transformada binomial

Transformación de una secuencia matemática.

En combinatoria , la transformada binomial es una transformación de secuencia (es decir, una transformación de una secuencia ) que calcula sus diferencias directas . Está estrechamente relacionada con la transformada de Euler , que es el resultado de aplicar la transformada binomial a la secuencia asociada a su función generadora ordinaria .

Definición

La transformada binomial , T , de una secuencia, { a _n }, es la secuencia { s _n } definida por

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.}$

Formalmente, se puede escribir

${\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{n}T_{nk}a_{k}}$

para la transformación, donde T es un operador de dimensión infinita con elementos matriciales T _nk . La transformada es una involución , es decir,

${\displaystyle TT=1}$

o, usando notación de índice,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? La serie original se puede recuperar mediante ${\displaystyle \delta _{nm}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.}$

La transformada binomial de una secuencia es solo la enésima diferencia directa de la secuencia, y las diferencias impares llevan un signo negativo, a saber:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=a_{0}\\s_{1}&=-(\Delta a)_{0}=-a_{1}+a_{0}\\s_{2}&=(\Delta ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=(-1)^{n}(\Delta ^{n}a)_{0}\end{aligned}}}$

donde Δ es el operador de diferencia directa .

Algunos autores definen la transformada binomial con un signo extra, para que no sea autoinversa:

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}}$

cuyo inverso es

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}.}$

En este caso, la primera transformación se llama transformación binomial inversa y la última es simplemente transformación binomial . Este es un uso estándar, por ejemplo, en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras .

Ejemplo

Ambas versiones de la transformada binomial aparecen en tablas de diferencias. Considere la siguiente tabla de diferencias:

Cada línea es la diferencia de la línea anterior. (El n -ésimo número en la m -ésima línea es a _{m , n} = 3 ^{n −2} (2 ^{m +1} n ² + 2 ^m (1+6 m ) n + 2 ^{m -1} 9 m ² ), y la ecuación en diferencias a _{m +1, n} = a _{m , n +1} - a _{m , n} se cumple.)

La línea superior leída de izquierda a derecha es { a _n } = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... La diagonal con el mismo punto inicial 0 es { t _n } = 0, 1, 8, 36 , 128, 400, ... { t _n } es la transformada binomial no involutiva de { a _n }.

La línea superior leída de derecha a izquierda es { b _n } = 1485, 324, 63, 10, 1, 0, ... La diagonal cruzada con el mismo punto inicial 1485 es { s _n } = 1485, 1161, 900 , 692, 528, 400, ... { s _n } es la transformada binomial involutiva de { b _n }.

Función generadora ordinaria

La transformada conecta las funciones generadoras asociadas con la serie. Para la función generadora ordinaria , sea

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

y

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}$

entonces

${\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {-x}{1-x}}\right).}$

transformada de Euler

La relación entre las funciones generadoras ordinarias a veces se denomina transformada de Euler . Por lo general, aparece de dos maneras diferentes. En una forma, se utiliza para acelerar la convergencia de una serie alterna . Es decir, uno tiene la identidad

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$

que se obtiene sustituyendo x = 1/2 en la última fórmula anterior. Los términos del lado derecho normalmente se vuelven mucho más pequeños y mucho más rápidamente, lo que permite una rápida suma numérica.

La transformada de Euler se puede generalizar (Borisov B. y Shkodrov V., 2007):

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+p+1}}},}$

donde p = 0, 1, 2,…

La transformada de Euler también se aplica frecuentemente a la integral hipergeométrica de Euler . Aquí la transformada de Euler toma la forma: ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).}$

[Ver ^[1] para generalizaciones a otras series hipergeométricas.]

La transformada binomial, y su variación como transformada de Euler, se destaca por su conexión con la representación de fracción continua de un número. Tengamos la representación de fracción continua. ${\displaystyle 0<x<1}$

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$

entonces

${\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}$

y

${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].}$

Función generadora exponencial

Para la función generadora exponencial , sea

${\displaystyle {\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

y

${\displaystyle {\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

entonces

${\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).}$

La transformada de Borel convertirá la función generadora ordinaria en la función generadora exponencial.

Representación integral

Cuando la secuencia puede interpolarse mediante una función analítica compleja , entonces la transformada binomial de la secuencia se puede representar mediante una integral de Nörlund-Rice en la función de interpolación.

Generalizaciones

Prodinger ofrece una transformación similar a la modular : dejar

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}$

da

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)}$

donde U y B son las funciones generadoras ordinarias asociadas con la serie y , respectivamente. ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

La transformada k -binomial ascendente a veces se define como

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{k}a_{j}.}$

La transformada k -binomial descendente es

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{n-k}a_{j}}$.

Ambos son homomorfismos del núcleo de la transformada de Hankel de una serie .

En el caso en que la transformada binomial se define como

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}.}$

Sea esto igual a la función ${\displaystyle {\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}.}$

Si se crea una nueva tabla de diferencias directas y los primeros elementos de cada fila de esta tabla se toman para formar una nueva secuencia , entonces la segunda transformación binomial de la secuencia original es, ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}.}$

Si el mismo proceso se repite k veces, entonces se deduce que,

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}.}$

Su inverso es,

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}.}$

Esto se puede generalizar como,

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}}$

¿ Dónde está el operador de turno ? ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Su inverso es

${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}.}$

Ver también

• Serie de Newton
• matriz de hankel
• Transformada de Moebius
• transformación de Stirling
• suma de euler
• QMF binomial
• Integral de Riemann-Liouville
• Lista de temas factoriales y binomiales

Referencias

1. Molinero, Allen R.; París, RB (2010). "Transformaciones de tipo Euler para la función hipergeométrica generalizada". Z. Angew. Matemáticas. Física . 62 (1): 31–45. doi :10.1007/s00033-010-0085-0. S2CID  30484300.

• John H. Conway y Richard K. Guy, 1996, El libro de los números
• Donald E. Knuth, El arte de la programación informática, vol. 3 , (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Alguna información sobre la transformada binomial Archivado el 12 de marzo de 2007 en Wayback Machine.
• Spivey, Michael Z.; Steil, Laura L. (2006). "Las transformadas k-binomiales y la transformada de Hankel". Diario de secuencias enteras . 9 : 06.1.1. Código Bib : 2006JIntS...9...11S.
• Borísov, B.; Shkodrov, V. (2007). "Serie divergente en la transformada binomial generalizada". Adv. Semental. Cont. Matemáticas . 14 (1): 77–82.
• Khristo N. Boyadzhiev, Notas sobre la transformada binomial , teoría y tabla, con apéndice sobre la transformada de Stirling (2018), World Scientific.

enlaces externos

• Transformada binomial
• Transformaciones de secuencias enteras