Dinámica de cuerpo rígido

Estudio de los efectos de las fuerzas sobre cuerpos indeformables

El movimiento de cada uno de los componentes de la máquina de vapor Boulton & Watt (1784) puede describirse mediante un conjunto de ecuaciones cinemáticas y cinéticas.

En la ciencia física de la dinámica , la dinámica de cuerpos rígidos estudia el movimiento de sistemas de cuerpos interconectados bajo la acción de fuerzas externas . La suposición de que los cuerpos son rígidos (es decir, que no se deforman bajo la acción de fuerzas aplicadas) simplifica el análisis, al reducir los parámetros que describen la configuración del sistema a la traslación y rotación de marcos de referencia unidos a cada cuerpo. ^{[1] [2]} Esto excluye los cuerpos que muestran un comportamiento fluido , altamente elástico y plástico .

La dinámica de un sistema de cuerpo rígido se describe mediante las leyes de la cinemática y la aplicación de la segunda ley de Newton ( cinética ) o su forma derivada, la mecánica de Lagrange . La solución de estas ecuaciones de movimiento proporciona una descripción de la posición, el movimiento y la aceleración de los componentes individuales del sistema, y ​​del sistema en sí en general, en función del tiempo . La formulación y solución de la dinámica de cuerpos rígidos es una herramienta importante en la simulación por computadora de sistemas mecánicos .

Dinámica de cuerpos rígidos planos

Si un sistema de partículas se mueve en paralelo a un plano fijo, se dice que el sistema está restringido al movimiento planar. En este caso, las leyes de Newton (cinética) para un sistema rígido de N partículas, P _i , i =1,..., N , se simplifican porque no hay movimiento en la dirección k . Determine la fuerza y ​​el par resultantes en un punto de referencia R , para obtener $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},}$$

donde r _i denota la trayectoria plana de cada partícula.

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P _i en términos de la posición R y la aceleración A de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como, $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .}$$

Para sistemas que están limitados a un movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular están dirigidos a lo largo de k perpendicularmente al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios e _i desde el punto de referencia R hasta un punto r _i y los vectores unitarios , de modo que ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .}$$

Esto produce la fuerza resultante sobre el sistema y el par como $${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

donde y es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas P _i . ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$

Utilice el centro de masa C como punto de referencia, por lo que estas ecuaciones para las leyes de Newton se simplifican para convertirse en $${\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,}$$

donde M es la masa total e _IC es el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido y que pasa por el centro de masa.

Cuerpo rígido en tres dimensiones

Descripciones de orientación o actitud

Se han desarrollado varios métodos para describir las orientaciones de un cuerpo rígido en tres dimensiones, que se resumen en las siguientes secciones.

Ángulos de Euler

El primer intento de representar una orientación se atribuye a Leonhard Euler . Imaginó tres sistemas de referencia que pudieran rotar uno alrededor del otro, y se dio cuenta de que partiendo de un sistema de referencia fijo y realizando tres rotaciones, podía obtener cualquier otro sistema de referencia en el espacio (utilizando dos rotaciones para fijar el eje vertical y otra para fijar los otros dos ejes). Los valores de estas tres rotaciones se denominan ángulos de Euler . Comúnmente, se utiliza para denotar precesión, nutación y rotación intrínseca. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

• 
  Diagrama de los ángulos de Euler
• 
  Rotación intrínseca de una bola alrededor de un eje fijo
• 
  Movimiento de un trompo en los ángulos de Euler

Ángulos Tait-Bryan

Ángulos de Tait-Bryan, otra forma de describir la orientación

Se trata de tres ángulos, también conocidos como ángulos de guiñada, de cabeceo y de balanceo, ángulos de navegación y ángulos de Cardan. Matemáticamente constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo el ordenamiento el que mejor se utiliza para describir la orientación de un vehículo como un avión. En ingeniería aeroespacial se suelen denominar ángulos de Euler.

Vector de orientación

Euler también se dio cuenta de que la composición de dos rotaciones es equivalente a una sola rotación sobre un eje fijo diferente ( teorema de rotación de Euler ). Por lo tanto, la composición de los tres ángulos anteriores tiene que ser igual a una sola rotación, cuyo eje era complicado de calcular hasta que se desarrollaron las matrices.

Basándose en este hecho, introdujo una forma vectorial de describir cualquier rotación, con un vector en el eje de rotación y módulo igual al valor del ángulo. Por lo tanto, cualquier orientación puede representarse mediante un vector de rotación (también llamado vector de Euler) que conduce a ella desde el sistema de referencia. Cuando se utiliza para representar una orientación, el vector de rotación se denomina comúnmente vector de orientación o vector de actitud.

Un método similar, llamado representación eje-ángulo , describe una rotación u orientación utilizando un vector unitario alineado con el eje de rotación y un valor separado para indicar el ángulo (ver figura).

Matriz de orientación

Con la introducción de las matrices, se reescribieron los teoremas de Euler. Las rotaciones se describieron mediante matrices ortogonales denominadas matrices de rotación o matrices de coseno de dirección. Cuando se utiliza para representar una orientación, una matriz de rotación se denomina comúnmente matriz de orientación o matriz de actitud.

El vector de Euler mencionado anteriormente es el vector propio de una matriz de rotación (una matriz de rotación tiene un valor propio real único ). El producto de dos matrices de rotación es la composición de rotaciones. Por lo tanto, como antes, la orientación se puede dar como la rotación desde el sistema inicial hasta alcanzar el sistema que queremos describir.

El espacio de configuración de un objeto no simétrico en un espacio n -dimensional es SO( n ) × R n . La orientación se puede visualizar uniendo una base de vectores tangentes a un objeto. La dirección en la que apunta cada vector determina su orientación.

Cuaternión de orientación

Otra forma de describir las rotaciones es mediante cuaterniones de rotación , también llamados versores. Son equivalentes a las matrices de rotación y a los vectores de rotación. Con respecto a los vectores de rotación, se pueden convertir más fácilmente a matrices y viceversa. Cuando se utilizan para representar orientaciones, los cuaterniones de rotación se denominan normalmente cuaterniones de orientación o cuaterniones de actitud.

Segunda ley de Newton en tres dimensiones

Para considerar la dinámica de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional, la segunda ley de Newton debe extenderse para definir la relación entre el movimiento de un cuerpo rígido y el sistema de fuerzas y pares que actúan sobre él.

Newton formuló su segunda ley para una partícula como: "El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza impresa y se realiza en la dirección de la línea recta en la que se imprime la fuerza". ^[3] Debido a que Newton generalmente se refería a la masa por la velocidad como el "movimiento" de una partícula, la frase "cambio de movimiento" se refiere a la masa por la aceleración de la partícula, y por lo tanto esta ley generalmente se escribe como donde F se entiende que es la única fuerza externa que actúa sobre la partícula, m es la masa de la partícula y a es su vector de aceleración. La extensión de la segunda ley de Newton a los cuerpos rígidos se logra considerando un sistema rígido de partículas. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

Sistema rígido de partículas

Si un sistema de N partículas, P _i , i=1,..., N , se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces la segunda ley de Newton se puede aplicar a cada una de las partículas del cuerpo. Si F _i es la fuerza externa aplicada a la partícula P _i con masa m _i , entonces donde F _ij es la fuerza interna de la partícula P _j que actúa sobre la partícula P _i y que mantiene constante la distancia entre estas partículas. $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$

Cuerpo humano modelado como un sistema de cuerpos rígidos de sólidos geométricos. Se agregaron huesos representativos para una mejor visualización de la persona caminando.

Una simplificación importante de estas ecuaciones de fuerza se obtiene introduciendo la fuerza y ​​el par resultantes que actúan sobre el sistema rígido. Esta fuerza y ​​par resultantes se obtienen eligiendo una de las partículas del sistema como punto de referencia, R , donde se aplican cada una de las fuerzas externas con la adición de un par asociado. La fuerza resultante F y el par T se dan mediante las fórmulas, donde R _i es el vector que define la posición de la partícula P _i . $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$

La segunda ley de Newton para una partícula se combina con estas fórmulas para la fuerza y ​​el par resultantes, donde las fuerzas internas F _ij se cancelan en pares. La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P _i en términos de la posición R y la aceleración a de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como, $${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

Propiedades de masa

Las propiedades de masa del cuerpo rígido están representadas por su centro de masa y su matriz de inercia . Elija el punto de referencia R de modo que satisfaga la condición $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

entonces se conoce como el centro de masa del sistema.

La matriz de inercia [I _R ] del sistema con respecto al punto de referencia R está definida por $${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

donde es el vector columna R _i − R ; es su transpuesta, y es la matriz identidad de 3 por 3. ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$es el producto escalar de consigo mismo, mientras que es el producto tensorial de consigo mismo. ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$

Ecuaciones de fuerza-torque

Utilizando la matriz del centro de masa e inercia, las ecuaciones de fuerza y ​​torque para un solo cuerpo rígido toman la forma y se conocen como la segunda ley de movimiento de Newton para un cuerpo rígido. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$

La dinámica de un sistema interconectado de cuerpos rígidos, B _i , j = 1, ..., M , se formula aislando cada cuerpo rígido e introduciendo las fuerzas de interacción. La resultante de las fuerzas externas y de interacción sobre cada cuerpo produce las ecuaciones de fuerza-par $${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

La formulación de Newton produce 6 M ecuaciones que definen la dinámica de un sistema de M cuerpos rígidos. ^[4]

Rotación en tres dimensiones

Un objeto giratorio, ya sea bajo la influencia de pares o no, puede exhibir los comportamientos de precesión y nutación . La ecuación fundamental que describe el comportamiento de un cuerpo sólido giratorio es la ecuación de movimiento de Euler : donde los pseudovectores τ y L son, respectivamente, los pares sobre el cuerpo y su momento angular , el escalar I es su momento de inercia , el vector ω es su velocidad angular, el vector α es su aceleración angular, D es el diferencial en un marco de referencia inercial y d es el diferencial en un marco de referencia relativo fijo con el cuerpo. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$

La solución de esta ecuación cuando no hay torque aplicado se analiza en los artículos Ecuación de movimiento de Euler y Elipsoide de Poinsot .

De la ecuación de Euler se desprende que un par τ aplicado perpendicularmente al eje de rotación, y por tanto perpendicular a L , da como resultado una rotación alrededor de un eje perpendicular tanto a τ como a L . Este movimiento se denomina precesión . La velocidad angular de precesión Ω _P viene dada por el producto vectorial : ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

Precesión de un giroscopio

La precesión se puede demostrar colocando una peonza con su eje horizontal y apoyado de forma suelta (sin fricción hacia la precesión) en un extremo. En lugar de caer, como podría esperarse, la peonza parece desafiar la gravedad al permanecer con su eje horizontal, cuando el otro extremo del eje se deja sin apoyo y el extremo libre del eje describe lentamente un círculo en un plano horizontal, girando con precesión. Este efecto se explica por las ecuaciones anteriores. El par en la peonza es proporcionado por un par de fuerzas: la gravedad que actúa hacia abajo sobre el centro de masa del dispositivo y una fuerza igual que actúa hacia arriba para sostener un extremo del dispositivo. La rotación resultante de este par no es hacia abajo, como podría esperarse intuitivamente, haciendo que el dispositivo caiga, sino perpendicular tanto al par gravitacional (horizontal y perpendicular al eje de rotación) como al eje de rotación (horizontal y hacia afuera desde el punto de apoyo), es decir, alrededor de un eje vertical, haciendo que el dispositivo gire lentamente alrededor del punto de apoyo.

Bajo un torque constante de magnitud τ , la velocidad de precesión Ω _P es inversamente proporcional a L , la magnitud de su momento angular: donde θ es el ángulo entre los vectores Ω _P y L . Por lo tanto, si el giro del trompo se ralentiza (por ejemplo, debido a la fricción), su momento angular disminuye y, por lo tanto, la velocidad de precesión aumenta. Esto continúa hasta que el dispositivo no puede girar lo suficientemente rápido como para soportar su propio peso, cuando deja de precesar y se cae de su soporte, principalmente porque la fricción contra la precesión causa otra precesión que va a causar la caída. $${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$

Por convención, estos tres vectores (torque, giro y precesión) están todos orientados entre sí según la regla de la mano derecha .

Trabajo virtual de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

Una formulación alternativa de la dinámica del cuerpo rígido que tiene una serie de características convenientes se obtiene considerando el trabajo virtual de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

El trabajo virtual de las fuerzas que actúan en varios puntos sobre un único cuerpo rígido se puede calcular utilizando las velocidades de su punto de aplicación y la fuerza y ​​el par resultantes . Para comprobarlo, supongamos que las fuerzas F ₁ , F ₂ ... F _n actúan sobre los puntos R ₁ , R ₂ ... R _n de un cuerpo rígido.

Las trayectorias de R _i , i = 1, ..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. La velocidad de los puntos R _i a lo largo de sus trayectorias es donde ω es el vector de velocidad angular del cuerpo. $${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

Trabajo virtual

El trabajo se calcula a partir del producto escalar de cada fuerza por el desplazamiento de su punto de contacto. Si la trayectoria de un cuerpo rígido está definida por un conjunto de coordenadas generalizadas q _j , j = 1, ..., m , entonces los desplazamientos virtuales δ r _i están dados por El trabajo virtual de este sistema de fuerzas que actúan sobre el cuerpo en términos de las coordenadas generalizadas se convierte en $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$ $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$ $${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

o recogiendo los coeficientes de δq _j $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

Fuerzas generalizadas

Para simplificar, considere una trayectoria de un cuerpo rígido que está especificada por una única coordenada generalizada q, como un ángulo de rotación, entonces la fórmula se convierte en $${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

Introduzca la fuerza resultante F y el torque T de modo que esta ecuación tome la forma $${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

La cantidad Q definida por $${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

se conoce como la fuerza generalizada asociada al desplazamiento virtual δq. Esta fórmula se generaliza al movimiento de un cuerpo rígido definido por más de una coordenada generalizada, es decir donde $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Es útil notar que las fuerzas conservativas, como la gravedad y las fuerzas de resorte, se pueden derivar de una función potencial V ( q ₁ , ..., q _n ) , conocida como energía potencial . En este caso, las fuerzas generalizadas están dadas por $${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual

Las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico de cuerpos rígidos se pueden determinar utilizando la forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual. El principio del trabajo virtual se utiliza para estudiar el equilibrio estático de un sistema de cuerpos rígidos, sin embargo, al introducir términos de aceleración en las leyes de Newton, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico.

Equilibrio estático

El equilibrio estático de un sistema mecánico de cuerpos rígidos se define por la condición de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Esto se conoce como el principio del trabajo virtual. ^[5] Esto es equivalente al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir Q _i = 0.

Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, B _i , i = 1, ..., n , y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par, F _i y T _i , i = 1, ..., n . Nótese que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, supongamos que la velocidad V _i y las velocidades angulares ω _i , i = 1, ..., n , para cada cuerpo rígido, están definidas por una única coordenada generalizada q. Se dice que un sistema de cuerpos rígidos de este tipo tiene un grado de libertad .

El trabajo virtual de las fuerzas y pares, F _i y T _i , aplicados a este sistema de un grado de libertad está dado por donde es la fuerza generalizada que actúa sobre este sistema de un grado de libertad. $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$ $${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$

Si el sistema mecánico está definido por m coordenadas generalizadas, q _j , j = 1, ..., m , entonces el sistema tiene m grados de libertad y el trabajo virtual está dado por, donde es la fuerza generalizada asociada con la coordenada generalizada q _j . El principio del trabajo virtual establece que el equilibrio estático ocurre cuando estas fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema son cero, es decir $${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$ $${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$ $${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Estas m ecuaciones definen el equilibrio estático del sistema de cuerpos rígidos.

Fuerzas de inercia generalizadas

Consideremos un único cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un par T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q . Supongamos que el punto de referencia para la fuerza resultante y el par es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q está dada por $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido, utilizando la fórmula $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética que puede utilizarse para calcular las m fuerzas de inercia generalizadas ^[6] $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq _j . Esta condición produce m ecuaciones, que también se pueden escribir como El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido. $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Ecuaciones de Lagrange

Si las fuerzas generalizadas Q _j son derivables de una energía potencial V ( q ₁ , ..., q _m ) , entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

En este caso, introduzca el Lagrangiano , L = T − V , por lo que estas ecuaciones de movimiento se convierten en Estas se conocen como ecuaciones de movimiento de Lagrange . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Momento lineal y angular

Sistema de partículas

El momento lineal y angular de un sistema rígido de partículas se formula midiendo la posición y la velocidad de las partículas con respecto al centro de masa. Sea el sistema de partículas P _i , i = 1, ..., n ubicado en las coordenadas r _i y velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición y velocidad relativos. $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

Los vectores de momento lineal y angular totales relativos al punto de referencia R son y $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

Si se elige R como centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

Sistema rígido de partículas

Para especializar estas fórmulas en un cuerpo rígido, supongamos que las partículas están conectadas rígidamente entre sí, de modo que P _i , i=1,...,n están ubicadas por las coordenadas r _i y las velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición relativa y velocidad, donde ω es la velocidad angular del sistema. ^{[7] [8] [9]} $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

El momento lineal y el momento angular de este sistema rígido medidos en relación con el centro de masa R son $${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

Estas ecuaciones se simplifican para convertirse en, donde M es la masa total del sistema y [I _R ] es la matriz del momento de inercia definida por donde [r _i − R] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector r _i − R . $${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$ $${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$

Aplicaciones

• Para el análisis de sistemas robóticos
• Para el análisis biomecánico de animales, humanos o sistemas humanoides.
• Para el análisis de objetos espaciales
• Para la comprensión de movimientos extraños de cuerpos rígidos. ^[10]
• Para el diseño y desarrollo de sensores basados ​​en dinámica, como sensores giroscópicos.
• Para el diseño y desarrollo de diversas aplicaciones de mejora de la estabilidad en automóviles.
• Para mejorar los gráficos de los videojuegos que involucran cuerpos rígidos.

Véase también

• Mecánica analítica
• Dinámica analítica
• Cálculo de variaciones
• Mecánica clásica
• Dinámica (mecánica)
• Historia de la mecánica clásica
• Mecánica lagrangiana
• Lagrangiano
• Mecánica hamiltoniana
• Cuerpo rígido
• Rotor rígido
• Dinámica de cuerpos blandos
• Sistema multicuerpo
• Polhode
• Herpolhode
• Precesión
• Elipsoide de Poinsot
• Giroscopio
• Motor de física
• Unidad de procesamiento de física
• Capa de abstracción de física : simulador multicuerpo unificado
• RigidChips – Simulador de cuerpo rígido japonés
• Ecuación de Euler

Referencias

1. B. Paul, Cinemática y dinámica de maquinaria plana, Prentice-Hall, NJ, 1979
2. LW Tsai, Análisis de robots: la mecánica de los manipuladores seriales y paralelos, John-Wiley, NY, 1999.
3. Enciclopedia Británica, Leyes del movimiento de Newton.
4. KJ Waldron y GL Kinzel, Cinemática y dinámica, y diseño de maquinaria, 2.ª ed., John Wiley and Sons, 2004.
5. Torby, Bruce (1984). "Métodos de energía". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
6. TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, NY, 2005.
7. Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de sistemas y partículas (4.ª ed.). Thomson. ISBN 0-03-097302-3..
8. Symon, KR (1971). Mecánica (3.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7..
9. Tenenbaum, RA (2004). Fundamentos de dinámica aplicada. Springer. ISBN 0-387-00887-X..
10. Gomez, RW; Hernandez-Gomez, JJ; Marquina, V (25 de julio de 2012). "Un cilindro saltador en un plano inclinado". Eur. J. Phys . 33 (5). IOP: 1359–1365. arXiv : 1204.0600 . Bibcode :2012EJPh...33.1359G. doi :10.1088/0143-0807/33/5/1359. S2CID  55442794. Consultado el 25 de abril de 2016 .

Lectura adicional

• E. Leimanis (1965). El problema general del movimiento de cuerpos rígidos acoplados alrededor de un punto fijo. ( Springer , Nueva York).
• WB Heard (2006). Mecánica de cuerpos rígidos: matemáticas, física y aplicaciones. ( Wiley-VCH ).

Enlaces externos

• Información sobre dinámica de cuerpos rígidos de Chris Hecker Archivado el 12 de marzo de 2007 en Wayback Machine
• Modelado basado en la física: principios y práctica
• La base de conocimientos de DigitalRune archivada el 20 de noviembre de 2008 en Wayback Machine contiene una tesis de maestría y una colección de recursos sobre la dinámica del cuerpo rígido.
• F. Klein, "Nota sobre la conexión entre la geometría de líneas y la mecánica de cuerpos rígidos" (traducción al español)
• F. Klein, "Sobre la teoría de los tornillos de Sir Robert Ball" (traducción al inglés)
• E. Cotton, "Aplicación de la geometría de Cayley al estudio geométrico del desplazamiento de un sólido alrededor de un punto fijo" (traducción al español)