En matemáticas , un politopo abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que captura la propiedad diádica de un politopo tradicional sin especificar propiedades puramente geométricas como puntos y líneas.
Se dice que un politopo geométrico es una realización de un politopo abstracto en algún espacio real N-dimensional , típicamente euclidiano . Esta definición abstracta permite estructuras combinatorias más generales que las definiciones tradicionales de politopo, permitiendo así nuevos objetos que no tienen contraparte en la teoría tradicional.
En la geometría euclidiana, dos formas que no son similares pueden, no obstante, compartir una estructura común. Por ejemplo, un cuadrado y un trapezoide comprenden una cadena alterna de cuatro vértices y cuatro lados, lo que los convierte en cuadriláteros . Se dice que son isomórficos o que "conservan la estructura".
Esta estructura común puede representarse en un politopo abstracto subyacente, un conjunto puramente algebraico parcialmente ordenado que captura el patrón de conexiones (o incidencias) entre los diversos elementos estructurales. Las propiedades mensurables de los politopos tradicionales, como ángulos, longitudes de aristas, asimetría, rectitud y convexidad, no tienen significado para un politopo abstracto.
Lo que es cierto para los politopos tradicionales (también llamados politopos clásicos o geométricos) puede no serlo para los abstractos, y viceversa. Por ejemplo, un politopo tradicional es regular si todas sus facetas y figuras de vértices son regulares, pero esto no es necesariamente así para un politopo abstracto. [1]
Se dice que un politopo tradicional es una realización del politopo abstracto asociado. Una realización es un mapeo o inyección del objeto abstracto en un espacio real, típicamente euclidiano , para construir un politopo tradicional como una figura geométrica real.
Los seis cuadriláteros que se muestran son realizaciones distintas del cuadrilátero abstracto, cada uno con diferentes propiedades geométricas. Algunos de ellos no se ajustan a las definiciones tradicionales de cuadrilátero y se dice que son realizaciones infieles . Un politopo convencional es una realización fiel.
En un politopo abstracto, cada elemento estructural (vértice, arista, celda, etc.) está asociado con un miembro correspondiente del conjunto. El término cara se utiliza para referirse a cualquier elemento de este tipo, por ejemplo, un vértice (cara 0), un borde (cara 1) o una cara k general , y no sólo una cara 2 poligonal.
Las caras se clasifican según su dimensión real asociada: los vértices tienen rango 0, las aristas rango 1 y así sucesivamente.
Las caras incidentes de diferentes rangos, por ejemplo, un vértice F de una arista G, están ordenadas por la relación F < G. Se dice que F es una subcara de G.
Se dice que F, G son incidentes si F = G o F < G o G < F. Este uso de "incidencia" también ocurre en geometría finita , aunque difiere de la geometría tradicional y algunas otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en el cuadrado ABCD , las aristas AB y BC no son incidentes en abstracto (aunque ambas son incidentes con el vértice B). [ cita necesaria ]
Un politopo se define entonces como un conjunto de caras P con una relación de orden < . Formalmente, P (con < ) será un conjunto (estricto) parcialmente ordenado , o poset .
Así como el número cero es necesario en matemáticas, también todo conjunto tiene el conjunto vacío ∅ como subconjunto. En un politopo abstracto, ∅ se identifica por convención como la cara mínima o nula y es una subcara de todas las demás. [ ¿ por qué? ] Dado que la cara mínima está un nivel por debajo de los vértices o 0 caras, su rango es −1 y puede denotarse como F −1 . Así F −1 ≡ ∅ y el politopo abstracto también contiene el conjunto vacío como elemento. [2] Generalmente no se realiza.
También hay una única cara de la que todas las demás son subcaras. A esto se le llama la cara más grande . En un politopo de n dimensiones, la cara más grande tiene rango = n y puede denotarse como F n . A veces se representa como el interior de una figura geométrica.
Estas caras menores y mayores a veces se denominan caras impropias , siendo todas las demás caras adecuadas . [3]
Las caras del cuadrilátero o cuadrado abstracto se muestran en la siguiente tabla:
La relación < comprende un conjunto de pares, que aquí incluyen
Las relaciones de orden son transitivas , es decir, F < G y G < H implica que F < H. Por lo tanto, para especificar la jerarquía de caras, no es necesario dar todos los casos de F < H, sólo los pares donde uno es el sucesor de el otro, es decir, donde F < H y ningún G satisface F < G < H.
Los bordes W, X, Y y Z a veces se escriben como ab , ad , bc y cd respectivamente, pero dicha notación no siempre es apropiada.
Las cuatro aristas son estructuralmente similares y lo mismo ocurre con los vértices. Por lo tanto, la figura tiene las simetrías de un cuadrado y generalmente se la denomina cuadrado.
Los posets más pequeños, y los politopos en particular, suelen visualizarse mejor en un diagrama de Hasse , como se muestra. Por convención, las caras de igual rango se colocan en el mismo nivel vertical. Cada "línea" entre caras, digamos F, G, indica una relación de orden < tal que F < G donde F está debajo de G en el diagrama.
El diagrama de Hasse define el poset único y, por tanto, captura completamente la estructura del politopo. Los politopos isomórficos dan lugar a diagramas de Hasse isomórficos y viceversa. En general, no ocurre lo mismo con la representación gráfica de politopos.
El rango de una cara F se define como ( m − 2), donde m es el número máximo de caras en cualquier cadena (F', F", ... , F) que satisface F' < F" < ... < F. F' es siempre la cara menor, F −1 .
El rango de un politopo abstracto P es el rango máximo n de cualquier cara. Siempre es el rango de la cara más grande F n .
El rango de una cara o politopo suele corresponder a la dimensión de su homólogo en la teoría tradicional.
Para algunos rangos, sus tipos de rostro se nombran en la siguiente tabla.
† Tradicionalmente, "cara" significa una cara de rango 2 o 2 caras. En teoría abstracta, el término "rostro" denota un rostro de cualquier rango.
En geometría, una bandera es una cadena máxima de caras, es decir, un conjunto (totalmente) ordenado Ψ de caras, cada una de las cuales es una subcara de la siguiente (si la hay), y tal que Ψ no es un subconjunto de ninguna cadena más grande. Dadas dos caras distintas F, G en una bandera, F < G o F > G.
Por ejemplo, { ø , a , ab , abc } es una bandera en el triángulo abc .
Para un politopo determinado, todas las banderas contienen el mismo número de caras. Otros posets, en general, no satisfacen este requisito.
Cualquier subconjunto P' de un poset P es un poset (con la misma relación <, restringido a P').
En un politopo abstracto, dadas dos caras cualesquiera F , H de P con F ≤ H , el conjunto { G | F ≤ G ≤ H } se llama sección de P y se denota H / F . (En teoría del orden, una sección se llama intervalo cerrado del poset y se denota [ F , H ].
Por ejemplo, en el prisma abcxyz (ver diagrama) la sección xyz / ø (resaltada en verde) es el triángulo
Una sección k es una sección de rango k .
Por tanto, P es una sección de sí mismo.
Este concepto de sección no tiene el mismo significado que en la geometría tradicional.
La faceta para una j -cara F dada es la sección ( j − 1 ) F /∅, donde F j es la cara más grande.
Por ejemplo, en el triángulo abc , la faceta en ab es ab / ∅ = { ∅, a, b, ab }, que es un segmento de recta.
La distinción entre F y F /∅ no suele ser significativa y, a menudo, los dos se tratan como idénticos.
La figura del vértice en un vértice V dado es la sección ( n −1) F n / V , donde F n es la cara más grande.
Por ejemplo, en el triángulo abc , la figura del vértice en b es abc / b = { b, ab, bc, abc }, que es un segmento de recta. Las figuras de los vértices de un cubo son triángulos.
Un poset P es conexo si P tiene rango ≤ 1, o, dadas dos caras propias F y G, existe una secuencia de caras propias
tal que F = H 1 , G = H k , y cada H i , i < k, incide con su sucesor.
La condición anterior garantiza que un par de triángulos disjuntos abc y xyz no sean un (único) politopo.
Un poset P es fuertemente conexo si cada sección de P (incluido el propio P) está conexa.
Con este requisito adicional, también se excluyen dos pirámides que comparten sólo un vértice. Sin embargo, dos pirámides cuadradas, por ejemplo, pueden "pegarse" por sus caras cuadradas, formando un octaedro. La "cara común" no es entonces una cara del octaedro.
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado , cuyos elementos llamamos caras , que satisfacen los 4 axiomas: [ cita necesaria ]
Un n -politopo es un politopo de rango n . El politopo abstracto asociado con un politopo convexo real también se denomina red de caras . [4]
Sólo hay un poset para cada rango −1 y 0. Estos son, respectivamente, la cara nula y el punto. Estos no siempre se consideran politopos abstractos válidos.
Sólo hay un politopo de rango 1, que es el segmento de recta. Tiene una cara mínima, solo dos caras 0 y una cara mayor, por ejemplo {ø, a, b, ab }. Se deduce que los vértices a y b tienen rango 0, y que la cara mayor ab , y por tanto el poset, tienen rango 1.
Para cada p , 3 ≤ p < , tenemos (el equivalente abstracto de) el polígono tradicional con p vértices y p aristas, o un p -gon. Para p = 3, 4, 5,... tenemos el triángulo, cuadrado, pentágono,....
Para p = 2, tenemos el digon y p = obtenemos el apeirogon .
Un digon es un polígono con solo 2 aristas. A diferencia de cualquier otro polígono, ambas aristas tienen los mismos dos vértices. Por ello, es degenerado en el plano euclidiano .
Las caras a veces se describen usando "notación de vértices", por ejemplo, { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } para el triángulo abc . Este método tiene la ventaja de implicar la relación < .
Con el digon no se puede utilizar esta notación de vértice . Es necesario asignar símbolos individuales a las caras y especificar los pares de subcaras F < G.
Así, un digon se define como un conjunto { ø , a , b , E', E", G} con la relación < dada por
donde E' y E" son las dos aristas y G la cara mayor.
Esta necesidad de identificar cada elemento del politopo con un símbolo único se aplica a muchos otros politopos abstractos y, por tanto, es una práctica común.
Un politopo sólo puede describirse completamente usando notación de vértices si cada cara incide con un conjunto único de vértices . Un politopo que tiene esta propiedad se dice que es atomístico .
El conjunto de j -caras (−1 ≤ j ≤ n ) de un n -politopo tradicional forma un n -politopo abstracto .
El concepto de politopo abstracto es más general y también incluye:
El digon está generalizado por el hosoedro y los hosótopos de dimensiones superiores, que pueden realizarse como poliedros esféricos : teselan la esfera.
Cuatro ejemplos de poliedros abstractos no tradicionales son el hemicube (mostrado), el hemioctaedro , el hemidodecaedro y el hemiicosaedro . Estas son las contrapartes proyectivas de los sólidos platónicos y pueden realizarse como poliedros (globalmente) proyectivos : teselan el plano proyectivo real .
El hemicube es otro ejemplo en el que la notación de vértices no se puede utilizar para definir un politopo: todas las 2 caras y las 3 caras tienen el mismo conjunto de vértices.
Todo politopo geométrico tiene un gemelo dual . De manera abstracta, el dual es el mismo politopo pero con la clasificación invertida: el diagrama de Hasse difiere sólo en sus anotaciones. En un n -politopo, cada una de las k -caras originales se asigna a una ( n − k − 1)-cara en el dual. Así, por ejemplo, la n -cara se asigna a la (−1)-cara. El dual de un dual es ( isomorfo al) original.
Un politopo es autodual si es igual a su dual, es decir, isomorfo. Por lo tanto, el diagrama de Hasse de un politopo autodual debe ser simétrico con respecto al eje horizontal a medio camino entre la parte superior y la inferior. La pirámide cuadrada del ejemplo anterior es autodual.
La figura del vértice en un vértice V es el dual de la faceta a la que V se asigna en el politopo dual.
Formalmente, un politopo abstracto se define como "regular" si su grupo de automorfismo actúa transitivamente sobre el conjunto de sus banderas. En particular, dos k -caras cualesquiera F , G de un n -politopo son "iguales", es decir, que existe un automorfismo que asigna F a G . Cuando un politopo abstracto es regular, su grupo de automorfismo es isomorfo a un cociente de un grupo de Coxeter .
Todos los politopos de rango ≤ 2 son regulares. Los poliedros regulares más famosos son los cinco sólidos platónicos. El hemicubo (mostrado) también es regular.
Informalmente, para cada rango k , esto significa que no hay manera de distinguir cualquier k -cara de cualquier otra: las caras deben ser idénticas y deben tener vecinas idénticas, y así sucesivamente. Por ejemplo, un cubo es regular porque todas las caras son cuadrados, los vértices de cada cuadrado están unidos a tres cuadrados, y cada uno de estos cuadrados está unido a disposiciones idénticas de otras caras, aristas y vértices, y así sucesivamente.
Esta condición por sí sola es suficiente para garantizar que cualquier politopo abstracto regular tenga caras regulares isomórficas ( n −1 ) y figuras de vértices regulares isomórficas.
Esta es una condición más débil que la regularidad para los politopos tradicionales, ya que se refiere al grupo de automorfismo (combinatorio), no al grupo de simetría (geométrica). Por ejemplo, cualquier polígono abstracto es regular, ya que los ángulos, las longitudes de los bordes, la curvatura de los bordes, la asimetría, etc. no existen para los politopos abstractos.
Hay varios otros conceptos más débiles, algunos aún no completamente estandarizados, como semirregular , cuasi-regular , uniforme , quiral y de Arquímedes , que se aplican a politopos que tienen algunas, pero no todas, sus caras equivalentes en cada rango.
Un conjunto de puntos V en un espacio euclidiano equipado con una sobreyección del conjunto de vértices de un politopo abstracto P tal que los automorfismos de P inducen permutaciones isométricas de V se denomina realización de un politopo abstracto. [5] [6] Dos realizaciones se llaman congruentes si la biyección natural entre sus conjuntos de vértices es inducida por una isometría de sus espacios euclidianos ambientales. [7] [8]
Si se realiza un n -politopo abstracto en un espacio n -dimensional, de modo que la disposición geométrica no rompa ninguna regla para los politopos tradicionales (como caras curvas o crestas de tamaño cero), entonces se dice que la realización es fiel . En general, sólo un conjunto restringido de politopos abstractos de rango n puede realizarse fielmente en cualquier n -espacio. La caracterización de este efecto es un problema pendiente.
Para un politopo abstracto regular, si los automorfismos combinatorios del politopo abstracto se realizan mediante simetrías geométricas, entonces la figura geométrica será un politopo regular.
El grupo G de simetrías de una realización V de un politopo abstracto P se genera por dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. [9] [10] El producto de las dos reflexiones se puede descomponer como un producto de una traslación distinta de cero, un número finito de rotaciones y posiblemente una reflexión trivial. [11] [10]
Generalmente, el espacio de módulos de realizaciones de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. [12] [13] El cono de realización del politopo abstracto tiene una dimensión algebraica incontablemente infinita y no puede cerrarse en la topología euclidiana . [11] [14]
Una cuestión importante en la teoría de los politopos abstractos es el problema de la amalgama . Se trata de una serie de preguntas como
Por ejemplo, si K es el cuadrado y L es el triángulo, las respuestas a estas preguntas son
Se sabe que si la respuesta a la primera pregunta es 'Sí' para algunos K y L regulares , entonces existe un politopo único cuyas facetas son K y cuyas figuras de vértice son L , llamado politopo universal con estas facetas y figuras de vértice, que cubre todos los demás politopos similares. Es decir, supongamos que P es el politopo universal con facetas K y figuras de vértice L. Entonces cualquier otro politopo Q con estas facetas y figuras de vértice se puede escribir Q = P / N , donde
Q = P / N se llama cociente de P y decimos que P cubre Q.
Dado este hecho, la búsqueda de politopos con facetas y figuras de vértices particulares suele ser de la siguiente manera:
Estos dos problemas son, en general, muy difíciles.
Volviendo al ejemplo anterior, si K es el cuadrado y L es el triángulo, el politopo universal { K , L } es el cubo (también escrito {4,3}). El hemicubo es el cociente {4,3}/ N , donde N es un grupo de simetrías (automorfismos) del cubo con solo dos elementos: la identidad y la simetría que asigna cada esquina (o arista o cara) a su opuesto. .
Si L es, en cambio, también un cuadrado, el politopo universal { K , L } (es decir, {4,4}) es la teselación del plano euclidiano por cuadrados. Este teselado tiene infinitos cocientes con caras cuadradas, cuatro por vértice, algunos regulares y otros no. Excepto el politopo universal en sí, todos corresponden a varias formas de teselar un toroide o un cilindro infinitamente largo con cuadrados.
El de 11 células , descubierto de forma independiente por HSM Coxeter y Branko Grünbaum , es un politopo abstracto de 4. Sus facetas son hemi-icosaedros. Dado que sus facetas son, topológicamente, planos proyectivos en lugar de esferas, la celda de 11 no es una teselación de ninguna variedad en el sentido habitual. En cambio, el de 11 celdas es un politopo localmente proyectivo. Es autodual y universal: es el único politopo con facetas hemiicosaédricas y figuras de vértices hemidodecaédricas.
El de 57 celdas también es autodual, con facetas hemidodecaédricas. Fue descubierto por HSM Coxeter poco después del descubrimiento de las 11 celdas. Al igual que el de 11 celdas, también es universal, siendo el único politopo con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértices hemiicosaédricas. Por otro lado, existen muchos otros politopos con facetas hemidodecaédricas y tipo Schläfli {5,3,5}. El politopo universal con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértices icosaédricas (no hemiicosaédricas) es finito, pero muy grande, con 10006920 facetas y la mitad de vértices.
Históricamente, el problema de la fusión se ha abordado según la topología local . Es decir, en lugar de restringir K y L como politopos particulares, se les permite ser cualquier politopo con una topología determinada , es decir, cualquier politopo que tesela una variedad determinada . Si K y L son esféricos (es decir, teselados de una esfera topológica ), entonces P se llama localmente esférico y corresponde a un teselado de alguna variedad. Por ejemplo, si K y L son cuadrados (y, por lo tanto, topológicamente son iguales que círculos), P será una teselación del plano, toro o botella de Klein por cuadrados. Una teselación de una variedad de n dimensiones es en realidad un politopo de rango n + 1. Esto está en consonancia con la intuición común de que los sólidos platónicos son tridimensionales, aunque puedan considerarse teselados de la superficie bidimensional de una bola.
En general, un politopo abstracto se llama localmente X si sus facetas y figuras de vértice son, topológicamente, esferas o X , pero no ambas esferas. Los de 11 celdas y 57 celdas son ejemplos de politopos localmente proyectivos de rango 4 (es decir, de cuatro dimensiones) , ya que sus facetas y figuras de vértices son teselados de planos proyectivos reales . Sin embargo, existe una debilidad en esta terminología. No permite describir de manera sencilla un politopo cuyas facetas sean toros y cuyas figuras de vértices sean planos proyectivos, por ejemplo. Peor aún si diferentes facetas tienen diferentes topologías o ninguna topología bien definida. Sin embargo, se ha avanzado mucho en la clasificación completa de los politopos regulares localmente toroidales [15].
Sea Ψ una bandera de un n -politopo abstracto y sea −1 < i < n . A partir de la definición de politopo abstracto, se puede demostrar que existe una bandera única que se diferencia de Ψ por un elemento de rango i , y lo mismo en caso contrario. Si llamamos a esta bandera Ψ ( i ) , entonces esto define una colección de mapas en las banderas de politopos, digamos φ i . Estos mapas se llaman mapas de intercambio , ya que intercambian pares de banderas: ( Ψφ i ) φ i = Ψ siempre. Algunas otras propiedades de los mapas de intercambio:
Los mapas de intercambio y la acción de bandera en particular se pueden utilizar para demostrar que cualquier politopo abstracto es un cociente de algún politopo regular.
Un politopo también se puede representar tabulando sus incidencias .
La siguiente matriz de incidencia es la de un triángulo:
La tabla muestra un 1 siempre que una cara sea una subcara de otra, o viceversa (por lo que la tabla es simétrica con respecto a la diagonal); de hecho, la tabla tiene información redundante ; sería suficiente mostrar solo un 1 cuando la cara de la fila ≤ la cara de la columna.
Dado que tanto el cuerpo como el conjunto vacío inciden con todos los demás elementos, la primera fila y columna, así como la última fila y columna, son triviales y pueden omitirse convenientemente.
Se obtiene más información contando cada aparición. Este uso numérico permite una agrupación de simetría , como en el diagrama de Hasse de la pirámide cuadrada : si los vértices B, C, D y E se consideran simétricamente equivalentes dentro del politopo abstracto, entonces los bordes f, g, h y j se agruparán. juntos, y también las aristas k, l, m y n, y finalmente también los triángulos P , Q , R y S. Por tanto, la matriz de incidencia correspondiente de este politopo abstracto se puede mostrar como:
En esta representación de matriz de incidencia acumulada, las entradas diagonales representan los recuentos totales de cualquier tipo de elemento.
Los elementos de diferentes tipos del mismo rango claramente nunca inciden, por lo que el valor siempre será 0; sin embargo, para ayudar a distinguir dichas relaciones, se utiliza un asterisco (*) en lugar de 0.
Las entradas subdiagonales de cada fila representan los recuentos de incidencia de los subelementos relevantes, mientras que las entradas superdiagonales representan los recuentos de elementos respectivos de la figura de vértice, borde o lo que sea.
Esta simple pirámide cuadrada ya muestra que las matrices de incidencia acumulada por simetría ya no son simétricas. Pero todavía hay una relación de entidad simple (además de las fórmulas generalizadas de Euler para la diagonal, respectivamente las entidades subdiagonales de cada fila, respectivamente los elementos superdiagonales de cada fila, al menos cuando no hay agujeros o estrellas, etc.). considerado), ya que para cualquier matriz de incidencia se cumple:
En la década de 1960 Branko Grünbaum hizo un llamado a la comunidad geométrica para que considerara generalizaciones del concepto de politopos regulares a los que llamó polistromas . Desarrolló una teoría de los poliestromas, mostrando ejemplos de nuevos objetos, incluido el de 11 células .
El de 11 celdas es un politopo de 4 autodual cuyas facetas no son icosaedros , sino " hemi-icosaedros ", es decir, son la forma que se obtiene si se considera que las caras opuestas del icosaedro son en realidad la misma cara ( Grünbaum, 1977). Unos años después del descubrimiento de Grünbaum de las 11 células , HSM Coxeter descubrió un politopo similar, el de 57 células (Coxeter 1982, 1984), y luego redescubrió de forma independiente el de 11 células.
Habiendo sentado las bases los trabajos anteriores de Branko Grünbaum , HSM Coxeter y Jacques Tags , Egon Schulte describió por primera vez la teoría básica de las estructuras combinatorias ahora conocidas como politopos abstractos en su tesis doctoral de 1980. En él definió "complejos de incidencia regular" y "politopos de incidencia regular". Posteriormente, él y Peter McMullen desarrollaron los conceptos básicos de la teoría en una serie de artículos de investigación que luego se recopilaron en un libro. Desde entonces, muchos otros investigadores han hecho sus propias contribuciones, y los primeros pioneros (incluido Grünbaum) también han aceptado la definición de Schulte como la "correcta".
Desde entonces, la investigación en teoría de politopos abstractos se ha centrado mayoritariamente en politopos regulares , es decir, aquellos cuyos grupos de automorfismos actúan transitivamente sobre el conjunto de banderas del politopo.
