Producto escalar

Operación algebraica sobre vectores de coordenadas

En matemáticas , el producto escalar o producto escalar ^{[nota 1]} es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (generalmente vectores de coordenadas ) y devuelve un solo número. En geometría euclidiana , el producto escalar de las coordenadas cartesianas de dos vectores se utiliza mucho. A menudo se le llama producto interno (o rara vez producto de proyección ) del espacio euclidiano, aunque no es el único producto interno que se puede definir en el espacio euclidiano (consulte Espacio del producto interno para obtener más información).

Algebraicamente, el producto escalar es la suma de los productos de las entradas correspondientes de las dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de las magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Estas definiciones son equivalentes cuando se utilizan coordenadas cartesianas. En la geometría moderna , los espacios euclidianos suelen definirse mediante espacios vectoriales . En este caso, el producto escalar se utiliza para definir longitudes (la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo) y ángulos (el coseno del ángulo entre dos vectores es el cociente de su producto escalar por el producto de sus longitudes).

El nombre "producto escalar" se deriva del operador punto "  ·  " que se utiliza a menudo para designar esta operación; ^[1] el nombre alternativo "producto escalar" enfatiza que el resultado es un escalar , en lugar de un vector (como ocurre con el producto vectorial en el espacio tridimensional).

Definición

El producto escalar se puede definir algebraica o geométricamente. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y distancia (magnitud) de los vectores. La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesiano para el espacio euclidiano.

En las presentaciones modernas de la geometría euclidiana , los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas , y el propio espacio euclidiano se identifica comúnmente con el espacio de coordenadas real . En tal presentación, las nociones de longitud y ángulo se definen mediante el producto escalar. La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo, y el coseno del ángulo (no orientado) entre dos vectores de longitud uno se define como su producto escalar. Entonces, la equivalencia de las dos definiciones del producto escalar es parte de la equivalencia de las formulaciones clásica y moderna de la geometría euclidiana. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Definición de coordenadas

El producto escalar de dos vectores y , especificado con respecto a una base ortonormal , se define como: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

donde denota sumatoria y es la dimensión del espacio vectorial . Por ejemplo, en el espacio tridimensional , el producto escalar de los vectores y es: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [1,3,-5]}$ ${\displaystyle [4,-2,-1]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

Asimismo, el producto escalar del vector consigo mismo es: ${\displaystyle [1,3,-5]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

Si los vectores se identifican con vectores de columna , el producto escalar también se puede escribir como un producto matricial.

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$

transpuesta ${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 ( vector de fila ) se multiplica por una matriz de 3 × 1 ( vector de columna ) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

Definición geométrica

Ilustración que muestra cómo encontrar el ángulo entre vectores usando el producto escalar

Calcular los ángulos de enlace de una geometría molecular tetraédrica simétrica utilizando un producto escalar

En el espacio euclidiano , un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee tanto una magnitud como una dirección. Un vector se puede representar como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector se denota por . El producto escalar de dos vectores euclidianos está definido por ^{[3] [4] [1]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

ángulo ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

En particular, si los vectores y son ortogonales (es decir, su ángulo es o ), entonces , lo que implica que ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$

codireccionales ${\displaystyle \cos 0=1}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$

${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

longitud euclidiana

Proyección escalar y primeras propiedades.

Proyección escalar

La proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano en la dirección de un vector euclidiano viene dada por ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto se puede reescribir como

$${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$

vector unitario ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Ley distributiva del producto escalar

Por tanto, el producto escalar se caracteriza geométricamente por ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$

homogéneo ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$

ley distributiva

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

Estas propiedades se pueden resumir diciendo que el producto escalar es una forma bilineal . Además, esta forma bilineal es definida positiva , lo que significa que nunca es negativa, y es cero si y sólo si , el vector cero. ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

Equivalencia de las definiciones

Si los vectores de base estándar son , entonces podemos escribir ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$

base ortonormal ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$

${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$

delta del Kronecker ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Componentes del vector en forma ortonormal

Además, por la definición geométrica, para cualquier vector y un vector , observamos que ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$

${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Ahora, aplicando la distributividad de la versión geométrica del producto escalar se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$

Propiedades

El producto escalar cumple las siguientes propiedades si , , y son vectores reales y , y son escalares . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Conmutativo

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$

que se sigue de la definición ( es el ángulo entre y ): ^[6] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$$

Distributiva sobre suma de vectores

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

bilineal

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$$

Multiplicación escalar

$${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$$

No asociativo

porque el producto escalar entre un escalar y un vector no está definido, lo que significa que las expresiones involucradas en la propiedad asociativa, o ambas, están mal definidas. ^[7] Sin embargo, tenga en cuenta que la propiedad de multiplicación escalar mencionada anteriormente a veces se denomina "ley asociativa para el producto escalar y escalar" ^[8] o se puede decir que "el producto escalar es asociativo con respecto a la multiplicación escalar" porque . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} )}$

Ortogonal

Dos vectores distintos de cero y son ortogonales si y solo si . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

Sin cancelación

A diferencia de la multiplicación de números ordinarios, donde si , entonces siempre es igual a menos que sea cero, el producto escalar no obedece la ley de cancelación : ${\displaystyle ab=ac}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

Si y , entonces podemos escribir: por la ley distributiva ; el resultado anterior dice que esto simplemente significa que es perpendicular a , lo que aún permite y, por lo tanto, permite . ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$

Regla del producto

Si y son funciones diferenciables con valores vectoriales , entonces la derivada ( denotada por un número primo ) de está dada por la regla ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {}'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

$${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$

Aplicación a la ley de los cosenos

Triángulo con aristas vectoriales a y b , separadas por un ángulo θ .

Dados dos vectores y separados por un ángulo (ver imagen a la derecha), forman un triángulo con un tercer lado . Sean , y denotan las longitudes de , y , respectivamente. El producto escalar de esto consigo mismo es: ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

cual es la ley de los cosenos .

Producto triple

Hay dos operaciones ternarias que involucran producto escalar y producto cruzado .

El triple producto escalar de tres vectores se define como

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

determinantecoordenadas cartesianasvolumenparalelepípedoproducto exterior

El triple producto vectorial está definido por ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$$

fórmula de Lagrangepuede recordarsefísica

Física

En física , la magnitud vectorial es un escalar en el sentido físico (es decir, una cantidad física independiente del sistema de coordenadas), expresada como el producto de un valor numérico y una unidad física , no solo un número. El producto escalar también es un escalar en este sentido, dado por la fórmula, independiente del sistema de coordenadas. Por ejemplo: ^{[10] [11]}

• El trabajo mecánico es el producto escalar de los vectores fuerza y ​​desplazamiento ,
• La potencia es el producto escalar de la fuerza y ​​la velocidad .

Generalizaciones

Vectores complejos

Para vectores con entradas complejas , usar la definición dada del producto escalar conduciría a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto escalar de un vector consigo mismo podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (por ejemplo, esto sucedería con el vector ). Esto, a su vez, tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma definida positiva se pueden salvar a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto escalar, mediante la definición alternativa ^{[12] [2]} ${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$

conjugado complejovectores columnaproducto matricialtranspuesta conjugada ${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

En el caso de vectores con componentes reales, esta definición es la misma que en el caso real. El producto escalar de cualquier vector consigo mismo es un número real no negativo y es distinto de cero excepto en el caso del vector cero. Sin embargo, el producto escalar complejo es sesquilineal en lugar de bilineal, ya que es lineal conjugado y no lineal en . El producto escalar no es simétrico, ya que ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

El producto escalar complejo conduce a las nociones de formas hermitianas y espacios de productos internos generales , que se utilizan ampliamente en matemáticas y física .

El producto escalar propio de un vector complejo , que implica la transpuesta conjugada de un vector fila, también se conoce como norma al cuadrado , en honor a la norma euclidiana ; es una generalización vectorial del cuadrado absoluto de un escalar complejo (ver también: distancia euclidiana al cuadrado ). ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$ ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$

Producto Interno

El producto interno generaliza el producto escalar a espacios vectoriales abstractos sobre un campo de escalares , siendo el campo de números reales o el campo de números complejos . Generalmente se denota mediante paréntesis angulares por . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

El producto interno de dos vectores sobre el cuerpo de números complejos es, en general, un número complejo y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio producto interno es un espacio vectorial normado , y el producto interno de un vector consigo mismo es real y definido positivamente.

Funciones

El producto escalar se define para vectores que tienen un número finito de entradas . Por lo tanto, estos vectores pueden considerarse funciones discretas : un vector de longitud es, entonces, una función con dominio y es una notación para la imagen de por la función/vector . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$

Esta noción se puede generalizar a funciones continuas : así como el producto interno de vectores usa una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno de funciones se define como una integral sobre algún intervalo [ a ,  b ] : ^[2]

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)\,dx.}$$

Generalizado aún más a funciones complejas y , por analogía con el producto interno complejo anterior, se obtiene ^[2] ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x)}$

$${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}\,dx.}$$

Función de peso

Los productos internos pueden tener una función de ponderación (es decir, una función que pondera cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interno de funciones y con respecto a la función de peso es ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle r(x)>0}$

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

Diádicas y matrices

Un producto escalar doble para matrices es el producto interno de Frobenius , que es análogo al producto escalar de vectores. Se define como la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos matrices y del mismo tamaño: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}$$

Al escribir una matriz como diádica , podemos definir un producto de doble punto diferente (ver Diádicas § Producto de diádica y diádica ), sin embargo, no es un producto interno.

Tensores

El producto interno entre un tensor de orden y un tensor de orden es un tensor de orden ; consulte Contracción tensor para más detalles. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n+m-2}$

Cálculo

Algoritmos

El sencillo algoritmo para calcular un producto escalar de vectores en punto flotante puede sufrir una cancelación catastrófica . Para evitar esto, se utilizan enfoques como el algoritmo de suma de Kahan .

Bibliotecas

Se incluye una función de producto escalar en:

• BLAS nivel 1 real SDOT, DDOT; complejo CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC,ZDOTC = X^H * Y
• Fortran como dot_product(A,B)osum(conjg(A) * B)
• Julia como   A' * Bo biblioteca estándar LinearAlgebra comodot(A, B)
• R (lenguaje de programación) como sum(A * B)para vectores o, más generalmente para matrices, comoA %*% B
• Matlab como   A' * B  o   conj(transpose(A)) * B  o   sum(conj(A) .* B)  o  dot(A, B)
• Python (paquete NumPy ) como   np.matmul(A, B)  o   np.dot(A, B)  o  np.inner(A, B)
• GNU Octave como   sum(conj(X) .* Y, dim)y código similar a Matlab
• Biblioteca Intel oneAPI Math Kernel real p?dot dot = sub(x)'*sub(y); complejo p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

Ver también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Producto cruzado
• Representación del producto escalar de un gráfico
• Norma euclidiana , la raíz cuadrada del producto escalar propio
• Multiplicación de matrices
• tensor métrico
• Multiplicación de vectores
• Producto exterior

Notas

1. El término producto escalar significa literalmente "producto con un escalar como resultado". También se utiliza en ocasiones para otras formas bilineales simétricas , por ejemplo en un espacio pseudoeuclidiano .

Referencias

1. "Producto escalar". www.mathsisfun.com . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
2. S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Álgebra lineal (esquemas de Schaum) (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (esquemas de Schaum) (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
4. AI Borisenko; IE Taparov (1968). Análisis vectorial y tensorial con aplicaciones . Traducido por Richard Silverman. Dover. pag. 14.
5. Arfken, GB; Weber, HJ (2000). Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.). Boston, MA: Prensa académica . págs. 14-15. ISBN 978-0-12-059825-0.
6. Nykamp, ​​Duane. "El producto escalar". Perspectiva matemática . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
7. Weisstein, Eric W. "Producto escalar". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
8. T. Banchoff; J. Wermer (1983). Álgebra lineal a través de la geometría. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 12.ISBN _ 978-1-4684-0161-5.
9. A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Mecánica de ingeniería: estática (5ª ed.). Prentice Hall. pag. 60.ISBN _ 978-0-13-612915-8.
10. KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para física e ingeniería (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
11. M. Mansfield; C. O'Sullivan (2011). Comprensión de la física (4ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-47-0746370.
12. Berberiano, Sterling K. (2014) [1992]. Álgebra lineal . Dover. pag. 287.ISBN _ 978-0-486-78055-9.

enlaces externos

• "Producto interno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Explicación del producto escalar incluso con vectores complejos.
• "Producto punto" de Bruce Torrence, Proyecto de demostraciones Wolfram , 2007.