Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica

Libro de John von Neumann

Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica ( en alemán : Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik ) es un libro de mecánica cuántica escrito por John von Neumann en 1932. Es un trabajo temprano importante en el desarrollo de la formulación matemática de la mecánica cuántica . ^[1] El libro resume principalmente los resultados que von Neumann había publicado en artículos anteriores. ^[2]

Historial de publicaciones

El libro fue publicado originalmente en alemán en 1932 por Springer . ^[2] Una traducción al inglés de Robert T. Beyer fue publicada en 1955 por Princeton University Press . Una traducción al ruso, editada por Nikolay Bogolyubov , fue publicada por Nauka en 1964. Una nueva edición en inglés, editada por Nicholas A. Wheeler, fue publicada en 2018 por Princeton University Press . ^[3]

Tabla de contenido

Según la versión de 2018, los capítulos principales son: ^[3]

1. Consideraciones introductorias
2. Espacio de Hilbert abstracto
3. Las estadísticas cuánticas
4. Desarrollo deductivo de la teoría
5. Consideraciones generales
6. El proceso de medición

Prueba de que no hay variables ocultas

Un pasaje significativo es su argumento matemático contra la idea de las variables ocultas . La afirmación de von Neumann se basaba en el supuesto de que cualquier combinación lineal de operadores hermíticos representa un observable y el valor esperado de dicho operador combinado sigue la combinación de los valores esperados de los propios operadores. ^[4]

Von Neumann parte de las siguientes premisas: ^[5]

1. Para un observable , una función de ese observable está representada por . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(R)}$
2. Para la suma de observables y se representa mediante la operación , independientemente de las relaciones de conmutación mutua. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R+S}$
3. La correspondencia entre observables y operadores hermíticos es uno a uno.
4. Si el observable es un operador no negativo , entonces su valor esperado es . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \langle R\rangle \geq 0}$
5. Para observables arbitrarios y , y números reales y , tenemos para todos los conjuntos posibles. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \langle aR+bS\rangle =a\langle R\rangle +b\langle S\rangle }$

Von Neumann demuestra entonces que se puede escribir

${\displaystyle \langle R\rangle =\sum _{m,n}\rho _{nm}R_{mn}=\mathrm {Tr} (\rho R)}$

para algunos , donde y son los elementos de la matriz. La prueba concluye señalando que debe ser hermítica y definida no negativa ( ) por construcción. ^[5] Para Von Neumann, esto significaba que la representación del operador estadístico de los estados podía deducirse de los postulados. En consecuencia, no hay estados "libres de dispersión": es imposible preparar un sistema de tal manera que todas las mediciones tengan resultados predecibles. Pero si existieran variables ocultas, entonces conocer los valores de las variables ocultas haría que los resultados de todas las mediciones fueran predecibles y, por lo tanto, no puede haber variables ocultas. ^[5] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R_{mn}}$ ${\displaystyle \rho _{nm}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \langle \rho \rangle \geq 0}$

Von Neumann concluye: ^[6]

Si además de las representadas por los operadores de la mecánica cuántica existieran otras magnitudes físicas aún no descubiertas, las relaciones que la mecánica cuántica supone tendrían que fallar ya para las magnitudes ya conocidas, las que hemos discutido anteriormente. No se trata, por tanto, como se supone a menudo, de una reinterpretación de la mecánica cuántica; el sistema actual de la mecánica cuántica tendría que ser objetivamente falso para que fuera posible una descripción de los procesos elementales distinta de la estadística.

—  págs. 324-325

Rechazo

Sin embargo, esta prueba fue rechazada ya en 1935 por Grete Hermann , quien encontró un fallo en la prueba. ^[4] El postulado 5 anterior no siempre se cumple. ^[5]

Sin embargo, la crítica permaneció desconocida hasta el redescubrimiento de John Stewart Bell en 1966. ^[4] Bell demostró que las consecuencias de esa suposición están en desacuerdo con los resultados de mediciones incompatibles, que no se tienen en cuenta explícitamente en las consideraciones de von Neumann.

Recepción

Fue considerado el libro más completo escrito sobre mecánica cuántica en el momento de su publicación. ^[2] Fue elogiado por su enfoque axiomático. ^[2]

Obras adaptadas en el libro

• Von Neumann, J. (1927). "Mathematische Begründung der Quantenmechanik [Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica]". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 1–57.
• Von Neumann, J. (1927). "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik [Teoría probabilística de la mecánica cuántica]". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 245–272.
• Von Neumann, J. (1927). "Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten [Termodinámica de cantidades mecánicas cuánticas]". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse . 102 : 273–291.
• von Neumann, J. (1929). "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren [Teoría general del valor propio de los operadores funcionales hermitianos]". Annalen Matemáticas : 49-131.
• Von Neumann, J. (1931). "Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren [La singularidad de los operadores de Schrödinger]". Annalen Matemáticas . 104 : 570–578. doi :10.1007/bf01457956. S2CID  120528257.

Véase también

• Axiomas de Dirac-von Neumann
• Los principios de la mecánica cuántica de Paul Dirac

Referencias

1. Van Hove, Léon (1958). "Contribuciones de von Neumann a la teoría cuántica". Bull. Amer. Math. Soc . 64 (3): 95–100. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 .
2. Margenau, Henry (1933). "Reseña del libro: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 39 (7): 493–495. doi : 10.1090/S0002-9904-1933-05665-3 . SEÑOR  1562667.
3. John von Neumann (2018). Nicholas A. Wheeler (ed.). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. Nueva edición. Traducido por Robert T. Beyer. Princeton University Press. ISBN 9781400889921.
4. Bell, John S. (1 de julio de 1966). "Sobre el problema de las variables ocultas en la mecánica cuántica". Reseñas de física moderna . 38 (3): 447–452. doi :10.1103/RevModPhys.38.447. ISSN  0034-6861.
5. Ballentine, LE (1970-10-01). "La interpretación estadística de la mecánica cuántica". Reseñas de física moderna . 42 (4): 358–381. doi :10.1103/RevModPhys.42.358. ISSN  0034-6861.
6. Albertson, James (1 de agosto de 1961). "La prueba de los parámetros ocultos de von Neumann". American Journal of Physics . 29 (8): 478–484. doi :10.1119/1.1937816. ISSN  0002-9505.

Enlaces externos

• Texto completo en línea de la edición alemana de 1932 (facsímil) en la Universidad de Göttingen .