Función logística

curva en forma de S

Una función logística o curva logística es una curva común en forma de S ( curva sigmoidea ) con la ecuación

$${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$$

dónde

${\displaystyle x_{0}}$, el valor del punto medio de la función; ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L}$, el supremo de los valores de la función;

${\displaystyle k}$, la tasa de crecimiento logístico o la pendiente de la curva. ^[1]

Función logística estándar donde ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

Para valores de en el dominio de los números reales desde hasta , se obtiene la curva S que se muestra a la derecha, con la gráfica de aproximarse a medida que se aproxima y acercarse a cero a medida que se aproxima . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$

La función logística encuentra aplicaciones en una variedad de campos, incluida la biología (especialmente la ecología ), la biomatemática , la química , la demografía , la economía , las geociencias , la psicología matemática , la probabilidad , la sociología , las ciencias políticas , la lingüística , la estadística y las redes neuronales artificiales . Una generalización de la función logística es la función hiperbólica de tipo I.

La función logística estándar, donde , a veces se denomina simplemente sigmoidea . ^[2] A veces también se le llama expit , siendo el inverso del logit . ^{[3] [4]} ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

Historia

Imagen original de una curva logística, en contraste con lo que Verhulst llamó una "curva logarítmica" (en términos modernos, "curva exponencial")

La función logística fue introducida en una serie de tres artículos por Pierre François Verhulst entre 1838 y 1847, quien la ideó como modelo de crecimiento poblacional ajustando el modelo de crecimiento exponencial , bajo la dirección de Adolphe Quetelet . ^[5] Verhulst ideó por primera vez la función a mediados de la década de 1830, publicando una breve nota en 1838, ^[1] luego presentó un análisis ampliado y nombró la función en 1844 (publicada en 1845); ^{[a] [6]} el tercer artículo ajustó el término de corrección en su modelo de crecimiento de la población belga. ^[7]

La etapa inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial (geométrica); luego, cuando comienza la saturación, el crecimiento se desacelera hasta ser lineal (aritmético) y, en la madurez, el crecimiento se detiene.

Verhulst no explicó la elección del término "logística" (francés: logistique ), pero presumiblemente contrasta con la curva logarítmica , ^{[8] [b]} y por analogía con la aritmética y la geométrica. Su modelo de crecimiento está precedido por una discusión sobre el crecimiento aritmético y el crecimiento geométrico (cuya curva llama curva logarítmica , en lugar del término moderno curva exponencial ), por lo que presumiblemente se nombra "crecimiento logístico" por analogía, siendo logística del griego antiguo : λογῐστῐκός , romanizado :  logistikós , una división tradicional de las matemáticas griegas . ^[C]

El término no tiene relación con el término militar y de gestión logística , que en cambio proviene del francés : logis "alojamiento", aunque algunos creen que el término griego también influyó en la logística ; consulte Logística § Origen para obtener más detalles. ^{[ cita necesaria ]}

Propiedades matemáticas

ElLa función logística estándar es la función logística con parámetros,,,queproduce ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle L=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right).}$$

En la práctica, debido a la naturaleza de la función exponencial , a menudo es suficiente calcular la función logística estándar para un rango pequeño de números reales, como un rango contenido en [−6, +6], ya que converge rápidamente muy cerca de sus valores de saturación de 0 y 1. ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$

La función logística tiene la propiedad de simetría de que

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

Por tanto, es una función impar . ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$

La función logística es una función tangente hiperbólica desplazada y escalada :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$

$${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

Esto se desprende de

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

Derivado

La función logística y sus 3 primeras derivadas

La función logística estándar tiene una derivada fácilmente calculada . La derivada se conoce como densidad de la distribución logística :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$

Integral

Por el contrario, su primitiva se puede calcular mediante la sustitución , ya que , entonces (eliminando la constante de integración ) ${\displaystyle u=1+e^{x}}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}}$

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

En las redes neuronales artificiales , esto se conoce como función softplus y (con escalamiento) es una aproximación suave de la función rampa , al igual que la función logística (con escalamiento) es una aproximación suave de la función escalón de Heaviside .

Ecuación diferencial logística

La función logística estándar única es la solución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden simple

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

con condición de frontera . Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico . Tenga en cuenta que la función logística recíproca es la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal simple de primer orden . ^[9] ${\displaystyle f(0)=1/2}$

El comportamiento cualitativo se entiende fácilmente en términos de la línea de fase : la derivada es 0 cuando la función es 1; y la derivada es positiva entre 0 y 1, y negativa para más de 1 o menos de 0 (aunque las poblaciones negativas generalmente no concuerdan con un modelo físico). Esto produce un equilibrio inestable en 0 y un equilibrio estable en 1 y, por lo tanto, para cualquier valor de función mayor que 0 y menor que 1, crece a 1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La ecuación logística es un caso especial de la ecuación diferencial de Bernoulli y tiene la siguiente solución:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

La elección de la constante de integración da la otra forma bien conocida de definición de la curva logística: ${\displaystyle C=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

De manera más cuantitativa, como puede verse en la solución analítica, la curva logística muestra un crecimiento exponencial temprano para un argumento negativo, que alcanza un crecimiento lineal de pendiente 1/4 para un argumento cercano a 0, luego se aproxima a 1 con una brecha que decae exponencialmente.

La función logística es la inversa de la función logit natural

${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1}$

y así convierte el logaritmo de probabilidades en probabilidad . La conversión a partir del índice de verosimilitud de dos alternativas también toma la forma de una curva logística.

La ecuación diferencial derivada anteriormente es un caso especial de una ecuación diferencial general que solo modela la función sigmoidea para . En muchas aplicaciones de modelado, la forma más general ^[10] ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}}$$

${\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big )}}$

La relación hiperbólico-tangente conduce a otra forma para la derivada de la función logística:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

que vincula la función logística con la distribución logística .

Simetría rotacional alrededor de (0, 1/2)

La suma de la función logística y su reflexión respecto del eje vertical, , es ${\displaystyle f(-x)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

Por tanto, la función logística es rotacionalmente simétrica con respecto al punto (0, 1/2). ^[11]

Aplicaciones

Link ^[12] creó una extensión de la teoría del análisis secuencial de Wald a una acumulación de variables aleatorias sin distribución hasta que primero se iguala o supera un límite positivo o negativo. El enlace ^[13] deriva la probabilidad de igualar o exceder primero el límite positivo como la función logística. Esta es la primera prueba de que la función logística puede tener como base un proceso estocástico. Link ^[14] proporciona un siglo de ejemplos de resultados experimentales "logísticos" y una relación recientemente derivada entre esta probabilidad y el tiempo de absorción en los límites. ${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$

En ecología: modelando el crecimiento de la población.

Pierre-François Verhulst (1804–1849)

Una aplicación típica de la ecuación logística es un modelo común de crecimiento demográfico (ver también dinámica demográfica ), originalmente debido a Pierre-François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles. en igualdad de condiciones. La ecuación de Verhulst se publicó después de que Verhulst leyera Un ensayo sobre el principio de población de Thomas Malthus , que describe el modelo de crecimiento malthusiano de crecimiento exponencial simple (sin restricciones). Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica . La ecuación fue redescubierta en 1911 por AG McKendrick para el crecimiento de bacterias en caldo y probada experimentalmente utilizando una técnica de estimación de parámetros no lineales. ^[15] La ecuación también se denomina a veces ecuación de Verhulst-Pearl tras su redescubrimiento en 1920 por Raymond Pearl (1879-1940) y Lowell Reed (1888-1966) de la Universidad Johns Hopkins . ^[16] Otro científico, Alfred J. Lotka, derivó la ecuación nuevamente en 1925, llamándola ley del crecimiento demográfico .

Dejando representar el tamaño de la población ( se usa a menudo en ecología) y representar el tiempo, este modelo se formaliza mediante la ecuación diferencial : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

donde la constante define la tasa de crecimiento y es la capacidad de carga . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$

En la ecuación, la tasa de crecimiento inicial y sin obstáculos se modela mediante el primer término . El valor de la tasa representa el aumento proporcional de la población en una unidad de tiempo. Posteriormente, a medida que la población crece, el módulo del segundo término (que multiplicado es ) se vuelve casi tan grande como el primero, ya que algunos miembros de la población interfieren entre sí al competir por algún recurso crítico, como alimentos o espacio vital. . Este efecto antagónico se denomina cuello de botella y se modela mediante el valor del parámetro . La competencia disminuye la tasa de crecimiento combinada, hasta que el valor de deja de crecer (a esto se le llama madurez de la población). La solución de la ecuación (siendo la población inicial) es ${\displaystyle +rP}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -rP^{2}/K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

donde es el valor límite de , el valor más alto que la población puede alcanzar en un tiempo infinito (o acercarse a alcanzar en un tiempo finito). Es importante destacar que la capacidad de carga se alcanza asintóticamente independientemente del valor inicial , y también en el caso de que . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(0)>K}$

En ecología, a las especies a veces se les denomina estratega o estratega dependiendo de los procesos selectivos que han dado forma a sus estrategias de historia de vida .Al elegir las dimensiones variables de modo que mida la población en unidades de capacidad de carga y mida el tiempo en unidades de , se obtiene la ecuación diferencial adimensional ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

Integral

La primitiva de la forma ecológica de la función logística se puede calcular mediante la sustitución , ya que ${\displaystyle u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}$ ${\displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

$${\displaystyle \int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C}$$

Capacidad de carga variable en el tiempo

Dado que las condiciones ambientales influyen en la capacidad de carga, como consecuencia esta puede variar en el tiempo, lo que lleva al siguiente modelo matemático: ${\displaystyle K(t)>0}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$$

Un caso particularmente importante es el de la capacidad de carga que varía periódicamente con el período : ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$$

Se puede demostrar ^[17] que en tal caso, independientemente del valor inicial , tenderá a una solución periódica única , cuyo período es . ${\displaystyle P(0)>0}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P_{*}(t)}$ ${\displaystyle T}$

Un valor típico de es un año: en tal caso puede reflejar variaciones periódicas de las condiciones climáticas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(t)}$

Otra generalización interesante es considerar que la capacidad de carga es función de la población en un momento anterior, captando un retraso en la forma en que la población modifica su entorno. Esto conduce a una ecuación de retraso logístico, ^[18] que tiene un comportamiento muy rico, con biestabilidad en algún rango de parámetros, así como una caída monótona a cero, un crecimiento exponencial suave, un crecimiento ilimitado puntuado (es decir, múltiples formas de S), crecimiento puntuado o alternancia a un nivel estacionario, acercamiento oscilatorio a un nivel estacionario, oscilaciones sostenibles, singularidades de tiempo finito así como muerte de tiempo finito. ${\displaystyle K(t)}$

En estadística y aprendizaje automático

Las funciones logísticas se utilizan en varias funciones en estadística. Por ejemplo, son la función de distribución acumulativa de la familia logística de distribuciones y, de forma un poco simplificada, se utilizan para modelar la probabilidad que tiene un jugador de ajedrez de vencer a su oponente en el sistema de clasificación Elo . A continuación siguen ejemplos más específicos.

Regresión logística

Las funciones logísticas se utilizan en la regresión logística para modelar cómo la probabilidad de un evento puede verse afectada por una o más variables explicativas : un ejemplo sería tener el modelo ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=f(a+bx),}$$

donde es la variable explicativa, son los parámetros del modelo que se van a ajustar y es la función logística estándar. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$

La regresión logística y otros modelos log-lineales también se utilizan comúnmente en el aprendizaje automático . Una generalización de la función logística a múltiples entradas es la función de activación softmax , utilizada en la regresión logística multinomial .

Otra aplicación de la función logística está en el modelo de Rasch , utilizado en la teoría de respuesta al ítem . En particular, el modelo de Rasch forma una base para la estimación de máxima verosimilitud de las ubicaciones de objetos o personas en un continuo , basándose en colecciones de datos categóricos , por ejemplo, las habilidades de las personas en un continuo basado en respuestas que han sido categorizadas como correctas y incorrecto.

Redes neuronales

Las funciones logísticas se utilizan a menudo en redes neuronales artificiales para introducir no linealidad en el modelo o para sujetar señales dentro de un intervalo específico . Un elemento de red neuronal popular calcula una combinación lineal de sus señales de entrada y aplica una función logística limitada como función de activación al resultado; este modelo puede verse como una variante "suavizada" de la neurona de umbral clásica .

Una opción común para las funciones de activación o "aplastamiento", utilizadas para recortar grandes magnitudes para mantener limitada la respuesta de la red neuronal, ^[19] es

$${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$$

que es una función logística.

Estas relaciones dan como resultado implementaciones simplificadas de redes neuronales artificiales con neuronas artificiales . Los profesionales advierten que las funciones sigmoidales que son antisimétricas con respecto al origen (por ejemplo, la tangente hiperbólica ) conducen a una convergencia más rápida cuando se entrenan redes con retropropagación . ^[20]

La función logística es en sí misma la derivada de otra función de activación propuesta, el softplus .

En medicina: modelado del crecimiento de tumores.

Otra aplicación de la curva logística es en medicina, donde se utiliza la ecuación diferencial logística para modelar el crecimiento de tumores. Esta aplicación puede considerarse una extensión del uso antes mencionado en el marco de la ecología (ver también la Curva logística generalizada , que permite más parámetros). Denotando con el tamaño del tumor en el momento , su dinámica se rige por ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

que es del tipo

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

¿ Dónde está la tasa de proliferación del tumor? ${\displaystyle F(X)}$

Si se inicia una quimioterapia con un efecto log-kill, la ecuación puede revisarse para que sea

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

¿ Dónde está la tasa de mortalidad inducida por la terapia? En el caso idealizado de una terapia muy larga, se puede modelar como una función periódica (de período ) o (en el caso de una terapia de infusión continua) como una función constante, y se tiene que ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

es decir, si la tasa media de muerte inducida por la terapia es mayor que la tasa de proliferación inicial, entonces se produce la erradicación de la enfermedad. Por supuesto, este es un modelo demasiado simplificado tanto del crecimiento como de la terapia (por ejemplo, no tiene en cuenta el fenómeno de la resistencia clonal).

En medicina: modelización de una pandemia

Un nuevo patógeno infeccioso contra el cual una población no tiene inmunidad generalmente se propagará exponencialmente en las primeras etapas, mientras que la oferta de individuos susceptibles sea abundante. El virus SARS-CoV-2 que causa COVID-19 exhibió un crecimiento exponencial al principio del curso de la infección en varios países a principios de 2020. ^[21] Factores que incluyen la falta de huéspedes susceptibles (a través de la propagación continua de la infección hasta que supera el umbral para la inmunidad colectiva ) o la reducción en la accesibilidad de huéspedes potenciales a través de medidas de distanciamiento físico, pueden resultar en curvas epidémicas de apariencia exponencial que primero se linealizan (replicando la transición "logarítmica" a "logística" notada por primera vez por Pierre-François Verhulst , como se señaló anteriormente) y luego alcanzar un límite máximo. ^[22]

Una función logística o funciones relacionadas (por ejemplo, la función de Gompertz ) se suelen utilizar de manera descriptiva o fenomenológica porque se ajustan bien no sólo al aumento exponencial inicial, sino también a la eventual estabilización de la pandemia a medida que la población desarrolla inmunidad colectiva. . Esto contrasta con los modelos reales de pandemias que intentan formular una descripción basada en la dinámica de la pandemia (por ejemplo, tasas de contacto, tiempos de incubación, distanciamiento social, etc.). Sin embargo, se han desarrollado algunos modelos simples que brindan una solución logística. ^{[23] [24] [25]}

Modelando los primeros casos de COVID-19

Función logística generalizada (curva de crecimiento de Richards) en modelos epidemiológicos

Se ha aplicado una función logística generalizada , también llamada curva de crecimiento de Richards, para modelar la fase inicial del brote de COVID-19 . ^[26] Los autores ajustan la función logística generalizada al número acumulado de casos infectados, aquí denominado trayectoria de infección . Existen diferentes parametrizaciones de la función logística generalizada en la literatura. Una forma frecuentemente utilizada es

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}$$

donde son los números reales y es un número real positivo. La flexibilidad de la curva se debe al parámetro : (i) si entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) cuando se aproxima a cero, la curva converge a la función de Gompertz . En el modelado epidemiológico, , y representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de retraso, respectivamente. Consulte el panel derecho para ver un ejemplo de trayectoria de infección cuando está configurado en . ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$ ${\displaystyle (10000,0.2,40)}$

Trayectorias de infección extrapoladas de 40 países gravemente afectados por COVID-19 y promedio general (poblacional) hasta el 14 de mayo

Uno de los beneficios de utilizar una función de crecimiento como la función logística generalizada en el modelado epidemiológico es su aplicación relativamente fácil al marco del modelo multinivel , donde se puede agrupar información de diferentes regiones geográficas.

En química: modelos de reacción.

La concentración de reactivos y productos en reacciones autocatalíticas sigue la función logística. La degradación del catalizador de reacción de reducción de oxígeno (ORR) libre de metales del grupo platino (libre de PGM) en cátodos de pilas de combustible sigue la función de desintegración logística, ^[27] lo que sugiere un mecanismo de degradación autocatalítica.

En física: distribución de Fermi-Dirac

La función logística determina la distribución estadística de fermiones sobre los estados energéticos de un sistema en equilibrio térmico. En particular, es la distribución de las probabilidades de que cada nivel de energía posible esté ocupado por un fermión, según la estadística de Fermi-Dirac .

En óptica: espejismo

La función logística también encuentra aplicaciones en óptica, particularmente en el modelado de fenómenos como los espejismos . Bajo ciertas condiciones, como la presencia de un gradiente de temperatura o concentración debido a la difusión y el equilibrio con la gravedad, pueden surgir comportamientos de curva logística. ^{[28] [29]}

Un espejismo, resultante de un gradiente de temperatura que modifica el índice de refracción relacionado con la densidad/concentración del material a lo largo de la distancia, se puede modelar utilizando un fluido con un gradiente de índice de refracción debido al gradiente de concentración. Este mecanismo puede equipararse a un modelo de crecimiento poblacional limitante, donde la región concentrada intenta difundirse hacia la región de menor concentración, mientras busca el equilibrio con la gravedad, produciendo así una curva de función logística. ^[28]

En ciencia de los materiales: diagramas de fases.

Consulte Enlace por difusión .

En lingüística: cambio de lengua

En lingüística, la función logística se puede utilizar para modelar el cambio lingüístico : ^[30] una innovación que al principio es marginal comienza a extenderse más rápidamente con el tiempo, y luego más lentamente a medida que se adopta de manera más universal.

En agricultura: modelando la respuesta de los cultivos

La curva S logística se puede utilizar para modelar la respuesta del cultivo a cambios en los factores de crecimiento. Hay dos tipos de funciones de respuesta: curvas de crecimiento positivas y negativas . Por ejemplo, el rendimiento del cultivo puede aumentar al aumentar el valor del factor de crecimiento hasta un cierto nivel (función positiva), o puede disminuir al aumentar los valores del factor de crecimiento (función negativa debido a un factor de crecimiento negativo), situación que requiere una inversión. S curva.

En economía y sociología: difusión de innovaciones.

La función logística se puede utilizar para ilustrar el progreso de la difusión de una innovación a lo largo de su ciclo de vida.

En Las leyes de la imitación (1890), Gabriel Tarde describe el surgimiento y difusión de nuevas ideas a través de cadenas imitativas. En particular, Tarde identifica tres etapas principales por las que se difunden las innovaciones: la primera corresponde a los difíciles inicios, durante los cuales la idea tiene que luchar en un entorno hostil lleno de hábitos y creencias opuestas; el segundo corresponde al despegue propiamente exponencial de la idea, con ; finalmente, la tercera etapa es logarítmica, con , y corresponde al momento en que el impulso de la idea se frena paulatinamente mientras, simultáneamente, aparecen nuevas ideas oponentes. La situación resultante detiene o estabiliza el progreso de la innovación, que se acerca a una asíntota. ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$

En un estado soberano , las unidades subnacionales (estados o ciudades constituyentes) pueden utilizar préstamos para financiar sus proyectos. Sin embargo, esta fuente de financiación suele estar sujeta a estrictas normas legales, así como a restricciones de escasez de la economía , especialmente los recursos que los bancos pueden prestar (debido a sus límites de capital o de Basilea ). Estas restricciones, que representan un nivel de saturación, junto con una avalancha exponencial en una competencia económica por el dinero, crean una difusión de las solicitudes de crédito en las finanzas públicas y la respuesta nacional agregada es una curva sigmoidea . ^[33]

En la historia de la economía, cuando se introducen nuevos productos hay una intensa cantidad de investigación y desarrollo que conduce a mejoras espectaculares en la calidad y reducciones de costos. Esto conduce a un período de rápido crecimiento de la industria. Algunos de los ejemplos más famosos son: ferrocarriles, bombillas incandescentes, electrificación , automóviles y viajes aéreos. Con el tiempo, se agotan las oportunidades dramáticas de mejora y reducción de costos, el producto o proceso se usa ampliamente, quedan pocos clientes potenciales nuevos y los mercados se saturan.

El análisis logístico fue utilizado en artículos de varios investigadores del Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados ( IIASA ). Estos artículos tratan de la difusión de diversas innovaciones, infraestructuras y sustituciones de fuentes de energía y del papel del trabajo en la economía, así como del largo ciclo económico. Robert Ayres (1989) investigó los ciclos económicos largos. ^[34] Cesare Marchetti publicó sobre ciclos económicos largos y sobre la difusión de innovaciones. ^{[35] [36]} El libro de Arnulf Grübler (1990) ofrece una descripción detallada de la difusión de infraestructuras, incluidos canales, ferrocarriles, carreteras y aerolíneas, y muestra que su difusión siguió curvas con formas logísticas. ^[37]

Carlota Pérez utilizó una curva logística para ilustrar el largo ciclo económico ( Kondratiev ) con las siguientes etiquetas: el comienzo de una era tecnológica como irrupción , el ascenso como frenesí , el rápido desarrollo como sinergia y la finalización como madurez . ^[38]

Ver también

• fluido cruzado
• Crecimiento hiperbólico
• Función de paso pesado
• Ecuación de Hill (bioquímica)
• curva de Hubbert
• Lista de funciones matemáticas
• modelo ESTRELLA
• Cinética de Michaelis-Menten
• teoría de selección r / k
• Rectificador (redes neuronales)
• Distribución de Gompertz desplazada
• Punto de inflexión (sociología)

Notas

1. El artículo fue presentado en 1844 y publicado en 1845: "(Lu à la séance du 30 de noviembre de 1844)". "(Leído en la sesión del 30 de noviembre de 1844)", pág. 1.
2. Verhulst se refiere primero a la progresión aritmética y a la progresión geométrica , y se refiere a la curva de crecimiento geométrico como una curva logarítmica (de manera confusa, el término moderno es curva exponencial , que es lo inverso). Luego llama a su curva logística , en contraste con logarítmica , y compara la curva logarítmica y la curva logística en la figura de su artículo.
3. En la antigua Grecia, λογῐστῐκός se refería al cálculo y la contabilidad prácticos, en contraste con ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), el estudio teórico o filosófico de los números. De manera confusa, en inglés, la aritmética se refiere al cálculo práctico, aunque deriva de ἀριθμητική , no de λογῐστῐκός . Véase, por ejemplo , Louis Charles Karpinski , Nicómaco de Gerasa: Introducción a la aritmética (1926) p. 3: "Los lectores modernos, particularmente los científicos y matemáticos, asocian fundamentalmente la aritmética con el arte de la computación. Para los antiguos griegos después de Pitágoras , sin embargo, la aritmética era principalmente un estudio filosófico, que no tenía necesariamente conexión con asuntos prácticos. De hecho, los griegos dio un nombre separado a la aritmética de los negocios, λογιστική [contabilidad o logística práctica]... En general, los filósofos y matemáticos de Grecia sin duda consideraban que estaba por debajo de su dignidad tratar esta rama, que probablemente formaba parte de la instrucción elemental de los negocios. niños."

Referencias

1. Verhulst, Pierre-François (1838). "Aviso sobre la ley que la población poursuit dans son accroissement" (PDF) . Correspondencia Mathématique et Physique . 10 : 113–121 . Consultado el 3 de diciembre de 2014 .
2. "Sigmoide: documentación de PyTorch 1.10.1".
3. Documentación de salida para el paquete clusterPower de R.
4. "Scipy.special.expit - Manual de SciPy v1.7.1".
5. Cramer 2002, págs. 3-5.
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7. Verhulst, Pierre-François (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la población". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1–32 . Consultado el 18 de febrero de 2013 .
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enlaces externos

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• Weisstein, Eric W. "Función sigmoidea". MundoMatemático .
• Experimentos en línea con JSXGraph
• Las eses están en todas partes.
• Ver la curva en S lo es todo.
• Crecimiento logarítmico restringido con inyección