En matemáticas , especialmente en el área de teoría de grupos del álgebra , el grupo lineal proyectivo (también conocido como grupo lineal general proyectivo o PGL) es la acción inducida del grupo lineal general de un espacio vectorial V sobre el espacio proyectivo asociado P( V ). Explícitamente, el grupo lineal proyectivo es el grupo cociente
donde GL( V ) es el grupo lineal general de V y Z( V ) es el subgrupo de todas las transformaciones escalares distintas de cero de V ; estas se eliminan porque actúan trivialmente en el espacio proyectivo y forman el núcleo de la acción, y la notación "Z" refleja que las transformaciones escalares forman el centro del grupo lineal general.
El grupo lineal especial proyectivo , PSL, se define de manera análoga, como la acción inducida del grupo lineal especial sobre el espacio proyectivo asociado. Explícitamente:
donde SL( V ) es el grupo lineal especial sobre V y SZ( V ) es el subgrupo de transformaciones escalares con determinante unitario . Aquí SZ es el centro de SL, y se identifica naturalmente con el grupo de raíces n -ésimas de la unidad en F (donde n es la dimensión de V y F es el cuerpo base ).
PGL y PSL son algunos de los grupos fundamentales de estudio, parte de los llamados grupos clásicos , y un elemento de PGL se llama transformación lineal proyectiva , transformación proyectiva u homografía . Si V es el espacio vectorial n -dimensional sobre un cuerpo F , es decir V = F n , también se utilizan las notaciones alternativas PGL( n , F ) y PSL( n , F ) .
Nótese que PGL( n , F ) y PSL( n , F ) son isomorfos si y solo si cada elemento de F tiene una raíz n ésima en F . Como ejemplo, nótese que PGL(2, C ) = PSL(2, C ) , pero que PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; [1] esto corresponde a que la línea proyectiva real es orientable y que el grupo lineal especial proyectivo son solo las transformaciones que preservan la orientación.
PGL y PSL también se pueden definir sobre un anillo , siendo un ejemplo importante el grupo modular , PSL(2, Z ) .
El nombre proviene de la geometría proyectiva , donde el grupo proyectivo que actúa sobre coordenadas homogéneas ( x 0 : x 1 : ... : x n ) es el grupo subyacente de la geometría. [nota 1] Dicho de otra manera, la acción natural de GL( V ) sobre V desciende a una acción de PGL( V ) sobre el espacio proyectivo P ( V ).
Los grupos lineales proyectivos generalizan por tanto el caso PGL(2, C ) de las transformaciones de Möbius (a veces llamado grupo de Möbius ), que actúa sobre la línea proyectiva .
Nótese que a diferencia del grupo lineal general, que generalmente se define axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal (espacio vectorial)", el grupo lineal proyectivo se define de manera constructiva, como un cociente del grupo lineal general del espacio vectorial asociado, en lugar de axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal proyectiva". Esto se refleja en la notación: PGL( n , F ) es el grupo asociado a GL( n , F ) , y es el grupo lineal proyectivo del espacio proyectivo de ( n − 1) -dimensional, no del espacio proyectivo de n -dimensional.
Un grupo relacionado es el grupo de colineación , que se define axiomáticamente. Una colineación es una función invertible (o más generalmente biunívoca) que envía puntos colineales a puntos colineales. Se puede definir un espacio proyectivo axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P , líneas L y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas) que satisface ciertos axiomas: un automorfismo de un espacio proyectivo así definido es entonces un automorfismo f del conjunto de puntos y un automorfismo g del conjunto de líneas, preservando la relación de incidencia, [nota 2] que es exactamente una colineación de un espacio consigo mismo. Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas: PGL es en general un subgrupo propio del grupo de colineación.
Específicamente, para n = 2 (una línea proyectiva), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva, y excepto F 2 y F 3 (donde PGL es el grupo simétrico completo), PGL es un subgrupo propio del grupo simétrico completo en estos puntos.
Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL – esto es PGL, torcido por automorfismos de cuerpo ; formalmente, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , donde k es el cuerpo primo para K ; este es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Por lo tanto, para K un cuerpo primo ( F p o Q ), tenemos PGL = PΓL , pero para K un cuerpo con automorfismos de Galois no triviales (como F p n para n ≥ 2 o C ), el grupo lineal proyectivo es un subgrupo propio del grupo de colineación, que puede considerarse como "transformadas que preservan una estructura semilineal proyectiva ". Correspondientemente, el grupo cociente PΓL / PGL = Gal( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente.
También se pueden definir grupos de colineación para espacios proyectivos definidos axiomáticamente, donde no existe una noción natural de una transformada lineal proyectiva. Sin embargo, con la excepción de los planos no desarguesianos , todos los espacios proyectivos son la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división aunque, como se señaló anteriormente, hay múltiples opciones de estructura lineal, a saber, un torsor sobre Gal( K / k ) (para n ≥ 3 ).
Los elementos del grupo lineal proyectivo pueden entenderse como "inclinando el plano" a lo largo de uno de los ejes, y luego proyectándose al plano original, y también tienen dimensión n .
Una forma geométrica más familiar para entender las transformaciones proyectivas es a través de rotaciones proyectivas (los elementos de PSO( n + 1) ), que corresponde a la proyección estereográfica de rotaciones de la hiperesfera unitaria, y tiene dimensión . Visualmente, esto corresponde a pararse en el origen (o colocar una cámara en el origen), y girar el ángulo de visión, para luego proyectar sobre un plano. Las rotaciones en ejes perpendiculares al hiperplano preservan el hiperplano y producen una rotación del hiperplano (un elemento de SO( n ), que tiene dimensión .), mientras que las rotaciones en ejes paralelos al hiperplano son mapas proyectivos propios, y explican las n dimensiones restantes.
En cuanto a las transformaciones de Möbius , el grupo PGL(2, K ) puede interpretarse como transformaciones lineales fraccionarias con coeficientes en K. Los puntos en la línea proyectiva sobre K corresponden a pares de K 2 , siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales. Cuando la segunda coordenada no es cero, un punto puede representarse por [ z , 1] . Entonces, cuando ad − bc ≠ 0 , la acción de PGL(2, K ) es por transformación lineal:
De esta manera, las transformaciones sucesivas se pueden escribir como multiplicación correcta de dichas matrices, y la multiplicación de matrices se puede utilizar para el producto de grupo en PGL(2, K ) .
Los grupos lineales especiales proyectivos PSL( n , F q ) para un cuerpo finito F q se escriben a menudo como PSL( n , q ) o L n ( q ). Son grupos simples finitos siempre que n sea al menos 2, con dos excepciones: [2] L 2 (2), que es isomorfo a S 3 , el grupo simétrico de 3 letras, y es resoluble ; y L 2 (3), que es isomorfo a A 4 , el grupo alternado de 4 letras, y también es resoluble. Estos isomorfismos excepcionales pueden entenderse como surgidos de la acción sobre la línea proyectiva.
Los grupos lineales especiales SL( n , q ) son, pues, cuasisimples : extensiones centrales perfectas de un grupo simple (a menos que n = 2 y q = 2 o 3).
Los grupos PSL(2, p ) para cualquier número primo p fueron construidos por Évariste Galois en la década de 1830, y fueron la segunda familia de grupos simples finitos , después de los grupos alternados . [3] Galois los construyó como transformadas lineales fraccionarias, y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3; esto está contenido en su última carta a Chevalier. [4] En la misma carta y manuscritos adjuntos, Galois también construyó el grupo lineal general sobre un cuerpo primo , GL( ν , p ) , al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p ν .
Los grupos PSL( n , q ) ( n general , cuerpo finito general) para cualquier potencia prima q fueron construidos entonces en el texto clásico de 1870 de Camille Jordan , Traité des substitutions et des équations algébriques .
El orden de PGL( n , q ) es
que corresponde al orden de GL( n , q ) , dividido por q − 1 para proyectivización; véase q -analog para una discusión de tales fórmulas. Nótese que el grado es n 2 − 1 , lo que concuerda con la dimensión como un grupo algebraico. La "O" es para notación O grande , que significa "términos que involucran orden inferior". Esto también es igual al orden de SL( n , q ) ; allí dividir por q − 1 se debe al determinante.
El orden de PSL( n , q ) es el orden de PGL( n , q ) como se indicó anteriormente, dividido por mcd( n , q − 1) . Esto es igual a | SZ( n , q ) | , el número de matrices escalares con determinante 1; | F × / ( F × ) n | , el número de clases de elementos que no tienen raíz n ésima; y también es el número de raíces n ésimas de la unidad en F q . [nota 4]
Además de los isomorfismos
Existen otros isomorfismos excepcionales entre grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternados (estos grupos son todos simples, como el grupo alternado sobre 5 o más letras es simple):
El isomorfismo L 2 (9) ≅ A 6 permite ver el automorfismo externo exótico de A 6 en términos de automorfismo de cuerpo y operaciones matriciales. El isomorfismo L 4 (2) ≅ A 8 es de interés en la estructura del grupo de Mathieu M 24 .
Las extensiones asociadas SL( n , q ) → PSL( n , q ) son grupos de cobertura de los grupos alternados ( extensiones centrales perfectas universales ) para A 4 , A 5 , por unicidad de la extensión central perfecta universal; para L 2 (9) ≅ A 6 , la extensión asociada es una extensión central perfecta, pero no universal: hay un grupo de cobertura triple .
Los grupos superiores a F 5 presentan una serie de isomorfismos excepcionales:
También se pueden utilizar para dar una construcción de una función exótica S 5 → S 6 , como se describe a continuación. Sin embargo, tenga en cuenta que GL(2, 5) no es una cobertura doble de S 5 , sino una cobertura cuádruple.
Otro isomorfismo es:
Los isomorfismos excepcionales anteriores que involucran a los grupos lineales especiales proyectivos son casi todos los isomorfismos excepcionales entre familias de grupos simples finitos; el único otro isomorfismo excepcional es PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3), entre un grupo unitario especial proyectivo y un grupo simpléctico proyectivo . [3]
Algunas de las funciones anteriores se pueden ver directamente en términos de la acción de PSL y PGL sobre la línea proyectiva asociada: PGL( n , q ) actúa sobre el espacio proyectivo P n −1 ( q ), que tiene ( q n − 1)/( q − 1) puntos, y esto produce una función del grupo proyectivo lineal al grupo simétrico sobre ( q n − 1)/( q − 1) puntos. Para n = 2 , esta es la línea proyectiva P 1 ( q ) que tiene ( q 2 − 1)/( q − 1) = q + 1 puntos, por lo que hay una función PGL(2, q ) → S q +1 .
Para entender estos mapas, es útil recordar estos hechos:
Por lo tanto, la imagen es un subgrupo 3-transitivo de orden conocido, lo que permite identificarlo. Esto produce las siguientes funciones:
Mientras que PSL( n , q ) actúa naturalmente sobre ( q n − 1)/( q − 1) = 1 + q + ... + q n −1 puntos, las acciones no triviales sobre menos puntos son más raras. De hecho, para PSL(2, p ) actúa de manera no trivial sobre p puntos si y solo si p = 2 , 3, 5, 7 u 11; para 2 y 3 el grupo no es simple, mientras que para 5, 7 y 11, el grupo es simple; además, no actúa de manera no trivial sobre menos de p puntos. [nota 5] Esto fue observado por primera vez por Évariste Galois en su última carta a Chevalier, 1832. [7]
Esto se puede analizar de la siguiente manera; nótese que para 2 y 3 la acción no es fiel (es un cociente no trivial y el grupo PSL no es simple), mientras que para 5, 7 y 11 la acción es fiel (ya que el grupo es simple y la acción no trivial) y produce una incrustación en S p . En todos los casos excepto el último, PSL(2, 11) , corresponde a un isomorfismo excepcional, donde el grupo más a la derecha tiene una acción obvia en p puntos:
Además, L 2 (7) y L 2 (11) tienen dos acciones inequivalentes en p puntos; geométricamente esto se realiza por la acción en un biplano, que tiene p puntos y p bloques – la acción en los puntos y la acción en los bloques son ambas acciones en p puntos, pero no conjugadas (tienen diferentes estabilizadores puntuales); en cambio, están relacionadas por un automorfismo externo del grupo. [9]
Más recientemente, estas tres últimas acciones excepcionales han sido interpretadas como un ejemplo de la clasificación ADE : [10] estas acciones corresponden a productos (como conjuntos, no como grupos) de los grupos como A 4 × Z / 5 Z , S 4 × Z / 7 Z , y A 5 × Z / 11 Z , donde los grupos A 4 , S 4 y A 5 son los grupos de isometría de los sólidos platónicos , y corresponden a E 6 , E 7 , y E 8 bajo la correspondencia de McKay . Estos tres casos excepcionales también se realizan como geometrías de poliedros (equivalentemente, teselados de superficies de Riemann ), respectivamente: el compuesto de cinco tetraedros dentro del icosaedro (esfera, género 0), el biplano de orden 2 ( plano de Fano complementario ) dentro del cuartico de Klein (género 3), y el biplano de orden 3 ( biplano de Paley ) dentro de la superficie de buckyball (género 70). [11] [12]
La acción de L 2 (11) puede verse algebraicamente como debida a una inclusión excepcional L 2 (5) L 2 (11) – hay dos clases de conjugación de subgrupos de L 2 (11) que son isomorfos a L 2 (5), cada uno con 11 elementos: la acción de L 2 (11) por conjugación sobre estos es una acción sobre 11 puntos, y, además, las dos clases de conjugación están relacionadas por un automorfismo externo de L 2 (11). (Lo mismo es cierto para los subgrupos de L 2 (7) isomorfos a S 4 , y este también tiene una geometría biplanar.)
Geométricamente, esta acción puede entenderse a través de una geometría biplana , que se define de la siguiente manera. Una geometría biplana es un diseño simétrico (un conjunto de puntos y un número igual de "líneas", o más bien bloques) tal que cualquier conjunto de dos puntos está contenido en dos líneas, mientras que dos líneas cualesquiera se intersecan en dos puntos; esto es similar a un plano proyectivo finito, excepto que en lugar de que dos puntos determinen una línea (y dos líneas determinen un punto), determinan dos líneas (respectivamente, puntos). En este caso (el biplano de Paley , obtenido a partir del dígrafo de Paley de orden 11), los puntos son la línea afín (el cuerpo finito) F 11 , donde la primera línea se define como los cinco residuos cuadráticos distintos de cero (puntos que son cuadrados: 1, 3, 4, 5, 9), y las otras líneas son las traducidas afines de esto (añadir una constante a todos los puntos). L 2 (11) es entonces isomorfo al subgrupo de S 11 que preserva esta geometría (envía líneas a líneas), dando un conjunto de 11 puntos sobre los cuales actúa – de hecho dos: los puntos o las líneas, lo que corresponde al automorfismo externo – mientras que L 2 (5) es el estabilizador de una línea dada, o dualmente de un punto dado.
Más sorprendente aún, el espacio de clases laterales L 2 (11) / ( Z / 11 Z ), que tiene orden 660/11 = 60 (y sobre el que actúa el grupo icosaédrico) tiene naturalmente la estructura de una buckyball , que se utiliza en la construcción de la superficie de buckyball .
El grupo PSL(3, 4) puede utilizarse para construir el grupo de Mathieu M 24 , uno de los grupos simples esporádicos ; en este contexto, se hace referencia a PSL(3, 4) como M 21 , aunque no es propiamente un grupo de Mathieu. Se comienza con el plano proyectivo sobre el cuerpo con cuatro elementos, que es un sistema de Steiner de tipo S(2, 5, 21) – es decir, que tiene 21 puntos, cada línea (“bloque”, en la terminología de Steiner) tiene 5 puntos, y cualesquiera 2 puntos determinan una línea – y sobre el que actúa PSL(3, 4) . A este sistema Steiner se le llama W 21 ("W" por Witt ), y luego se lo expande a un sistema Steiner más grande W 24 , expandiendo el grupo de simetría en el camino: al grupo lineal general proyectivo PGL(3, 4) , luego al grupo semilineal proyectivo PΓL(3, 4) , y finalmente al grupo Mathieu M 24 .
M 24 también contiene copias de PSL(2, 11) , que es máximo en M 22 , y PSL(2, 23) , que es máximo en M 24 , y se puede utilizar para construir M 24. [13]
Los grupos PSL surgen como grupos de Hurwitz (grupos de automorfismo de superficies de Hurwitz – curvas algebraicas de grupo de simetría posiblemente máxima). La superficie de Hurwitz del género más bajo, la cuártica de Klein (género 3), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL(2, 7) (equivalentemente GL(3, 2) ), mientras que la superficie de Hurwitz del segundo género más bajo, la superficie de Macbeath (género 7), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL(2, 8) .
De hecho, muchos grupos simples, pero no todos, surgen como grupos de Hurwitz (incluido el grupo monstruo , aunque no todos los grupos alternados o esporádicos), aunque el PSL se destaca por incluir los grupos más pequeños de este tipo.
Los grupos PSL(2, Z / n Z ) surgen al estudiar el grupo modular , PSL(2, Z ) , como cocientes al reducir todos los elementos módulo n ; los núcleos se denominan subgrupos de congruencia principal .
Un subgrupo notable del grupo lineal general proyectivo PGL(2, Z ) (y del grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z [ i ]) ) son las simetrías del conjunto {0, 1, ∞} ⊂ P 1 ( C ) [nota 6] que se conoce como el grupo anarmónico , y surge como las simetrías de las seis razones cruzadas . El subgrupo puede expresarse como transformaciones lineales fraccionarias , o representarse (de manera no unívoca) mediante matrices, como:
Nótese que la fila superior es la identidad y los dos 3-ciclos, y preservan la orientación, formando un subgrupo en PSL(2, Z ) , mientras que la fila inferior son los tres 2-ciclos, y están en PGL(2, Z ) y PSL(2, Z [ i ]) , pero no en PSL(2, Z ) , por lo tanto, se realizan como matrices con determinante −1 y coeficientes enteros, o como matrices con determinante 1 y coeficientes enteros gaussianos .
Esto se asigna a las simetrías de {0, 1, ∞} ⊂ P 1 ( n ) bajo reducción módulo n . En particular, para n = 2 , este subgrupo se asigna isomórficamente a PGL(2, Z / 2 Z ) = PSL(2, Z / 2 Z ) ≅ S 3 , [nota 7] y, por lo tanto, proporciona una división PGL(2, Z / 2 Z ) PGL(2, Z ) para la función cociente PGL(2, Z ) PGL(2, Z / 2 Z ) .
Los puntos fijos de ambos 3-ciclos son las razones cruzadas "más simétricas", , las soluciones de x 2 − x + 1 (las sextas raíces primitivas de la unidad ). Los 2-ciclos intercambian estos, como lo hacen con cualquier punto que no sean sus puntos fijos, lo que realiza la función cociente S 3 → S 2 por la acción del grupo sobre estos dos puntos. Es decir, el subgrupo C 3 < S 3 que consiste en la identidad y los 3-ciclos, {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)} , fija estos dos puntos, mientras que los otros elementos los intercambian.
Los puntos fijos de los 2-ciclos individuales son, respectivamente, −1, 1/2, 2, y este conjunto también se conserva y permuta por los 3-ciclos. Esto corresponde a la acción de S 3 sobre los 2-ciclos (sus 2-subgrupos de Sylow ) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos , S 3 Posada(S 3 ) ≅ S 3 .
Geométricamente, esto puede visualizarse como el grupo de rotación de la bipirámide triangular , que es isomorfa al grupo diedro del triángulo D 3 ≅ S 3 ; ver grupo anarmónico .
Sobre los números reales y complejos, la topología de PGL y PSL se puede determinar a partir de los haces de fibras que los definen:
a través de la secuencia larga y exacta de una fibración .
Tanto para los números reales como para los complejos, SL es un espacio de recubrimiento de PSL, con un número de láminas igual al número de raíces n -ésimas en K ; por lo tanto, en particular, todos sus grupos de homotopía superiores concuerdan. Para los números reales, SL es un recubrimiento doble de PSL para n pares, y es un recubrimiento uni-forme para n impares, es decir, un isomorfismo:
Para los complejos, SL es una cubierta n -fold de PSL.
Para PGL, para los reales, la fibra es R × ≅ {±1} , por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un espacio de cobertura doble, y todos los grupos de homotopía superiores concuerdan.
Para PGL sobre los complejos, la fibra es C × ≅ S 1 , por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un fibrado circular. Los grupos de homotopía superiores del círculo se anulan, por lo que los grupos de homotopía de GL( n , C ) y PGL( n , C ) concuerdan para n ≥ 3 . De hecho, π 2 siempre se anula para los grupos de Lie, por lo que los grupos de homotopía concuerdan para n ≥ 2 . Para n = 1 , tenemos que π 1 (GL( n , C )) = π 1 ( S 1 ) = Z . El grupo fundamental de PGL(2, C ) es un grupo cíclico finito de orden 2.
Sobre los números reales y complejos, los grupos lineales especiales proyectivos son las realizaciones de grupos de Lie mínimas ( sin centro ) para el álgebra de Lie lineal especial, cada grupo de Lie conexo cuya álgebra de Lie es es una cobertura de PSL( n , F ) . Por el contrario, su grupo de cobertura universal es el elemento máximo ( simplemente conexo ), y las realizaciones intermedias forman una red de grupos de cobertura .
Por ejemplo, SL(2, R ) tiene centro {±1} y grupo fundamental Z , y por lo tanto tiene cobertura universal SL(2, R ) y cubre el PSL(2, R ) sin centro .
Un homomorfismo de grupo G → PGL( V ) de un grupo G a un grupo lineal proyectivo se denomina representación proyectiva del grupo G , por analogía con una representación lineal (un homomorfismo G → GL( V ) ). Estos fueron estudiados por Issai Schur , quien demostró que las representaciones proyectivas de G se pueden clasificar en términos de representaciones lineales de extensiones centrales de G . Esto condujo al multiplicador de Schur , que se utiliza para abordar esta cuestión.
El grupo lineal proyectivo se estudia principalmente para n ≥ 2 , aunque puede definirse para dimensiones bajas.
Para n = 0 (o de hecho n < 0 ) el espacio proyectivo de K 0 está vacío, ya que no hay subespacios unidimensionales de un espacio de dimensión 0. Por lo tanto, PGL(0, K ) es el grupo trivial, que consiste en la única función vacía del conjunto vacío hacia sí mismo. Además, la acción de los escalares en un espacio de dimensión 0 es trivial, por lo que la función K × → GL(0, K ) es trivial, en lugar de una inclusión como lo es en dimensiones superiores.
Para n = 1 , el espacio proyectivo de K 1 es un único punto, ya que hay un único subespacio unidimensional. Por lo tanto, PGL(1, K ) es el grupo trivial, que consiste en la función única de un conjunto singleton consigo mismo. Además, el grupo lineal general de un espacio unidimensional son exactamente los escalares, por lo que la función K × GL(1, K ) es un isomorfismo, que corresponde a PGL(1, K ) := GL(1, K ) / K × ≅ {1} siendo trivial.
Para n = 2 , PGL(2, K ) no es trivial, pero es inusual porque es 3-transitivo, a diferencia de las dimensiones superiores cuando solo es 2-transitivo.
El grupo lineal proyectivo está contenido dentro de grupos más grandes, en particular:
![{\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecd2e56c88d93919d4b473617bfa52da0c7ac81)
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