En geometría , la estelación es el proceso de prolongar un polígono en dos dimensiones , un poliedro en tres dimensiones o, en general, un politopo en n dimensiones para formar una nueva figura. Partiendo de una figura original, el proceso extiende elementos específicos como sus aristas o planos de caras, normalmente de forma simétrica, hasta que vuelven a encontrarse para formar el límite cerrado de una nueva figura. La nueva figura es una estelación de la original. La palabra estelación proviene del latín stellātus , «estrellado», que a su vez proviene del latín stella , «estrella». La estelación es el proceso recíproco o dual al facetado .
En 1619 Kepler definió la estelación de polígonos y poliedros como el proceso de extender aristas o caras hasta que se encuentran para formar un nuevo polígono o poliedro.
Esteló el dodecaedro regular para obtener dos poliedros estrellados regulares, el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado . También esteló el octaedro regular para obtener la stella octangula , un compuesto regular de dos tetraedros.
Al estrellar simétricamente un polígono regular se crea un polígono regular en estrella o compuesto poligonal . Estos polígonos se caracterizan por el número de veces m que el borde poligonal gira alrededor del centro de la figura. Como todos los polígonos regulares, sus vértices se encuentran en un círculo. m también corresponde al número de vértices alrededor del círculo para llegar desde un extremo de un borde dado al otro, comenzando en 1.
Un polígono regular en estrella se representa mediante su símbolo de Schläfli { n / m }, donde n es el número de vértices, m es el paso utilizado para secuenciar las aristas que lo rodean y m y n son coprimos (no tienen ningún factor común ). El caso m = 1 da como resultado el polígono convexo { n }. m también debe ser menor que la mitad de n ; de lo contrario, las líneas serán paralelas o divergirán, lo que evitará que la figura se cierre.
Si n y m tienen un factor común, entonces la figura es un compuesto regular. Por ejemplo, {6/2} es el compuesto regular de dos triángulos {3} o hexagrama , mientras que {10/4} es un compuesto de dos pentagramas {5/2}.
Algunos autores utilizan el símbolo de Schläfli para estos compuestos regulares. Otros consideran que el símbolo indica un único camino que da m vueltas alrededor de norte/metro puntos de vértice, de modo que una arista se superpone a otra y cada punto de vértice se visita m veces. En este caso se puede utilizar un símbolo modificado para el compuesto, por ejemplo 2{3} para el hexagrama y 2{5/2} para el compuesto regular de dos pentagramas.
Un n -gono regular tienen -4/2 estelaciones si n es par (asumiendo que no se consideran compuestos de múltiples digones degenerados), yn -3/2 estelaciones si n es impar .
Al igual que el heptágono , el octógono también tiene dos estelaciones octagrámicas , una, {8/3} siendo un polígono estrellado , y la otra, {8/2}, siendo el compuesto de dos cuadrados .
Un poliedro se estela extendiendo los bordes o los planos de las caras de un poliedro hasta que se vuelven a encontrar para formar un nuevo poliedro o compuesto. El interior del nuevo poliedro se divide por las caras en una serie de celdas. Los planos de las caras de un poliedro pueden dividir el espacio en muchas de esas celdas y, a medida que continúa el proceso de estelación, se encierran más de esas celdas. En el caso de un poliedro simétrico, estas celdas se dividirán en grupos o conjuntos de celdas congruentes; decimos que las celdas de un conjunto congruente son del mismo tipo. Un método común para encontrar estelaciones implica seleccionar uno o más tipos de celdas.
Esto puede dar lugar a un gran número de formas posibles, por lo que a menudo se imponen criterios adicionales para reducir el conjunto a aquellas estelaciones que son significativas y únicas de algún modo.
Un conjunto de células que forman una capa cerrada alrededor de su núcleo se denomina caparazón. En el caso de un poliedro simétrico, un caparazón puede estar formado por uno o más tipos de células.
A partir de estas ideas se han identificado varias categorías restrictivas de interés.
También podemos identificar algunas otras categorías:
Los sólidos arquimedianos y sus duales también pueden ser estelados. Aquí solemos añadir la regla de que todos los planos de las caras originales deben estar presentes en la estelación, es decir, no consideramos estelaciones parciales. Por ejemplo, el cubo no suele considerarse una estelación del cuboctaedro .
Generalizando las reglas de Miller tenemos:
Diecisiete de los poliedros uniformes no convexos son estelaciones de sólidos arquimedianos.
En el libro Los cincuenta y nueve icosaedros , JCP Miller propuso un conjunto de reglas para definir qué formas de estelación deberían considerarse "apropiadamente significativas y distintas".
Estas reglas se han adaptado para su uso con estelaciones de muchos otros poliedros. En las reglas de Miller encontramos:
Muchas de las estelaciones de Miller no se pueden obtener directamente con el método de Kepler. Por ejemplo, muchas tienen centros huecos en los que faltan por completo las caras y aristas originales del poliedro central: no queda nada por estelar. Por otra parte, el método de Kepler también produce estelaciones que están prohibidas por las reglas de Miller, ya que sus celdas están conectadas por aristas o vértices, aunque sus caras sean polígonos únicos. Esta discrepancia no recibió verdadera atención hasta Inchbald (2002).
Las reglas de Miller no representan en modo alguno la forma "correcta" de enumerar estelaciones. Se basan en la combinación de partes dentro del diagrama de estelaciones de determinadas maneras y no tienen en cuenta la topología de las caras resultantes. Por ello, hay algunas estelaciones bastante razonables del icosaedro que no forman parte de su lista (una fue identificada por James Bridge en 1974), mientras que algunas "estelaciones de Miller" son cuestionables en cuanto a si deberían considerarse estelaciones en absoluto (una del conjunto icosaédrico comprende varias celdas bastante desconectadas que flotan simétricamente en el espacio).
Hasta el momento no se ha desarrollado completamente un conjunto alternativo de reglas que tenga esto en cuenta. La mayor parte del progreso se ha basado en la noción de que la estelación es el proceso recíproco o dual del facetado , mediante el cual se eliminan partes de un poliedro sin crear ningún vértice nuevo. Por cada estelación de algún poliedro, existe un facetado dual del poliedro dual , y viceversa. Al estudiar los facetados del dual, obtenemos información sobre las estelaciones del original. Bridge encontró su nueva estelación del icosaedro al estudiar los facetados de su dual, el dodecaedro.
Algunos poliedristas consideran que la estelación es un proceso bidireccional, de modo que dos poliedros cualesquiera que compartan los mismos planos de caras son estelaciones entre sí. Esto es comprensible si se está ideando un algoritmo general adecuado para su uso en un programa informático, pero no resulta especialmente útil en otros casos.
Se pueden encontrar muchos ejemplos de estelaciones en la lista de modelos de estelaciones de Wenninger .
El proceso de estelación también se puede aplicar a politopos de dimensiones superiores. Un diagrama de estelación de un politopo n existe en un hiperplano de dimensión ( n − 1) de una faceta dada .
Por ejemplo, en el espacio 4, la gran estelación de 120 celdas es la estelación final del politopo 4 regular de 120 celdas .
La primera denominación sistemática de los poliedros estrellados fue la que dio Cayley a los poliedros estrellados regulares (hoy conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot ). Este sistema fue ampliamente adoptado, aunque no siempre de manera sistemática, para otros poliedros y politopos superiores.
John Conway ideó una terminología para los polígonos estrellados , poliedros y policoros (Coxeter 1974). En este sistema, el proceso de extender las aristas para crear una nueva figura se denomina estelación , el de extender las caras se denomina agrandamiento y el de extender las celdas se denomina engrandecimiento (este último no se aplica a los poliedros). Esto permite un uso sistemático de palabras como "estrellado", "grande" y "magnífico" para idear nombres para las figuras resultantes. Por ejemplo, Conway propuso algunas variaciones menores a los nombres de los poliedros de Kepler-Poinsot .
Wenninger observó que algunos poliedros, como el cubo, no tienen estelaciones finitas. Sin embargo, las celdas de estelaciones pueden construirse como prismas que se extienden hasta el infinito. La figura que comprende estos prismas puede llamarse una estelación hasta el infinito . Sin embargo, según la mayoría de las definiciones de poliedro, estas estelaciones no son estrictamente poliedros.
Las figuras de Wenninger se presentaron como duales de los hemipoliedros uniformes , donde las caras que pasan por el centro son enviadas a vértices "en el infinito".
Además de sus contribuciones a las matemáticas, se describe a Magnus Wenninger, en el contexto de la relación entre las matemáticas y el arte , como creador de modelos "especialmente bellos" de poliedros estrellados complejos. [1]
El artista renacentista italiano Paolo Uccello creó un mosaico de suelo que muestra un pequeño dodecaedro estrellado en la Basílica de San Marcos, Venecia , hacia 1430. La representación de Uccello se utilizó como símbolo de la Bienal de Venecia de 1986 sobre el tema "Arte y ciencia". [2] La misma estelación es central en dos litografías de MC Escher : Contraste (Orden y Caos) , 1950, y Gravitación , 1952. [3]