-3_5, ISBN 978-3-642-20544-6, consultado el 27 de abril de 2022(pagina 6)
2. Ahlfors 1979
3. Solomentsev 2001; Markushevich 1965
4. "Punto de ramificación logarítmica - Enciclopedia de Matemáticas" www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de junio de 2019 .

Referencias

• Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003), Variables complejas: Introducción y aplicaciones , Cambridge Texts in Applied Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53429-1
• Ahlfors, LV (1979), Análisis complejo , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000657-7
• Arfken, GB; Weber, HJ (2000), Métodos matemáticos para físicos (5.ª ed.), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Markushevich, AI (1965), Teoría de funciones de una variable compleja. Vol. I , Traducido y editado por Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc., MR  0171899
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Punto de ramificación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press