Matriz de Hankel

Una matriz cuadrada en la que cada diagonal ascendente de izquierda a derecha es constante

En álgebra lineal , una matriz de Hankel (o matriz catalectante ), llamada así por Hermann Hankel , es una matriz cuadrada en la que cada diagonal oblicua ascendente de izquierda a derecha es constante. Por ejemplo,

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

De manera más general, una matriz de Hankel es cualquier matriz de la forma ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

En términos de los componentes, si el elemento de se denota con , y suponiendo , entonces tenemos para todos ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$ ${\displaystyle k=0,...,j-i.}$

Propiedades

• Cualquier matriz de Hankel es simétrica .
• Sea la matriz de intercambio . Si es una matriz de Hankel, entonces donde es una matriz de Toeplitz . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m\times n}$
  • Si es realmente simétrico, entonces tendrá los mismos valores propios hasta el signo. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$
• La matriz de Hilbert es un ejemplo de una matriz de Hankel.
• El determinante de una matriz de Hankel se llama catalecticante .

Operador de Hankel

Dada una serie formal de Laurent el operador de Hankel correspondiente se define como ^[2] Este toma un polinomio y lo envía al producto , pero descarta todas las potencias de con un exponente no negativo, de modo de dar un elemento en , la serie de potencias formales con exponentes estrictamente negativos. La función es de manera natural -lineal, y su matriz con respecto a los elementos y es la matriz de Hankel Cualquier matriz de Hankel surge de esta manera. Un teorema debido a Kronecker dice que el rango de esta matriz es finito precisamente si es una función racional , es decir, una fracción de dos polinomios $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ ${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

Aproximaciones

A menudo nos interesan las aproximaciones de los operadores de Hankel, posiblemente mediante operadores de orden inferior. Para aproximar la salida del operador, podemos utilizar la norma espectral (norma 2 del operador) para medir el error de nuestra aproximación. Esto sugiere la descomposición en valores singulares como una posible técnica para aproximar la acción del operador.

Tenga en cuenta que la matriz no tiene por qué ser finita. Si es infinita, los métodos tradicionales de cálculo de vectores singulares individuales no funcionarán directamente. También requerimos que la aproximación sea una matriz de Hankel, lo que se puede demostrar con la teoría AAK. ${\displaystyle A}$

Transformación matricial de Hankel

La transformada matricial de Hankel , o simplemente transformada de Hankel , de una sucesión es la secuencia de los determinantes de las matrices de Hankel formadas a partir de . Dado un entero , defina la matriz de Hankel dimensional correspondiente como que tiene los elementos de la matriz Entonces la secuencia dada por es la transformada de Hankel de la secuencia La transformada de Hankel es invariante bajo la transformada binomial de una secuencia. Es decir, si uno escribe como la transformada binomial de la secuencia , entonces tiene ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle (n\times n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$ ${\displaystyle h_{n}}$ $${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$ ${\displaystyle b_{k}.}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

Aplicaciones de las matrices de Hankel

Las matrices de Hankel se forman cuando, dada una secuencia de datos de salida, se desea una realización de un modelo de espacio de estados subyacente o de Markov oculto . ^[3] La descomposición en valores singulares de la matriz de Hankel proporciona un medio para calcular las matrices A , B y C que definen la realización del espacio de estados. ^[4] La matriz de Hankel formada a partir de la señal se ha encontrado útil para la descomposición de señales no estacionarias y la representación de tiempo-frecuencia.

Método de momentos para distribuciones polinómicas

El método de momentos aplicado a distribuciones polinomiales da como resultado una matriz de Hankel que debe invertirse para obtener los parámetros de peso de la aproximación de la distribución polinomial. ^[5]

Matrices de Hankel positivas y problemas del momento de hamburguesa

Véase también

• Matriz de Cauchy
• Operador de Jacobi
• Matriz de Toeplitz , una matriz de Hankel "al revés" (es decir, con las filas invertidas)
• Matriz de Vandermonde

Notas

1. Yasuda, M. (2003). "Una caracterización espectral de matrices K centrosimétricas hermíticas y hermíticas con centrosimetría torcida". SIAM J. Matrix Anal. Appl . 25 (3): 601–605. doi :10.1137/S0895479802418835.
2. Fuhrmann 2012, §8.3
3. Aoki, Masanao (1983). "Predicción de series temporales". Notas sobre análisis de series temporales económicas: perspectivas de teoría de sistemas . Nueva York: Springer. pp. 38–47. ISBN 0-387-12696-1.
4. Aoki, Masanao (1983). "Determinación de rangos de matrices de Hankel". Notas sobre análisis de series temporales económicas: perspectivas de teoría de sistemas . Nueva York: Springer. pp. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.
5. J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Estimación de la distribución de probabilidad polinómica utilizando el método de momentos". PLoS ONE 12(4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

Referencias

• Brent RP (1999), "Estabilidad de algoritmos rápidos para sistemas lineales estructurados", Algoritmos rápidos y confiables para matrices con estructura (editores—T. Kailath, AH Sayed), cap.4 ( SIAM ).
• Fuhrmann, Paul A. (2012). Un enfoque polinomial para el álgebra lineal . Universitext (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. doi :10.1007/978-1-4614-0338-8. ISBN 978-1-4614-0337-1.Zbl 1239.15001  .

• Victor Y. Pan (2001). Matrices estructuradas y polinomios: algoritmos unificados superrápidos . Birkhäuser . ISBN 0817642404.
• JR Partington (1988). Introducción a los operadores de Hankel . Textos para estudiantes de LMS. Vol. 13. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-36791-3.