Regla de nacimiento

Regla de cálculo en mecánica cuántica

La regla de Born es un postulado de la mecánica cuántica que establece la probabilidad de que una medición de un sistema cuántico produzca un resultado determinado. En una aplicación de uso común, establece que la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición dada es proporcional al cuadrado de la amplitud de la función de onda del sistema en esa posición. Fue formulada y publicada por el físico alemán Max Born en julio de 1926. ^[1]

Detalles

La regla de Born establece que un observable , medido en un sistema con función de onda normalizada (ver notación Bra–ket ), corresponde a un operador autoadjunto cuyo espectro es discreto si: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A}$

• El resultado medido será uno de los valores propios de , y ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$
• la probabilidad de medir un valor propio dado será igual a , donde es la proyección sobre el espacio propio de correspondiente a . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

(En el caso en que el espacio propio de correspondiente a es unidimensional y abarcado por el vector propio normalizado , es igual a , por lo que la probabilidad es igual a . Dado que el número complejo se conoce como la amplitud de probabilidad que el vector de estado asigna al vector propio , es común describir la regla de Born diciendo que la probabilidad es igual a la amplitud al cuadrado (en realidad, la amplitud multiplicada por su propio conjugado complejo ). De manera equivalente, la probabilidad se puede escribir como ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$

En el caso en que el espectro de no sea completamente discreto, el teorema espectral demuestra la existencia de una determinada medida de proyección (PVM) , la medida espectral de . En este caso: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$

• La probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un conjunto medible viene dada por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$

Por ejemplo, una partícula sin estructura puede describirse mediante una función de onda que depende de las coordenadas de posición y de una coordenada de tiempo . La regla de Born implica que la función de densidad de probabilidad para el resultado de una medición de la posición de la partícula en el tiempo es: La regla de Born también se puede emplear para calcular probabilidades (para mediciones con conjuntos discretos de resultados) o densidades de probabilidad (para mediciones de valor continuo) para otros observables, como el momento, la energía y el momento angular. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$$

En algunas aplicaciones, este tratamiento de la regla de Born se generaliza utilizando medidas con valores de operadores positivos (POVM) . Una POVM es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las mediciones de von Neumann y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por observables autoadjuntos. En una analogía aproximada, una POVM es a una PVM lo que un estado mixto es a un estado puro . Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver purificación del estado cuántico ); análogamente, las POVM son necesarias para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Las POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden usar en teoría cuántica de campos . ^[2] Se usan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan en un espacio de Hilbert de dimensión finita , un POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad ,: ^{[3] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$$

El elemento POVM está asociado al resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición sobre el estado cuántico viene dada por: ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$$

donde es el operador de traza . Esta es la versión POVM de la regla de Born. Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a: ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$$

La regla de Born, junto con la unitaridad del operador de evolución temporal (o, equivalentemente, el hamiltoniano siendo hermítico ), implica la unitaridad de la teoría: una función de onda que evoluciona en el tiempo mediante un operador unitario permanecerá correctamente normalizada. (En el caso más general donde se considera la evolución temporal de una matriz de densidad , la normalización adecuada se asegura al requerir que la evolución temporal sea una función completamente positiva que preserve las trazas ). ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Historia

La regla de Born fue formulada por Born en un artículo de 1926. ^[4] En este artículo, Born resuelve la ecuación de Schrödinger para un problema de dispersión e, inspirado por Albert Einstein y la regla probabilística de Einstein para el efecto fotoeléctrico , ^[5] concluye, en una nota a pie de página, que la regla de Born da la única interpretación posible de la solución. (El cuerpo principal del artículo dice que la amplitud "da la probabilidad" [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], mientras que la nota a pie de página añadida en la prueba dice que la probabilidad es proporcional al cuadrado de su magnitud). En 1954, junto con Walther Bothe , Born recibió el Premio Nobel de Física por este y otros trabajos. ^[5] John von Neumann discutió la aplicación de la teoría espectral a la regla de Born en su libro de 1932. ^[6]

Derivación de principios más básicos

El teorema de Gleason muestra que la regla de Born puede derivarse de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica junto con el supuesto de no contextualidad . Andrew M. Gleason demostró por primera vez el teorema en 1957, ^[7] impulsado por una pregunta planteada por George W. Mackey . ^{[8] [9]} Este teorema fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al demostrar que amplias clases de teorías de variables ocultas son incompatibles con la física cuántica. ^[10]

Varios otros investigadores también han intentado derivar la regla de Born a partir de principios más básicos. Se han propuesto varias derivaciones en el contexto de la interpretación de los muchos mundos . Estas incluyen el enfoque de la teoría de la decisión iniciado por David Deutsch ^[11] y desarrollado posteriormente por Hilary Greaves ^[12] y David Wallace; ^[13] y un enfoque de "envarianza" de Wojciech H. Zurek . ^[14] Sin embargo, estas pruebas han sido criticadas por ser circulares. ^{[15] En 2018, Charles Sebens y} Sean M. Carroll sugirieron un enfoque basado en la incertidumbre autolocalizadora ; ^[16] esto también ha sido criticado. ^[17] Simon Saunders , en 2021, produjo una derivación de conteo de ramas de la regla de Born. La característica crucial de este enfoque es definir las ramas de modo que todas tengan la misma magnitud o 2-norma . Las proporciones de los números de ramas así definidas dan las probabilidades de los diversos resultados de una medición, de acuerdo con la regla de Born. ^[18]

En 2019, Lluís Masanes, Thomas Galley y Markus Müller propusieron una derivación basada en postulados que incluyen la posibilidad de estimación de estado. ^{[19] [20]}

También se ha afirmado que la teoría de la onda piloto se puede utilizar para derivar estadísticamente la regla de Born, aunque esto sigue siendo controvertido. ^[21]

Dentro de la interpretación QBist de la teoría cuántica, la regla de Born se considera una extensión del principio normativo de coherencia , que garantiza la autoconsistencia de las evaluaciones de probabilidad a lo largo de todo un conjunto de dichas evaluaciones. Se puede demostrar que un agente que piensa que está apostando por los resultados de las mediciones en un sistema suficientemente similar a lo cuántico pero se niega a utilizar la regla de Born al realizar sus apuestas es vulnerable a un libro holandés . ^[22]

Referencias

1. Hall, Brian C. (2013). "Teoría cuántica para matemáticos". Textos de posgrado en matemáticas . Nueva York, NY: Springer New York. págs. 14-15, 58. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. ISSN  0072-5285.
2. Peres, Asher ; Terno, Daniel R. (2004). "Información cuántica y teoría de la relatividad". Reseñas de Física Moderna . 76 (1): 93–123. arXiv : quant-ph/0212023 . Código Bibliográfico :2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
3. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica (1.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-63503-5.OCLC 634735192  .
4. Nacido, Max (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" [Sobre la mecánica cuántica de las colisiones]. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863–867. Código bibliográfico : 1926ZPhy...37..863B. doi :10.1007/BF01397477. S2CID  119896026.Reimpreso como Born, Max (1983). "Sobre la mecánica cuántica de las colisiones". En Wheeler, JA ; Zurek, WH (eds.). Teoría y medición cuánticas . Princeton University Press. págs. 52–55. ISBN 978-0-691-08316-2.
5. Born, Max (11 de diciembre de 1954). "La interpretación estadística de la mecánica cuántica" (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Consultado el 7 de noviembre de 2018 . Una vez más, una idea de Einstein me dio la pista. Había intentado hacer comprensible la dualidad de partículas (cuantos de luz o fotones) y ondas interpretando el cuadrado de las amplitudes de las ondas ópticas como densidad de probabilidad para la aparición de fotones. Este concepto podría trasladarse de inmediato a la función psi: |psi| ² debería representar la densidad de probabilidad para los electrones (u otras partículas).
6. Neumann (von), Juan (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica]. Traducido por Beyer, Robert T. Princeton University Press (publicado en 1996). ISBN 978-0691028934.
7. Gleason, Andrew M. (1957). "Medidas en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert". Indiana University Mathematics Journal . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . MR  0096113.
8. Mackey, George W. (1957). "Mecánica cuántica y espacio de Hilbert". The American Mathematical Monthly . 64 (8P2): 45–57. doi :10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR  2308516.
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10. Mermin, N. David (1 de julio de 1993). "Variables ocultas y los dos teoremas de John Bell". Reseñas de Física Moderna . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Código Bibliográfico :1993RvMP...65..803M. doi :10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID  119546199.
11. Deutsch, David (8 de agosto de 1999). "Teoría cuántica de probabilidad y decisiones". Actas de la Royal Society A . 455 (1988): 3129–3137. arXiv : quant-ph/9906015 . Código Bibliográfico :1999RSPSA.455.3129D. doi :10.1098/rspa.1999.0443. S2CID  5217034 . Consultado el 5 de diciembre de 2022 .
12. Greaves, Hilary (21 de diciembre de 2006). "Probabilidad en la interpretación de Everett" (PDF) . Philosophy Compass . 2 (1): 109–128. doi :10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Consultado el 6 de diciembre de 2022 .
13. Wallace, David (2010). "Cómo demostrar la regla de Born". En Kent, Adrian; Wallace, David; Barrett, Jonathan; Saunders, Simon (eds.). ¿Muchos mundos? Everett, teoría cuántica y realidad . Oxford University Press. págs. 227–263. arXiv : 0906.2718 . ISBN. 978-0-191-61411-8.
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15. Landsman, NP (2008). "La regla de Born y su interpretación" (PDF) . En Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (eds.). Compendio de física cuántica . Springer. ISBN. 978-3-540-70622-9La conclusión parece ser que hasta la fecha no se ha dado ninguna derivación generalmente aceptada de la regla de Born, pero esto no implica que tal derivación sea imposible en principio .
16. Sebens, Charles T.; Carroll, Sean M. (marzo de 2018). "Incertidumbre autolocalizadora y el origen de la probabilidad en la mecánica cuántica everettiana". The British Journal for the Philosophy of Science . 69 (1): 25–74. arXiv : 1405.7577 . doi : 10.1093/bjps/axw004 .
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19. Masanes, Lluís; Galley, Thomas; Müller, Markus (2019). "Los postulados de medición de la mecánica cuántica son operacionalmente redundantes". Nature Communications . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Bibcode :2019NatCo..10.1361M. doi :10.1038/s41467-019-09348-x. PMC 6434053 . PMID  30911009. 
20. Ball, Philip (13 de febrero de 2019). "Misteriosa regla cuántica reconstruida desde cero". Revista Quanta . Archivado desde el original el 13 de febrero de 2019.
21. Goldstein, Sheldon (2017). "Mecánica de Bohm". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
22. DeBrota, John B.; Fuchs, Christopher A.; Pienaar, Jacques L.; Stacey, Blake C. (2021). "La regla de Born como una extensión cuántica de la coherencia bayesiana". Phys. Rev. A . 104 (2). 022207. arXiv : 2012.14397 . Código Bibliográfico :2021PhRvA.104b2207D. doi :10.1103/PhysRevA.104.022207.

Enlaces externos

• La mecánica cuántica no está en peligro: los físicos confirman experimentalmente un principio clave que data de hace décadas ScienceDaily (23 de julio de 2010)