Un sistema multicuerpo es el estudio del comportamiento dinámico de cuerpos rígidos o flexibles interconectados, cada uno de los cuales puede experimentar grandes desplazamientos traslacionales y rotacionales .
El tratamiento sistemático del comportamiento dinámico de cuerpos interconectados ha dado lugar a un gran número de formalismos multicuerpo importantes en el campo de la mecánica . Los cuerpos o elementos más simples de un sistema multicuerpo fueron tratados por Newton (partícula libre) y Euler (cuerpo rígido). Euler introdujo las fuerzas de reacción entre cuerpos. Posteriormente se derivaron una serie de formalismos, solo por mencionar los formalismos de Lagrange basados en coordenadas mínimas y una segunda formulación que introduce restricciones.
Básicamente, el movimiento de los cuerpos se describe por su comportamiento cinemático . El comportamiento dinámico resulta del equilibrio de las fuerzas aplicadas y la tasa de cambio del momento. Hoy en día, el término sistema multicuerpo está relacionado con un gran número de campos de investigación de ingeniería, especialmente en robótica y dinámica de vehículos. Como característica importante, los formalismos de sistemas multicuerpo suelen ofrecer una forma algorítmica, asistida por computadora, de modelar, analizar, simular y optimizar el movimiento arbitrario de posiblemente miles de cuerpos interconectados.
Aunque los cuerpos individuales o partes de un sistema mecánico se estudian en detalle con métodos de elementos finitos, el comportamiento de todo el sistema multicuerpo generalmente se estudia con métodos de sistemas multicuerpo dentro de las siguientes áreas:
El siguiente ejemplo muestra un sistema multicuerpo típico. Generalmente se lo denomina mecanismo de manivela-deslizador. El mecanismo se utiliza para transformar el movimiento de rotación en movimiento de traslación por medio de una viga motriz giratoria, una biela y un cuerpo deslizante. En el presente ejemplo, se utiliza un cuerpo flexible para la biela. La masa deslizante no puede girar y se utilizan tres articulaciones giratorias para conectar los cuerpos. Si bien cada cuerpo tiene seis grados de libertad en el espacio, las condiciones cinemáticas dan lugar a un grado de libertad para todo el sistema.
El movimiento del mecanismo se puede ver en la siguiente animación gif:
Por lo general, se considera que un cuerpo es una parte rígida o flexible de un sistema mecánico (que no debe confundirse con el cuerpo humano). Un ejemplo de cuerpo es el brazo de un robot, una rueda o un eje de un automóvil o el antebrazo humano. Un vínculo es la conexión de dos o más cuerpos, o de un cuerpo con el suelo. El vínculo se define mediante ciertas restricciones (cinemáticas) que restringen el movimiento relativo de los cuerpos. Las restricciones típicas son:
Hay dos términos importantes en los sistemas multicuerpo: grado de libertad y condición de restricción.
Los grados de libertad indican el número de posibilidades cinemáticas independientes para moverse. En otras palabras, los grados de libertad son el número mínimo de parámetros necesarios para definir completamente la posición de una entidad en el espacio.
Un cuerpo rígido tiene seis grados de libertad en el caso de un movimiento espacial general, tres de ellos son grados de libertad de traslación y tres grados de libertad de rotación. En el caso de un movimiento plano, un cuerpo tiene solo tres grados de libertad, con solo un grado de libertad de rotación y dos grados de libertad de traslación.
Los grados de libertad en el movimiento plano se pueden demostrar fácilmente utilizando un ratón de ordenador. Los grados de libertad son: izquierda-derecha, adelante-atrás y la rotación sobre el eje vertical.
Una condición de restricción implica una restricción en los grados de libertad cinemáticos de uno o más cuerpos. La restricción clásica suele ser una ecuación algebraica que define la traslación o rotación relativa entre dos cuerpos. Además, existen posibilidades de restringir la velocidad relativa entre dos cuerpos o entre un cuerpo y el suelo. Este es, por ejemplo, el caso de un disco rodante, donde el punto del disco que contacta con el suelo siempre tiene velocidad relativa cero con respecto al suelo. En el caso de que la condición de restricción de velocidad no se pueda integrar en el tiempo para formar una restricción de posición, se denomina no holonómica . Este es el caso de la restricción general de rodadura.
Además de eso, existen restricciones no clásicas que incluso podrían introducir una nueva coordenada desconocida, como una articulación deslizante, donde se permite que un punto de un cuerpo se mueva a lo largo de la superficie de otro cuerpo. En el caso del contacto, la condición de restricción se basa en desigualdades y, por lo tanto, dicha restricción no restringe permanentemente los grados de libertad de los cuerpos.
Las ecuaciones de movimiento se utilizan para describir el comportamiento dinámico de un sistema multicuerpo. Cada formulación de sistema multicuerpo puede dar lugar a una apariencia matemática diferente de las ecuaciones de movimiento, aunque la física subyacente sea la misma. El movimiento de los cuerpos restringidos se describe mediante ecuaciones que resultan básicamente de la segunda ley de Newton. Las ecuaciones se escriben para el movimiento general de los cuerpos individuales con la adición de condiciones de restricción. Por lo general, las ecuaciones de movimiento se derivan de las ecuaciones de Newton-Euler o de las ecuaciones de Lagrange .
El movimiento de los cuerpos rígidos se describe por medio de
Este tipo de ecuaciones de movimiento se basan en las llamadas coordenadas redundantes, porque las ecuaciones utilizan más coordenadas que grados de libertad del sistema subyacente. Las coordenadas generalizadas se denotan por , la matriz de masa se representa por que puede depender de las coordenadas generalizadas. representa las condiciones de restricción y la matriz (a veces denominada jacobiana ) es la derivada de las condiciones de restricción con respecto a las coordenadas. Esta matriz se utiliza para aplicar fuerzas de restricción a las ecuaciones correspondientes de los cuerpos. Los componentes del vector también se denotan como multiplicadores de Lagrange. En un cuerpo rígido, las posibles coordenadas podrían dividirse en dos partes,
donde representa las traslaciones y describe las rotaciones.
En el caso de cuerpos rígidos, se utiliza el llamado vector de velocidad cuadrático para describir los términos de Coriolis y centrífugos en las ecuaciones de movimiento. El nombre se debe a que incluye términos cuadráticos de velocidades y resulta de las derivadas parciales de la energía cinética del cuerpo.
El multiplicador de Lagrange está relacionado con una condición de restricción y, por lo general, representa una fuerza o un momento que actúa en la “dirección” del grado de libertad de la restricción. Los multiplicadores de Lagrange no realizan ningún “trabajo” en comparación con las fuerzas externas que modifican la energía potencial de un cuerpo.
Las ecuaciones de movimiento (1,2) se representan por medio de coordenadas redundantes, lo que significa que las coordenadas no son independientes. Esto se puede ejemplificar con el mecanismo de corredera-manivela mostrado anteriormente, donde cada cuerpo tiene seis grados de libertad mientras que la mayoría de las coordenadas dependen del movimiento de los otros cuerpos. Por ejemplo, se podrían utilizar 18 coordenadas y 17 restricciones para describir el movimiento de la corredera-manivela con cuerpos rígidos. Sin embargo, como solo hay un grado de libertad, la ecuación de movimiento también se podría representar por medio de una ecuación y un grado de libertad, utilizando, por ejemplo, el ángulo del eslabón de accionamiento como grado de libertad. La última formulación tiene entonces el número mínimo de coordenadas para describir el movimiento del sistema y, por lo tanto, se puede llamar una formulación de coordenadas mínimas. La transformación de coordenadas redundantes a coordenadas mínimas es a veces engorrosa y solo es posible en el caso de restricciones holonómicas y sin bucles cinemáticos. Se han desarrollado varios algoritmos para la derivación de ecuaciones de movimiento de coordenadas mínimas, por mencionar solo la llamada formulación recursiva. Las ecuaciones resultantes son más fáciles de resolver porque, en ausencia de condiciones restrictivas, se pueden utilizar métodos de integración temporal estándar para integrar las ecuaciones de movimiento en el tiempo. Si bien el sistema reducido se puede resolver de manera más eficiente, la transformación de las coordenadas puede resultar costosa en términos computacionales. En formulaciones de sistemas multicuerpo y sistemas de software muy generales, se utilizan coordenadas redundantes para que los sistemas sean fáciles de usar y flexibles.
Existen varios casos en los que es necesario considerar la flexibilidad de los cuerpos, por ejemplo en aquellos casos en los que la flexibilidad juega un papel fundamental tanto en la cinemática como en los mecanismos complacientes.
La flexibilidad se puede tener en cuenta de diferentes maneras. Existen tres enfoques principales:
![{\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d6dbee4375da4b6ffc3e0df78921b00d47139)
