Ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos)

Ecuación diferencial ordinaria cuasilineal de primer orden

En mecánica clásica , las ecuaciones de rotación de Euler son una ecuación diferencial ordinaria vectorial cuasilineal de primer orden que describe la rotación de un cuerpo rígido , utilizando un sistema de referencia giratorio con velocidad angular ω cuyos ejes están fijos al cuerpo. Su forma vectorial general es

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

donde M son los pares aplicados y I es la matriz de inercia . El vector es la aceleración angular . Nuevamente, tenga en cuenta que todas las cantidades están definidas en el sistema de referencia giratorio. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$

En coordenadas de ejes principales de inercia ortogonales , las ecuaciones se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}}$

donde M _k son las componentes de los pares aplicados, I _k son los momentos principales de inercia y ω _k son las componentes de la velocidad angular.

En ausencia de pares aplicados, se obtiene la cima de Euler . Cuando los pares se deben a la gravedad , hay casos especiales en los que el movimiento de la peonza es integrable .

Derivación

En un sistema de referencia inercial (subíndice "in"), la segunda ley de Euler establece que la derivada temporal del momento angular L es igual al par aplicado :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}}$

Para partículas puntuales en las que las fuerzas internas son fuerzas centrales , esto se puede derivar utilizando la segunda ley de Newton . Para un cuerpo rígido, la relación entre el momento angular y el momento de inercia I _se da como

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}}$

En el marco inercial, la ecuación diferencial no siempre es útil para resolver el movimiento de un cuerpo rígido giratorio general, ya que tanto I _in como ω pueden cambiar durante el movimiento. En cambio, se puede cambiar a un sistema de coordenadas fijo en el cuerpo giratorio, en el que el momento de inercia del tensor es constante. Usando un sistema de referencia como el del centro de masa, la posición del sistema queda fuera de las ecuaciones. En cualquier sistema de referencia giratorio, la derivada del tiempo debe reemplazarse para que la ecuación sea

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }$

y así surge el producto cruzado, ver derivada del tiempo en un sistema de referencia giratorio . Los componentes vectoriales del par en los marcos inercial y giratorio están relacionados por dónde está el tensor de rotación (no la matriz de rotación ), un tensor ortogonal relacionado con el vector de velocidad angular por para cualquier vector u . Ahora se sustituye y se toman las derivadas del tiempo en el sistema giratorio, teniendo en cuenta que las posiciones de las partículas y el tensor de inercia no dependen del tiempo. Esto conduce a la forma vectorial general de las ecuaciones de Euler que son válidas en dicho marco. ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

Las ecuaciones también se derivan de las leyes de Newton en la discusión del par resultante .

De manera más general, según las reglas de transformación del tensor, cualquier tensor de rango 2 tiene una derivada del tiempo tal que para cualquier vector , se tiene . Esto produce las ecuaciones de Euler reemplazando ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

Forma de ejes principales

Al elegir un marco para que sus ejes estén alineados con los ejes principales del tensor de inercia, su matriz componente es diagonal, lo que simplifica aún más los cálculos. Como se describe en el artículo sobre el momento de inercia , el momento angular L se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}I_{i}\omega _{i}\mathbf {e} _{i}}$

Además, en algunos marcos no ligados al cuerpo es posible obtener ecuaciones simples (tensores diagonales) para la tasa de cambio del momento angular. Entonces ω debe ser la velocidad angular de rotación de los ejes de ese marco en lugar de la rotación del cuerpo. Sin embargo, sigue siendo necesario que los ejes elegidos sigan siendo ejes de inercia principales. La forma resultante de las ecuaciones de rotación de Euler es útil para objetos con simetría de rotación que permiten elegir libremente algunos de los ejes principales de rotación.

Soluciones de casos especiales

Precesiones sin par

Las precesiones sin par no son una solución trivial para la situación en la que el par en el lado derecho es cero. Cuando I no es constante en el sistema de referencia externo (es decir, el cuerpo se está moviendo y su tensor de inercia no es constantemente diagonal), entonces no puedo pasar por el operador derivativo que actúa sobre L. En este caso I ( t ) y ω ( t ) cambian juntos de tal manera que la derivada de su producto sigue siendo cero. Este movimiento se puede visualizar mediante la construcción de Poinsot .

Ecuaciones de Euler generalizadas

Las ecuaciones de Euler se pueden generalizar a cualquier álgebra de Lie simple . ^[1] Las ecuaciones originales de Euler provienen de fijar el álgebra de Lie en , con generadores que satisfacen la relación . Entonces, si (donde es una coordenada de tiempo, que no debe confundirse con vectores base ) es una función valorada del tiempo, y (con respecto a la base del álgebra de Lie), entonces las ecuaciones originales de Euler (sin torsión) se pueden escribir ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {t_{1},t_{2},t_{3}}}$ ${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{k}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})}$

$${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].}$$

forma bilineal invariante ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Esto también puede verse como una formulación de pares Lax de las ecuaciones generalizadas de Euler, lo que sugiere su integrabilidad.

Ver también

• ángulos de euler
• efecto Dzhanibekov
• Momento de inercia
• Elipsoide de Poinsot
• Rotor rígido

Referencias

1. Hitchin, Nigel J.; Segal, Graeme B.; Ward, Richard S.; Segal, GB; Barrio, RS (2011). Sistemas integrables: twistores, grupos de bucles y superficies de Riemann; Basado en conferencias dadas en una conferencia sobre sistemas integrables organizada por NMJ Woodhouse y celebrada en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford, en septiembre de 1997 . Oxford: Prensa de Clarendon. pag. 65.ISBN _ 9780198504214.

• CA Truesdell, III (1991) Un primer curso en mecánica racional del continuo. vol. 1: Conceptos Generales , 2ª ed., Academic Press. ISBN 0-12-701300-8 . Sectas. I.8-10. 
• CA Truesdell, III y RA Toupin (1960) The Classical Field Theories , en S. Flügge (ed.) Encyclopedia of Physics. vol. III/1: Principios de la mecánica clásica y la teoría de campos , Springer-Verlag. Sectas. 166–168, 196–197 y 294.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3º. ed., Prensa de Pérgamo. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda).  
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9 
• Symon KR. (1971) Mecánica , 3º. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7