Operador de Jacobi

Un operador de Jacobi , también conocido como matriz de Jacobi , es un operador lineal simétrico que actúa sobre secuencias dadas por una matriz tridiagonal infinita . Se utiliza comúnmente para especificar sistemas de polinomios ortonormales sobre una medida de Borel positiva y finita . Este operador recibe su nombre de Carl Gustav Jacob Jacobi .

El nombre deriva de un teorema de Jacobi, que data de 1848, que establece que toda matriz simétrica sobre un dominio ideal principal es congruente con una matriz tridiagonal.

Operadores de Jacobi autoadjuntos

El caso más importante es el de los operadores de Jacobi autoadjuntos que actúan sobre el espacio de Hilbert de sucesiones cuadradas sumables sobre los enteros positivos . En este caso viene dado por ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle Jf_{0}=a_{0}f_{1}+b_{0}f_{0},\quad Jf_{n}=a_{n}f_{n+1}+b_{n}f_{n}+a_{n-1}f_{n-1},\quad n>0,}$

donde se supone que los coeficientes satisfacen

${\displaystyle a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .}$

El operador estará acotado si y sólo si los coeficientes están acotados.

Existen estrechas conexiones con la teoría de polinomios ortogonales . De hecho, la solución de la relación de recurrencia ${\displaystyle p_{n}(x)}$

${\displaystyle J\,p_{n}(x)=x\,p_{n}(x),\qquad p_{0}(x)=1{\text{ and }}p_{-1}(x)=0,}$

es un polinomio de grado n y estos polinomios son ortonormales con respecto a la medida espectral correspondiente al primer vector base . ${\displaystyle \delta _{1,n}}$

Esta relación de recurrencia también se escribe comúnmente como

${\displaystyle xp_{n}(x)=a_{n+1}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n}p_{n-1}(x)}$

Aplicaciones

Surge en muchas áreas de las matemáticas y la física. El caso a ( n )=1 se conoce como operador de Schrödinger discreto unidimensional . También surge en:

• El par Lax de la red de Toda .
• Relación de recurrencia de tres términos de polinomios ortogonales , ortogonales sobre una medida de Borel positiva y finita .
• Algoritmos ideados para calcular reglas de cuadratura gaussiana , derivadas de sistemas de polinomios ortogonales. ^[1]

Generalizaciones

Cuando se considera el espacio de Bergman , es decir, el espacio de funciones holomorfas integrables al cuadrado sobre algún dominio, entonces, en circunstancias generales, se puede dar a ese espacio una base de polinomios ortogonales, los polinomios de Bergman. En este caso, el análogo del operador de Jacobi tridiagonal es un operador de Hessenberg, una matriz de Hessenberg de dimensión infinita . El sistema de polinomios ortogonales está dado por

${\displaystyle zp_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n+1}D_{kn}p_{k}(z)}$

y . Aquí, D es el operador de Hessenberg que generaliza el operador de Jacobi tridiagonal J para esta situación. ^{[2] [3] [4]} Nótese que D es el operador de desplazamiento a la derecha en el espacio de Bergman: es decir, está dado por ${\displaystyle p_{0}(z)=1}$

${\displaystyle [Df](z)=zf(z)}$

Los ceros del polinomio de Bergman corresponden a los valores propios de la submatriz principal de D . Es decir, Los polinomios de Bergman son los polinomios característicos de las submatrices principales del operador de desplazamiento. ${\displaystyle p_{n}(z)}$ ${\displaystyle n\times n}$

Véase también

• Matriz de Hankel

Referencias

1. Meurant, Gérard; Sommariva, Alvise (2014). "Variantes rápidas del algoritmo de Golub y Welsch para funciones de peso simétricas en Matlab" (PDF) . Algoritmos numéricos . 67 (3): 491–506. doi :10.1007/s11075-013-9804-x. S2CID  7385259.
2. Tomeo, V.; Torrano, E. (2011). "Dos aplicaciones de la subnormalidad de la matriz de Hessenberg relacionadas con polinomios ortogonales generales" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 435 (9): 2314–2320. doi : 10.1016/j.laa.2011.04.027 .
3. Saff, Edward B.; Stylianopoulos, Nikos (2014). "Asintótica para matrices de Hessenberg para el operador de desplazamiento de Bergman en regiones de Jordan". Análisis complejo y teoría de operadores . 8 (1): 1–24. arXiv : 1205.4183 . doi :10.1007/s11785-012-0252-8. MR  3147709.
4. Escribano, Carmen; Giraldo, Antonio; Sastre, M. Asunción; Torrano, Emilio (2013). "La matriz de Hessenberg y la función cartográfica de Riemann". Avances en Matemática Computacional . 39 (3–4): 525–545. arXiv : 1107.6036 . doi :10.1007/s10444-012-9291-y. SEÑOR  3116040.

• Teschl, Gerald (2000), Operadores de Jacobi y redes no lineales completamente integrables, Providence: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-1940-2

Enlaces externos

• "Matriz de Jacobi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]