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Polinomio de Bernstein

Polinomios de Bernstein que aproximan una curva

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio expresado como una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein. La idea recibe su nombre del matemático Sergei Natanovich Bernstein .

Los polinomios en forma de Bernstein fueron utilizados por primera vez por Bernstein en una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con la llegada de los gráficos por ordenador, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], adquirieron importancia en forma de curvas de Bézier .

Una forma numéricamente estable de evaluar polinomios en forma de Bernstein es el algoritmo de Casteljau .

Polinomios de base de Bernstein para la combinación de curvas de cuarto grado

Definición

Polinomios de base de Bernstein

Los polinomios base de Bernstein n  +1 de grado n se definen como

donde es un coeficiente binomial .

Así, por ejemplo,

Los primeros polinomios base de Bernstein para combinar 1, 2, 3 o 4 valores son:

Los polinomios base de Bernstein de grado n forman una base para el espacio vectorial de polinomios de grado  n como máximo con coeficientes reales.

Polinomios de Bernstein

Una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein

se llama polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado  n . [1] Los coeficientes se denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier .

Los primeros polinomios de base de Bernstein mencionados anteriormente en forma monomial son:

Propiedades

Los polinomios base de Bernstein tienen las siguientes propiedades:

Aproximación de funciones continuas

Sea ƒ una función continua en el intervalo [0, 1]. Consideremos el polinomio de Bernstein

Se puede demostrar que

uniformemente en el intervalo [0, 1]. [4] [1] [5] [6]

Los polinomios de Bernstein proporcionan así una forma de demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass , según el cual toda función continua de valor real en un intervalo real [ ab ] puede ser aproximada uniformemente por funciones polinómicas sobre  . [7]

Una afirmación más general para una función con derivada k- ésima continua es

donde además

es un valor propio de B n ; la función propia correspondiente es un polinomio de grado  k .

Prueba probabilística

Esta prueba sigue la prueba original de Bernstein de 1912. [8] Véase también Feller (1966) o Koralov & Sinai (2007). [9] [5]

Motivación

Primero daremos una idea intuitiva de la prueba original de Bernstein. Una función continua en un intervalo compacto debe ser uniformemente continua. Por lo tanto, el valor de cualquier función continua puede aproximarse uniformemente por su valor en una red finita de puntos en el intervalo. Esta consideración hace que el teorema de aproximación sea intuitivo, dado que los polinomios deben ser lo suficientemente flexibles como para coincidir (o casi coincidir) con un número finito de pares . Para ello, podríamos (1) construir una función cercana a en una red y luego (2) suavizar la función fuera de la red para hacer un polinomio.

La prueba probabilística que se muestra a continuación simplemente proporciona un método constructivo para crear un polinomio que sea aproximadamente igual a en dicha red de puntos, dado que "suavizar" una función no siempre es trivial. Tomar la esperanza de una variable aleatoria con una distribución simple es una forma común de suavizar. Aquí, aprovechamos el hecho de que los polinomios de Bernstein se parecen a las esperanzas binomiales. Dividimos el intervalo en una red de n valores discretos. Luego, para evaluar cualquier f(x) , evaluamos f en uno de los n puntos de la red cercanos a x , elegidos aleatoriamente por la distribución binomial. La esperanza de esta técnica de aproximación es polinomial, ya que es la esperanza de una función de una RV binomial. La prueba que se muestra a continuación ilustra que esto logra una aproximación uniforme de f . El quid de la prueba es (1) justificar la sustitución de un punto arbitrario por un punto reticular elegido binomialmente mediante las propiedades de concentración de una distribución binomial, y (2) justificar la inferencia de a mediante la continuidad uniforme.

Prueba de Bernstein

Supongamos que K es una variable aleatoria distribuida como el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad x de éxito en cada ensayo; en otras palabras, K tiene una distribución binomial con parámetros nx . Entonces tenemos el valor esperado y

Por la ley débil de los grandes números de la teoría de la probabilidad ,

para cada δ  > 0. Además, esta relación se cumple uniformemente en x , lo que se puede ver a partir de su prueba mediante la desigualdad de Chebyshev , teniendo en cuenta que la varianza de 1n  K , igual a 1n x (1− x ), está acotada desde arriba por 1(4 n ) independientemente de x . 

Como ƒ , al ser continua en un intervalo cerrado y acotado, debe ser uniformemente continua en ese intervalo, se infiere una afirmación de la forma

uniformemente en x para cada . Teniendo en cuenta que ƒ está acotado (en el intervalo dado) se encuentra que

uniformemente en x . Para justificar esta afirmación, utilizamos un método común en la teoría de la probabilidad para convertir de proximidad en probabilidad a proximidad en expectativa. Uno divide la expectativa de en dos partes divididas en función de si o no . En el intervalo donde la diferencia no excede ε , la expectativa claramente no puede exceder ε . En el otro intervalo, la diferencia todavía no puede exceder 2 M , donde M es un límite superior para | ƒ (x)| (ya que las funciones uniformemente continuas están acotadas). Sin embargo, por nuestra afirmación de 'proximidad en probabilidad', este intervalo no puede tener una probabilidad mayor que ε . Por lo tanto, esta parte de la expectativa no contribuye más de 2 M veces ε . Entonces la expectativa total no es más que , que puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo ε pequeña .

Finalmente, se observa que el valor absoluto de la diferencia entre las expectativas nunca excede la expectativa del valor absoluto de la diferencia, una consecuencia de la desigualdad de Holder. Así, utilizando la expectativa anterior, vemos que (uniformemente en x )

Si tenemos en cuenta que nuestra aleatoriedad se aplicaba a K mientras x es constante, la expectativa de f(x) es igual a f(x) . Pero luego hemos demostrado que converge a f(x) . Entonces habremos terminado si es un polinomio en x (el subíndice nos recuerda que x controla la distribución de K ). De hecho, es:

Tasas de convergencia uniformes entre funciones

En la prueba anterior, recuerde que la convergencia en cada límite que involucra a f depende de la continuidad uniforme de f , lo que implica una tasa de convergencia que depende del módulo de continuidad de f . También depende de 'M', el límite absoluto de la función, aunque esto se puede pasar por alto si se limita y el tamaño del intervalo. Por lo tanto, la aproximación solo se cumple uniformemente a través de x para un f fijo , pero uno puede extender fácilmente la prueba para aproximar uniformemente un conjunto de funciones con un conjunto de polinomios de Bernstein en el contexto de la equicontinuidad .

Prueba elemental

La prueba probabilística también puede reformularse de manera elemental, utilizando las ideas probabilísticas subyacentes pero procediendo por verificación directa: [10] [6] [11] [12] [13]

Se pueden verificar las siguientes identidades:

  1. ("probabilidad")
  2. ("significar")
  3. ("diferencia")

De hecho, por el teorema del binomio

y esta ecuación se puede aplicar dos veces a . Las identidades (1), (2) y (3) se deducen fácilmente utilizando la sustitución .

Dentro de estas tres identidades, utilice la notación polinomial base anterior.

y dejar

Así, por identidad (1)

de modo que

Como f es uniformemente continua, dado , existe una tal que siempre que . Además, por continuidad, . Pero entonces

La primera suma es menor que ε. Por otra parte, por la identidad (3) anterior, y puesto que , la segunda suma está acotada por veces

( Desigualdad de Chebyshev )

De ello se deduce que los polinomios f n tienden a f uniformemente.

Generalizaciones a dimensiones superiores

Los polinomios de Bernstein se pueden generalizar a k dimensiones: los polinomios resultantes tienen la forma B i 1 ( x 1 ) B i 2 ( x 2 ) ... B i k ( x k ) . [1] En el caso más simple, solo se consideran los productos del intervalo unitario [0,1] ; pero, utilizando transformaciones afines de la línea, los polinomios de Bernstein también se pueden definir para productos [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × ... × [ a k , b k ] . Para una función continua f en el producto k -fold del intervalo unitario, la prueba de que f ( x 1 , x 2 , ... , x k ) se puede aproximar uniformemente mediante

es una extensión directa de la prueba de Bernstein en una dimensión. [14]

Véase también

Notas

  1. ^abc Lorentz 1953
  2. ^ Mathar, RJ (2018). "Función de base ortogonal sobre el círculo unitario con la propiedad minimax". Apéndice B. arXiv : 1802.09518 [math.NA].
  3. ^ Rababah, Abedallah (2003). "Transformación de la base polinómica de Chebyshev-Bernstein". Comp. Meth. Appl. Math . 3 (4): 608–622. doi : 10.2478/cmam-2003-0038 . S2CID  : 120938358.
  4. ^ Natanson (1964) pág. 6
  5. ^ de Feller 1966
  6. ^ por Beals 2004
  7. ^ Natanson (1964) pág. 3
  8. ^ Berstein 1912
  9. ^ Koralov, L.; Sinaí, Y. (2007). ""Demostración probabilística del teorema de Weierstrass"". Teoría de la probabilidad y de los procesos aleatorios (2ª ed.). Springer. p. 29.
  10. ^ Lorentz 1953, págs. 5-6
  11. ^ Goldberg 1964
  12. ^ Akhiezer 1956
  13. ^ Burkill 1959
  14. ^ Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "Sobre operaciones funcionales lineales y el problema del momento para un intervalo finito en una o varias dimensiones", Annals of Mathematics , 34 (2): 327, doi :10.2307/1968205, JSTOR  1968205

Referencias

Enlaces externos